漸開(kāi)線齒輪齒廓偏差測(cè)量中的采樣分析

李興旺，黃富貴，王宇，馬冬冬

（華僑大學(xué) 機(jī)電及自動(dòng)化學(xué)院，福建 廈門361021）

齒輪傳動(dòng)是在機(jī)械設(shè)備中應(yīng)用最廣泛的傳動(dòng)類型，它通過(guò)輪齒齒面直接接觸來(lái)傳遞運(yùn)動(dòng)和載荷.漸開(kāi)線齒廓偏差作為評(píng)定齒輪傳動(dòng)精度的重要參數(shù)，直接影響齒輪傳動(dòng)的平穩(wěn)性以及接觸狀態(tài)，進(jìn)而決定著設(shè)備的傳動(dòng)性能和使用壽命［1］.作為齒輪精度指標(biāo)測(cè)試中必檢項(xiàng)目之一，漸開(kāi)線齒廓檢驗(yàn)一直是討論和研究的重點(diǎn)及難點(diǎn).根據(jù)GB／T 10095－2008《圓柱齒輪 精度》規(guī)定，齒廓偏差是實(shí)際齒廓偏離設(shè)計(jì)齒廓的量，該量在端平面內(nèi)且垂直于漸開(kāi)線齒廓的方向計(jì)值［2］.目前，漸開(kāi)線齒廓偏差測(cè)量的方法主要包括標(biāo)準(zhǔn)曲線法、標(biāo)準(zhǔn)軌跡法（展成法）和坐標(biāo)法等［3］.GB／T 13924－2008《漸開(kāi)線圓柱齒輪精度檢驗(yàn)細(xì)則》規(guī)定了齒廓偏差的檢驗(yàn)方法：將被測(cè)齒廓上點(diǎn)的實(shí)際坐標(biāo)與理論坐標(biāo)或者實(shí)際漸開(kāi)線與理論漸開(kāi)線進(jìn)行比較得出齒廓偏差，而對(duì)于齒廓采樣方法并無(wú)明確規(guī)定［4］.在現(xiàn)有的文獻(xiàn)中，對(duì)齒廓偏差的采樣研究也不多.對(duì)于齒廓偏差計(jì)算，喻彩麗等［5］利用漸開(kāi)線法線法得出齒廓偏差；史恩秀等［6］提出漸開(kāi)線展角法；楊全超等［7］采用直接擬合漸開(kāi)線的方法，但對(duì)其采樣方法均未進(jìn)行詳細(xì)說(shuō)明［8］.在齒輪實(shí)際加工生產(chǎn)中，生產(chǎn)廠家和客戶分別對(duì)相同的產(chǎn)品進(jìn)行驗(yàn)收，在對(duì)齒廓偏差測(cè)量時(shí)采用不同的采樣方法，得出的結(jié)果可能截然不同，導(dǎo)致對(duì)產(chǎn)品的合格性產(chǎn)生誤判.因此，采樣點(diǎn)的選取將會(huì)對(duì)齒廓偏差的評(píng)定產(chǎn)生至關(guān)重要的影響，在測(cè)量過(guò)程中必須要對(duì)采樣方法進(jìn)行選擇.本文主要研究采樣過(guò)程中不同的采樣方式對(duì)齒廓偏差影響，并且提出合適的采樣方法.

1 漸開(kāi)線齒廓偏差測(cè)量原理

漸開(kāi)線齒廓偏差主要是利用展成法測(cè)量，其原理是以被測(cè)齒輪的回轉(zhuǎn)軸為基準(zhǔn)，測(cè)量探頭在齒輪基圓切線方向上接觸齒廓.當(dāng)回轉(zhuǎn)軸以一定角速度旋轉(zhuǎn)時(shí)，齒廓偏差的測(cè)量運(yùn)動(dòng)是由測(cè)量探頭沿齒輪基圓切線方向（即齒廓展開(kāi)長(zhǎng)度方向）的直線運(yùn)動(dòng)和齒輪繞其回轉(zhuǎn)中心的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)組成［9］.

