滾動(dòng)軸承內(nèi)圈故障的動(dòng)力學(xué)模型建立及仿真

徐可君，任 帥，秦海勤，賈明明

（1.海軍航空工程學(xué)院青島校區(qū)，山東青島266041；2.南昌航空大學(xué)測(cè)試與光電工程學(xué)院，南昌330063）

0 引言

滾動(dòng)軸承是旋轉(zhuǎn)機(jī)械中最常用也是最易損壞的部件之一，及時(shí)發(fā)現(xiàn)軸承早期故障，對(duì)預(yù)防事故的發(fā)生具有重要意義，因此有必要開展?jié)L動(dòng)軸承故障的動(dòng)力學(xué)特性研究。

目前有關(guān)滾動(dòng)軸承故障的分析更多是對(duì)整個(gè)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析，對(duì)局部損傷故障軸承的研究相對(duì)較少[1-4]。當(dāng)滾動(dòng)軸承存在單一點(diǎn)蝕故障時(shí)，故障區(qū)承載時(shí)會(huì)釋放一定的變形而產(chǎn)生沖擊振動(dòng)，通過(guò)監(jiān)測(cè)沖擊振動(dòng)的頻率，即可判斷故障是否存在[5-6]。基于該機(jī)理，研究人員建立了各種滾動(dòng)軸承單一點(diǎn)蝕故障模型，例如東亞斌[7]假設(shè)滾動(dòng)體滾過(guò)故障時(shí)突然釋放壓力，在離開故障時(shí)又瞬間恢復(fù)原受力狀態(tài)；張亞洲[8]在Ho模型的基礎(chǔ)上，引入滾動(dòng)體的隨機(jī)滑動(dòng)和振動(dòng)傳遞函數(shù)的影響；徐東[9]根據(jù)滾動(dòng)體承受載荷的狀況，引入分段函數(shù)來(lái)研究滾動(dòng)軸承的故障。

本文在上述研究基礎(chǔ)上，進(jìn)一步考慮了滾動(dòng)體通過(guò)故障時(shí)內(nèi)圈釋放變形量的影響，并基于接觸變形量漸變釋放的客觀事實(shí)，通過(guò)將故障釋放的接觸變形量近似成1個(gè)線性函數(shù)，建立了滾動(dòng)軸承內(nèi)圈單一點(diǎn)蝕故障模型。該模型進(jìn)一步真實(shí)揭示了內(nèi)圈單一點(diǎn)蝕故障機(jī)理，解決了現(xiàn)有模型瞬間釋放變形量導(dǎo)致沖擊力和振動(dòng)加速度過(guò)大的問(wèn)題[10]，為滾動(dòng)軸承狀態(tài)監(jiān)測(cè)和故障診斷提供了理論支持。

1 內(nèi)圈單一點(diǎn)蝕故障的滾動(dòng)軸承模型

在滾動(dòng)軸承工作時(shí)，滾動(dòng)體與滾道的接觸可簡(jiǎn)化為用1組彈簧阻尼表示的模型。根據(jù)Hertz接觸理論，在內(nèi)外圈滾道接觸角相等的情況下，滾動(dòng)體與雙側(cè)滾道總的等效接觸變形系數(shù)為[11]

式中：Ko、Ki分別為滾動(dòng)體與外、內(nèi)圈的接觸變形系數(shù)；對(duì)球軸承n=1.5，對(duì)圓柱滾子軸承，n≈1.11。

假設(shè)在內(nèi)圈上某一點(diǎn)存在局部點(diǎn)蝕故障缺陷，其模型如圖1所示。φspall為故障中心的初始位置角?？紤]軸承間隙的影響，第j個(gè)滾動(dòng)體與滾道總的接觸變形量為

圖1 內(nèi)圈單點(diǎn)故障模型

式中：j 為滾動(dòng)體的序號(hào)；μ 為徑向間隙；βj為開關(guān)量；λ 為滾動(dòng)體滾過(guò)故障區(qū)釋放的變形量；θj為第j個(gè)滾動(dòng)體的位置角

式中：ωc、ωi分別為保持架和內(nèi)圈的旋轉(zhuǎn)角速度；Z 為滾動(dòng)體數(shù)目；θ1為1號(hào)滾動(dòng)體的初始位置角；Db、α 為滾動(dòng)體直徑及其與滾道的接觸角；Dm為節(jié)圓直徑。根據(jù)圖1中的幾何關(guān)系，在內(nèi)圈旋轉(zhuǎn)過(guò)程中故障中心的位置角為

