從一道反比例函數(shù)題談函數(shù)大小比較

農(nóng)漢濤

（廣西靖西縣民族中學(xué) 廣西靖西 533800）

從一道反比例函數(shù)題談函數(shù)大小比較

農(nóng)漢濤

（廣西靖西縣民族中學(xué) 廣西靖西 533800）

在初中階段所涉及的三種函數(shù)一次函數(shù)（包括正比例函數(shù)），二次函數(shù)，反比例函數(shù)中，只有反比例函數(shù)對(duì)自變量x有要求，即x≠0。因?yàn)閗≠0，則y也必定≠0，所以反比例函數(shù)的圖象雙曲線永遠(yuǎn)不會(huì)與坐標(biāo)軸相交，因此它的性質(zhì)中就特別強(qiáng)調(diào)："在圖象所在的每個(gè)象限內(nèi)"這一條件。，若忽略這個(gè)條件，就會(huì)給后面的解題帶來(lái)麻煩，這也從某個(gè)方面說(shuō)明教材編寫(xiě)具有相當(dāng)?shù)膰?yán)密性。

反比例函數(shù) 雙曲線 增減性 自變量x的取值

一、引言

數(shù)學(xué)新教材的最大特點(diǎn)就是體現(xiàn)素質(zhì)教育的要求，重視人的發(fā)展，提倡課程與生活的聯(lián)系，以數(shù)學(xué)源于生活又用于生活為主線，著重培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和動(dòng)手能力，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的意識(shí)，使其養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確指出：義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程，其基本出發(fā)點(diǎn)是促進(jìn)學(xué)生全面、持續(xù)、和諧的發(fā)展。因此，我們要以鼓勵(lì)學(xué)生主動(dòng)參與，主動(dòng)思考，主動(dòng)探究，主動(dòng)實(shí)踐為基本特征，以實(shí)現(xiàn)學(xué)生多方面能力綜合發(fā)展為核心.充分注意學(xué)生各種能力的培養(yǎng)。從實(shí)際出發(fā)，努力激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和主動(dòng)性。教會(huì)學(xué)生學(xué)習(xí)，教會(huì)學(xué)生思考，教會(huì)學(xué)生探索，使學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主人。

二、背景和遇到的問(wèn)題

在九年級(jí)上冊(cè)第一章反比例函數(shù)的教學(xué)中，當(dāng)學(xué)習(xí)完反比例函數(shù)的性質(zhì)后，書(shū)本第14頁(yè)“做一做”第1題第2小題是這樣的：已知x1，y1和x2， y2是反比例函數(shù)兩對(duì)自變量與函數(shù)的對(duì)應(yīng)值，x1＞x2＞0，則0___y1___y2（填＞、＜、=），我們不妨稱(chēng)此題為例1，本題中因?yàn)閍2≥0，所以-a2≤0，即反比例函數(shù)中的k＜0，所以y的值會(huì)隨x的增大而增大，因?yàn)閤1＞x2。所以y1＞y2，學(xué)生基本上能正確解決，但我相信，有許多同學(xué)都是一知半解的，為什么要在自變量中加入大于0的條件？為什么函數(shù)值中也涉及了與0的大小比較？所以我加入了例2，下列函數(shù)中，y隨x的增大而減小的是___，A、y=-3x+4 B、y=C、y=-D、y=3x-2