測(cè)量齒廓偏差的示意圖，如圖1所示.由圖1可知：當(dāng)被測(cè)齒輪旋轉(zhuǎn)一定角度Δθ時(shí)，測(cè)量探頭沿基圓切線L軸方向位移為ΔL.若探頭相對(duì)于齒輪的運(yùn)動(dòng)軌跡是一理論漸開(kāi)線，則在L軸方向上的直線運(yùn)動(dòng)位移與主軸O旋轉(zhuǎn)角度之間的關(guān)系應(yīng)滿足

式（1）中：rb為基圓半徑.

而在實(shí)際生產(chǎn)中，齒輪必然存在齒廓偏差，則同一齒廓上各測(cè)量點(diǎn)的齒廓偏差為

則該齒廓總偏差為

圖1 齒廓偏差測(cè)量原理Fig.1 Principle of gear profile deviation measurement

2 采樣點(diǎn)數(shù)對(duì)齒廓偏差的影響

采樣是將時(shí)域或頻域上的連續(xù)量轉(zhuǎn)化成離散量的過(guò)程.被測(cè)齒廓曲線是連續(xù)信號(hào)，則齒廓偏差也應(yīng)是連續(xù)量［10］.齒廓偏差測(cè)量的局部示意圖，如圖2（a）所示.在齒廓上選取一系列點(diǎn)作為采樣點(diǎn)，提取齒廓的實(shí)際要素.若采樣點(diǎn)過(guò)少，齒廓的實(shí)際偏差不能被全部的反映出來(lái)；而采樣點(diǎn)過(guò)多，不僅耗時(shí)，而且會(huì)引入新的誤差.

為進(jìn)一步驗(yàn)證采樣點(diǎn)數(shù)不同對(duì)齒廓偏差的影響，在格里森GMM475型齒輪測(cè)量中心上對(duì)某設(shè)計(jì)要求為8級(jí)精度的漸開(kāi)線圓柱齒輪進(jìn)行齒廓偏差測(cè)量，分別采用均勻分布下不同采樣點(diǎn)數(shù)的測(cè)量，如圖2（b）所示，測(cè)量結(jié)果如表1所示.表1中：Δff，i為齒廓偏差；n為采樣點(diǎn)數(shù).

圖2 齒廓偏差測(cè)量示意圖Fig.2 Schematic of tooth profile deviation measurement

表1 不同采樣點(diǎn)數(shù)對(duì)應(yīng)的齒廓偏差測(cè)量結(jié)果表Tab.1 Tooth profile deviation measurement result corresponding to the different sampling points

從表1分析結(jié)果可以看出：不同的采樣點(diǎn)數(shù)所得到的測(cè)量結(jié)果是不相同的.產(chǎn)生這種結(jié)果的主要原因是：在實(shí)際測(cè)量中，無(wú)法做到在整個(gè)齒廓上連續(xù)采樣，故只能采用離散取點(diǎn)，用離散采樣點(diǎn)的信息來(lái)代替整個(gè)被測(cè)齒廓的信息，所以不可避免的會(huì)發(fā)生信息缺失現(xiàn)象.通過(guò)實(shí)例測(cè)量可以看出：當(dāng)采樣點(diǎn)數(shù)較少時(shí)，所得到的測(cè)量結(jié)果偏小；隨著采樣點(diǎn)逐漸增多時(shí)，齒廓偏差也逐漸正大，測(cè)量值越來(lái)越接近于真實(shí)值，且隨著采樣點(diǎn)數(shù)繼續(xù)增加而逐漸趨于穩(wěn)定.因此，選取合適的采樣點(diǎn)數(shù)是齒廓偏差測(cè)量的一個(gè)至關(guān)重要的問(wèn)題.而采樣點(diǎn)數(shù)是依靠采樣間距確定的，所以可以將采樣點(diǎn)數(shù)的多少問(wèn)題轉(zhuǎn)化為確定采樣間距的問(wèn)題.

