m-擬-?-A（k）算子的譜

王紅衛(wèi)

（新鄉(xiāng)廣播電視大學(xué)基礎(chǔ)教研室， 河南新鄉(xiāng) 453003）

m-擬-?-A（k）算子的譜

王紅衛(wèi)

（新鄉(xiāng)廣播電視大學(xué)基礎(chǔ)教研室， 河南新鄉(xiāng) 453003）

設(shè)k＞0，m為正整數(shù)，若T滿足T?m（T?|T|2kT）1/k+1Tm≥T?m|T?|2Tm，則T是m-擬-?-A（k）算子。本文給出m-擬-?-A算子的一些例子，并證明若T是m-擬-?-A算子，則σjp（T）｛0｝=σp（T）｛0｝，σja（T）｛0｝=σa（T）｛0｝.

m-擬-?-A（k）算子；點(diǎn)譜；近似點(diǎn)譜

設(shè)H為無(wú)窮維的可分的Hilbert空間，B（H）為H上有界線性算子代數(shù)的全體。若T滿足T*T≥TT*，則稱T為亞正規(guī)算子。近年來(lái)算子理論的一個(gè)研究熱點(diǎn)是對(duì)亞正規(guī)算子的自然擴(kuò)展。在文獻(xiàn)［1］中，T.Furuta等定義A類算子為|T2|≥|T|2，其中|T|=（T*T）1/2，且亞正規(guī)算子是A類算子，在文獻(xiàn)［2］中，定義A（k）類算子為（T*|T|2kT）1/k+1≥|T|2，作為A（k）類算子的變型，楊長(zhǎng)森等在文獻(xiàn)［3］中引入了*-A（k）類算子，滿足條件（T*|T|2kT）1/k+1≥|T*|2.作為*-A（k）類算子的擴(kuò)展，作者在［4］中引入了m-擬-*-A（k）算子如下：

定義1設(shè)k＞0，m為正整數(shù)，若T滿足

T*m（T*|T|2kT）1/k+1 Tm≥T*m|T*|2Tm，

則稱T是m-擬-*-A（k）類算子。

顯然*-A（k）類算子是m-擬-*-A（k）算子

記σ（T），σa（T），σja（T），σp（T）和σjp（T）分別為T的譜，近似點(diǎn)譜，聯(lián)合近似點(diǎn)譜，點(diǎn)譜和聯(lián)合點(diǎn)譜。若存在一個(gè)非零x∈H，。使得（T-λ）x=0，則稱λ為T的點(diǎn)譜；進(jìn)一步，若（T*-λ-）x=0，則稱λ為T的聯(lián)合點(diǎn)譜。類似的，若存在一列單位向量｛xn｝，使得（T-λ）xn→0，則稱λ為T的近似點(diǎn)譜；進(jìn)一步，若（T*-λ-）xn→0，則稱λ為T的聯(lián)合近似點(diǎn)譜。有定義知σja（T）σa（T），一般σja（T）≠σa（T）.近來(lái)，已證明一些非正規(guī)的算子T滿足σjp（T）｛0｝=σp（T）｛0｝，σja（T）｛0｝=σa（T）｛0｝［5-9］.本文將此結(jié)論推廣到m-擬-*-A算子。

第二部分，給出了m-擬-*-A算子的一些例子，證明了若T是m-擬-*-A算子，則σjp（T）｛0｝=σp（T）｛0｝，σja（T）｛0｝=σa（T）｛0｝.

主要結(jié)果

通關(guān)簡(jiǎn)單的計(jì)算，我們可以得到以下引理。

引理1.1設(shè)K=Hn.其中Hn≌H，A，B是H上的正算子，在K上定義算子TA，B如下：

則下列結(jié)論成立：

（i）TA，B是*-A（k）類算子當(dāng)且僅當(dāng)（AB2kA）1/k+1≥A2且B2≥A2.

（ii）TA，B是2-擬-*-A（k）類算子當(dāng)且僅當(dāng)A2B2A2≥A6.

下面的例子說(shuō)明2-擬-*-A（k）算子不一定是*-A（k）算子.

例1.2一個(gè)不是？-A（k）而是2-擬-？-A（k）算子的例子

令A(yù)和B如下

因此，TA，B不是*-A（k）算子.

另一方面，由于

因此TA，B是2-擬-*-A（k）算子.

考慮無(wú)限維Hilbert空間上的單側(cè)加權(quán)移位算子.給出有界正數(shù)序列α：α1，α2，α3，…（稱作加權(quán)），把H=l2空間上與序列α有關(guān)的單側(cè)加權(quán)移位算子Wα定義為Wαen=αnen+1.通過(guò)計(jì)算，得Wα為m-擬-*-A（k）算子的充要條件是

其中

（αi+mαi+m+1k）1/k+1≥αi+m-1（i=1，2，3，...）.