生1：老師，選A。

生2：B也對(duì)，A和B都對(duì)。

師：同意生2的觀點(diǎn)嗎？

生：同意！

師：那誰(shuí)來(lái)幫老師分析一下，為什么這兩個(gè)解都對(duì)？

生3：因?yàn)橐淮魏瘮?shù)y=kx+b，當(dāng)k＜0時(shí)，y必定隨著x的增大而減少，而A中，y=-3x+4，k=-3＜0，所以A正確。

師：對(duì)嗎？

生：對(duì)。

師：B呢？

師：講的很好。有誰(shuí)需要補(bǔ)充嗎？

生：……

師：我們不妨回到書(shū)本第13頁(yè)，一起仔細(xì)地研讀反比例函數(shù)的性質(zhì)。

師：剛才生4的表述與書(shū)本上的表述有什么不同？

生5：書(shū)上詳細(xì)地講到，在圖象所在的每一個(gè)象限內(nèi)。

師：這是一句廢話嗎？為什么書(shū)本上不把它刪去？

生：……

生：x≠0。

師：為什么？

生：因?yàn)榉帜覆坏扔?。因?yàn)?不能作除數(shù)。

師：而一次函數(shù)y=kx+b中有沒(méi)有這樣的限制條件？

生：沒(méi)有。

師：那么體現(xiàn)在圖象上又有什么區(qū)別呢？

生：一次函數(shù)的圖象是一條直線，x可以取任意值。

師：對(duì)，但反比例函數(shù)的雙曲線呢？

如圖，當(dāng)k＞0時(shí)，圖象分布在一、三象限。試問(wèn)：圖象的兩個(gè)分支可不可能與兩線標(biāo)軸相交？

生：不可能。因?yàn)閤≠0，y≠0。

師：恩，所以，兩個(gè)分支是獨(dú)立的。k＞0，y的值隨著x的增大而減小，但必須在同一分支上，即在圖象所在的每一個(gè)象限內(nèi)才可以比較大小。

生：也就是自變量x必須都大于0，或都小于0。

師：所以例2中，該選擇……

生：A。

師：若讓B也正確，該如何修改？

生：加上x(chóng)＞0或x＜0。

師：講得很棒，現(xiàn)在我們?cè)僖黄鸹剡^(guò)頭來(lái)看例1，你注意到例1中 x1＞x2＞0了嗎？

生：嗯，所以，最好利用圖像來(lái)解決。

師：讓我們?cè)囈辉嚒?/p>

圖象分布在二、四象限，x1＞x2＞0，說(shuō)明圖象只研究位于第四象限的那一支，y1＞y2，且0＞y1＞y2。

三、問(wèn)題的解決

愛(ài)因斯坦說(shuō)：“提出一個(gè)問(wèn)題往往比解決一個(gè)問(wèn)題更重要?！卑l(fā)現(xiàn)問(wèn)題，大膽懷疑，課堂上把“提問(wèn)權(quán)”還給學(xué)生，并對(duì)他們的提問(wèn)給予積極的鼓勵(lì)、引導(dǎo)，對(duì)激發(fā)學(xué)生的強(qiáng)烈的探索動(dòng)機(jī)，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力會(huì)起到重要作用。在復(fù)習(xí)課中，我又結(jié)合兩種函數(shù)，即反比例函數(shù)和一次函數(shù)的函數(shù)值大小和學(xué)生進(jìn)行了一次探討。因?yàn)槲覀兌贾溃诔踔须A段，學(xué)習(xí)的幾種函數(shù)中，只有反比例函數(shù)對(duì)自變量加以了限制（函數(shù)應(yīng)用中自變量取值除外）。

作為教師，我們都知道，思維的發(fā)展過(guò)程是從發(fā)現(xiàn)問(wèn)題開(kāi)始，如鄭板橋老先生說(shuō)過(guò)：“學(xué)問(wèn)二字，需要拆開(kāi)來(lái)看，學(xué)是學(xué)，問(wèn)是問(wèn)，有學(xué)無(wú)問(wèn)，雖讀萬(wàn)卷書(shū)，只是一條鈍漢耳?！彼詫W(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的發(fā)現(xiàn)，可以說(shuō)，是數(shù)學(xué)創(chuàng)新教育的前提，學(xué)生應(yīng)成為“提出問(wèn)題——分析問(wèn)題——解決問(wèn)題”這個(gè)認(rèn)知過(guò)程的主體，應(yīng)享有這種思維活動(dòng)的權(quán)利和機(jī)會(huì)。

例3，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y1=x+1與反比例函數(shù)交于A、B兩點(diǎn)，問(wèn)當(dāng)x取何值時(shí)，y1＞y2？

兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題我們都可以把它轉(zhuǎn)化為聯(lián)列方程組求公共解的問(wèn)題，如本例中解得即定點(diǎn)坐標(biāo)為A（2，3），B（-3，-2），再接下來(lái)，利用函數(shù)圖象，可以解題。如圖：

當(dāng)x=2或x=-3時(shí)，y1=y2，要使y1＞y2，即當(dāng)取一個(gè)特定的x值，一次函數(shù)圖象上的點(diǎn)要高于反比例函數(shù)，所以借助直線x=-3和直線x=2，以及y軸，就把整個(gè)坐標(biāo)平面分成了四部分，即x＜-3， -3＜x＜0，0＜x＜2，x＞2發(fā)現(xiàn)，當(dāng)-3＜x＜0和x＞2時(shí)，