2.1 確定采樣間距

一般來(lái)說(shuō)，在理想情況下，采樣間距越小越能反映出連續(xù)變化量的實(shí)際狀況.在單位長(zhǎng)度上，采樣間距越小，采樣點(diǎn)數(shù)會(huì)相應(yīng)增多，這樣過(guò)多的采樣信息會(huì)增加數(shù)據(jù)處理的復(fù)雜程度，造成不必要的設(shè)備浪費(fèi).此外，過(guò)多的采樣信息會(huì)導(dǎo)致測(cè)量誤差，是因?yàn)橐肓藴y(cè)量?jī)x器不需要的高頻誤差信號(hào).若采樣間距過(guò)大，會(huì)丟失過(guò)多的有用信息，導(dǎo)致不能完全反映被測(cè)量齒廓的實(shí)際情況，同樣也造成測(cè)量誤差.因此，有必要確定合適的采樣間距.

根據(jù)采樣定理可知：如果一個(gè)具有有限頻譜的連續(xù)信號(hào)由離散的采樣值所替代，要從離散信號(hào)（圖3（a））不失真地還原原有的連續(xù)信號(hào)（圖3（b）），則對(duì)連續(xù)信號(hào)的采樣頻率要至少應(yīng)該大于連續(xù)信號(hào)的最高頻率的兩倍，即

式（4）中：f為采樣頻率；fc為連續(xù)信號(hào)的最高頻率.

圖3 連續(xù)信號(hào)的離散采樣Fig.3 Discrete sampling of continuous signal

對(duì)于漸開(kāi)線齒廓偏差測(cè)量，可以使用下述方法確定其采樣頻率（或采樣間距）：在齒廓偏差中所包含頻率最高的信號(hào)，即為小周期誤差信號(hào).因此，若要確定齒廓偏差信號(hào)的上限頻率F，則只需確定出該小周期誤差信號(hào)的頻率值即可.鑒于齒廓偏差屬于形狀誤差范疇，上限頻率F應(yīng)是除了齒面粗糙度信號(hào)以外的其他信號(hào)（宏觀幾何形狀、波紋度）的頻率最大值.考慮到齒面粗糙度測(cè)量也必須遵循粗糙度國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)，同時(shí)齒面粗糙度Ra與齒輪精度等級(jí)有一定的關(guān)系（表2），因此，可以以此為依據(jù)確定信號(hào)的上限頻率值［11］.

表2 齒輪精度等級(jí)與粗糙度之間關(guān)系Tab.2 Relationship between the level of gear accuracy and roughness

粗糙度測(cè)量國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)中，已經(jīng)明確了取樣長(zhǎng)度lr的取值［12］，如表3所示，節(jié)距大于取樣長(zhǎng)度lr的信號(hào)被認(rèn)為是幾何形狀誤差的信號(hào).因此，可認(rèn)為lr是作為幾何形狀誤差的最小節(jié)距［11］，即上限頻率F的周期為ΔS≤lr／2.

表3 粗糙度與取樣長(zhǎng)度的對(duì)應(yīng)關(guān)系Tab.3 Correspondence between the roughness and sampling length

在實(shí)際測(cè)量中，為避免產(chǎn)生混頻現(xiàn)象，則要求采樣頻率至少取4F［13］，即ΔS≤lr／4.

小道不生蒿草，日本兵來(lái)時(shí)，讓她躲身到地縫中去嗎？她四面尋找，為了心臟不能平衡，臉面過(guò)量的流汗，她終于被日本兵尋到：

2.2 采樣方法的確定

由于齒輪測(cè)量中心是應(yīng)用電子展成的原理，所以在展開(kāi)角度或展開(kāi)長(zhǎng)度上等間距采樣比較容易實(shí)現(xiàn).設(shè)以等間距ΔL在齒輪展開(kāi)長(zhǎng)度上采樣，如圖4所示.由圖4可知：在齒廓上的采樣間距是漸變的.在靠近齒根處的區(qū)域采樣間距比較小，逐漸接近齒頂處時(shí)，采樣間距也相應(yīng)增大，直至齒頂處達(dá)到最大.