下面的例子說(shuō)明m+1-擬-*-A（2）算子不一定是m-擬-*-A（2）算子.

例1.3一個(gè)不是m-擬-*-A（2）算子，但卻是m+1-擬-*-A（2）的算子.

設(shè)T是單側(cè)加權(quán)移位算子，給出加權(quán)序列（αi），令α1=1，α2=1，α3=1，···，αm=3，αm+1=1，αm+2=8，αm+2=αm+3=αm+4=···.通過(guò)簡(jiǎn)單的計(jì)算得，T是m+1-擬-*-A（2）算子，但不是m-擬-*-A（2）算子.

引理1.4［4］設(shè)T是m-擬-*-A（k）算子，其中0＜k≤1，且λ≠0，若Tx =λx，則T*x=λ-x.

引理1.5［10］設(shè)H是一個(gè)復(fù)Hilbert空間.則存在一個(gè)Hilbert空間K使得H K，且存在一個(gè)映射φ：B（H）→B（K）滿足

（i）φ是代數(shù)B（H）在K上的忠實(shí)*-表示；

（ii）φ（A）≥0，A≥0；

（iii）σa（T）=σa（φ（T））=σp（（φT）），T∈B（H）.

引理1.6［9］設(shè)φ：B（H）→B（K）是Berberian忠實(shí)*-表示，則σja（T）= σjp（φ（T））.

定理1.7設(shè)T∈B（H）是m-擬-*-A（k）算子，其中0＜k≤1，則

（i）σjp（T）｛0｝=σp（T）｛0｝；

（ii）若（T-λ）x=0，（T-μ）y=0，且λ≠μ，則＜x，y＞=0；

（iii）σja（T）｛0｝=σa（T）｛0｝.

證明 （i）由引理1.4顯然可得.

（ii）不失一般性，不妨設(shè)μ0.則由引理1.4可得（T-μ）*y=0.因此，μ

＜x，y＞=＜x，T*y＞=＜Tx，y＞=λ＜x，y＞.因?yàn)棣恕佴蹋瑥亩紉，y＞=0

（iii）設(shè)φ：B（H）→B（K）是引理1.5中的Berberian忠實(shí)*-表示。下證φ（T）也是m-擬-*-A（k）算子

事實(shí)上，T是m-擬-*-A（k）算子，由引理1.5可得

（φ（T））*m［（（φ（T））*|φ（T）|2kφ（T））1/k+1-|（φ（T））*|2］（φ（T）m=φ（T*m［（T*|T|2kT）1/k+1-|T*|2］Tm）≥0.

從而由引理1.5和引理1.6得

σa（T）｛0｝=σa（φ（T））｛0｝=σp（φ（T））｛0｝=σjp（φ（T））｛0｝=σja（T）｛0｝.

［1］Furuta T，Ito M，Yamazaki T.A subclass of paranormal operators including class of log-hyponormal and several related classes［J］.Sci Math.，1998，1:389-403.

［2］Furuta T.Invitation to Linear Operators［M］，London:Taylor& Francis，2001.

［3］Yang C S，Shen J L.Spectrum of class absolute-？-k-paranormal operators for 0≤k≤1［J］.Filomat，2013，27（4）:671-678.

［4］Wang H W.The properties of m-quasi-？-A（k）operator［J］.in press.

［5］Aluthge A，Wang D.w-hyponormal operators II［J］.Integr.Equ. Oper.Theory，2000，37（3）:324-331.

［6］Ch-o M，Yamazaki T.An operator transform from class A to the class of hyponormal operators and itsapplication［J］.Integr.Equ.Oper.Theory，2005，53（4）:497-508.

［7］Tanahashi K.On log-hyponormal operators［J］.Integr.Equ.Oper. Theory，1994，34（3）:364-372.

［8］Uchiyama A.Weyl's theorem for class A operators［J］.Math.Inequal. Appl.，2001，4（1）:143-150.

［9］Xia D.Spectral Theory of Hyponormal Operators［M］.Basel: Birkhauser Verlag，1983.

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The Spectrum of m-quasi-*-A（k）Operator

Wang Hong-wei
（Based Teaching and Research Section，XinXiang Radio and Television University，Xinxiang 453003，China）

An operator T is called m-quasi-*-A（k）operator，if T*m（T*|T|2kT）1/k+1Tm≥T*m|T*|2Tm.In this paper，we give some examples of m-quasi-？-A（k）operator，and show that if T is a m-quasi-*-A（k）operator，then σjp（T）｛0｝=σp（T）｛0｝，σja（T）｛0｝=σa（T）｛0｝.

m-quasi-*-A（k）operator；point spectrum；approximate point spectrum.