由ΔL＝rb×Δθ，可得Δθ＝ΔL／rb.在實(shí)際的齒輪生產(chǎn)測(cè)量中，齒廓的測(cè)量區(qū)域是在展開(kāi)長(zhǎng)度上設(shè)定的起測(cè)點(diǎn)到終測(cè)點(diǎn)之間的部分.

齒廓偏差的測(cè)量部分，如圖5所示，從a點(diǎn)到b點(diǎn)的漸開(kāi)線展開(kāi)長(zhǎng)度Sx［14］為

根據(jù)以上分析，測(cè)量時(shí)若要使齒面上的采樣間距遵循采樣定理，則只須在測(cè)量范圍的最后1個(gè)采樣間距ΔSn≤lr／4即可，即

圖4 展開(kāi)長(zhǎng)度等間距采樣Fig.4 Equally spaced sampling of unfolded length

圖5 漸開(kāi)線齒廓測(cè)量部分Fig.5 Measurement section of involute tooth profile

則相應(yīng)展開(kāi)角度或展開(kāi)長(zhǎng)度上的采樣間距滿足

式（5）～（7）中：θa為起測(cè)點(diǎn)展角；θb為終測(cè)點(diǎn)展角；Lb為終測(cè)點(diǎn)展開(kāi)長(zhǎng)度.

3 實(shí)例驗(yàn)證

對(duì)某齒輪廠的圖紙?jiān)O(shè)計(jì)要求為8級(jí)精度的變速器齒輪在格里森GMM475型齒輪測(cè)量中心進(jìn)行齒廓偏差測(cè)量，并分析驗(yàn)證.

2）齒面粗糙度Ra＝1.6μm；根據(jù)表2得取樣長(zhǎng)度lr＝0.8mm；起測(cè)點(diǎn)展開(kāi)長(zhǎng)度La＝8.218mm；終測(cè)點(diǎn)展開(kāi)長(zhǎng)度Lb＝20.18mm.

將齒輪安裝在齒輪測(cè)量中心上，在展開(kāi)長(zhǎng)度L上分別按照系統(tǒng)默認(rèn)的采樣間距ΔL′及理論的采樣間距ΔL進(jìn)行齒廓偏差測(cè)量.實(shí)驗(yàn)分別選擇齒輪的序號(hào)為1，9，17的齒進(jìn)行測(cè)量，結(jié)果如表4所示.表4中：N為測(cè)量點(diǎn)數(shù)；Δff，i為齒廓偏差.通過(guò)對(duì)比發(fā)現(xiàn)2次測(cè)量后所得的齒廓偏差結(jié)果相近，而通過(guò)文中方法所確定的測(cè)量點(diǎn)數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于系統(tǒng)默認(rèn)的采樣設(shè)置，并且測(cè)量時(shí)間大大減少.

表4 測(cè)量結(jié)果對(duì)比Tab.4 Comparison of measurement results

4 結(jié)束語(yǔ)

利用齒輪測(cè)量中心檢測(cè)漸開(kāi)線齒輪齒廓偏差，采用在展開(kāi)長(zhǎng)度等間距采樣的方法，根據(jù)采樣定理以及齒面粗糙度和齒輪精度等級(jí)的關(guān)系，首先確定出展開(kāi)長(zhǎng)度上采樣間距ΔL，然后通過(guò)設(shè)置在展開(kāi)長(zhǎng)度上的采樣間距并進(jìn)行實(shí)驗(yàn).結(jié)果表明：得出的測(cè)量結(jié)果和實(shí)際測(cè)量中系統(tǒng)默認(rèn)采樣間距得出的結(jié)果相近，證明方法可行.因此，文中提出的方法可以為實(shí)際生產(chǎn)中齒輪齒廓偏差測(cè)量提供參考，以期提高測(cè)量效率.

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