開關(guān)量βj表示滾動(dòng)體是否與內(nèi)圈缺陷相接觸。當(dāng)?shù)趈個(gè)滾動(dòng)體的位置角θj處于故障中心的位置角之內(nèi)時(shí)，則二者接觸，存在接觸釋放變形量；反之亦然。因此βj可定義為

式中：Δφs為故障的跨度角。

滾動(dòng)軸承內(nèi)圈局部點(diǎn)蝕故障如圖2所示。從圖中可見，故障寬度為2b，深度通常被定義為d'。由于實(shí)際的滾動(dòng)軸承內(nèi)圈不可能為完全意義上的剛性體，在與滾珠接觸時(shí)，內(nèi)圈本身也會(huì)變形。由于忽略了內(nèi)圈的變形量，d'并不能完全表示內(nèi)圈故障的嚴(yán)重程度。實(shí)際的故障深度應(yīng)該是d'加上內(nèi)圈的變形量Cdi，即如圖2（b）所示的d。當(dāng)滾動(dòng)體通過(guò)內(nèi)圈缺陷并且滾動(dòng)體接觸到缺陷底部時(shí)，釋放的最大接觸變形量λmax即為d；當(dāng)滾動(dòng)體通過(guò)內(nèi)圈缺陷但并不能接觸到缺陷底部時(shí)，釋放的最大接觸形變量λmax應(yīng)該是滾動(dòng)體的變形量Cdr和內(nèi)圈的變形量Cdi之和，即

圖2 內(nèi)圈局部點(diǎn)蝕故障

由圖2可得

則滾動(dòng)體通過(guò)內(nèi)圈故障釋放的最大變形量為

目前的內(nèi)圈故障釋放模型是如圖3（a）所示的理想模型，即將點(diǎn)蝕缺陷理想化為矩形缺口，當(dāng)滾動(dòng)體一進(jìn)入故障區(qū)就瞬間釋放全部變形量，離開的瞬間又重新獲得接觸變形；而更多實(shí)際的點(diǎn)蝕缺陷如圖3（b）所示的截面為一圓弧的缺口，變形的釋放和重新獲得是1個(gè)漸變的過(guò)程[10]。當(dāng)在進(jìn)入和離開缺陷的接觸點(diǎn)A、C 點(diǎn)處時(shí)，|φs-θj|=Δφs/2，由故障釋放的變形量為零；接觸點(diǎn)靠近弧線最低點(diǎn)B 時(shí)變形量逐漸變大，并且在B 點(diǎn)|φs-θj|=0，釋放的變形量達(dá)到最大。假設(shè)A、C 點(diǎn)相對(duì)于弧線最低點(diǎn)B 左右對(duì)稱，由于實(shí)際的點(diǎn)蝕故障弧線長(zhǎng)度相較于內(nèi)圈半徑很小，因此弧線AB 和BC 可近似當(dāng)成直線。根據(jù)以上分析可知實(shí)際的釋放形變量應(yīng)該是在式（11）的基礎(chǔ)上，考慮形變釋放或重新獲得的漸變過(guò)程所得

圖3 內(nèi)圈故障變形釋放模型

根據(jù)Hertz理論，第j個(gè)滾動(dòng)體所承受的接觸載荷為

將Fj分別在X、Y 方向進(jìn)行投影，可得單個(gè)滾動(dòng)體對(duì)外圈的接觸載荷為

將所有滾動(dòng)體的接觸載荷相加，得到外圈在X、Y 方向總的接觸載荷分別為

根據(jù)牛頓第2定律，滾動(dòng)軸承外圈的非線性振動(dòng)方程為

式中：m 為外圈質(zhì)量；c 為系統(tǒng)的等效阻尼；Fe、Fr分別為轉(zhuǎn)子偏心載荷和外加載荷。

2 含內(nèi)圈單一點(diǎn)蝕故障的滾動(dòng)軸承仿真與試驗(yàn)分析

2.1 仿真分析

以SKF6205型軸承為例，建立如式（16）的滾動(dòng)軸承外圈的非線性振動(dòng)方程。利用4階5級(jí)龍格-庫(kù)塔法求解該非線性方程。軸承的內(nèi)、外徑分別為25、52mm，最大壁厚為15mm，滾動(dòng)體數(shù)為9，節(jié)徑39.04 mm。假設(shè)故障深度為0.2mm，寬度為0.5mm，初始條件為x=y=0，x'=y'=0，初始、終止時(shí)間分別為0.2、0.3 s，等效阻尼c=200N·s/m，內(nèi)圈轉(zhuǎn)速n=1772r/min，偏心載荷，偏心距，外加載荷Fr=200N，滾動(dòng)體通過(guò)內(nèi)圈頻率（即內(nèi)圈故障特征頻率）的理論值為159.93 Hz。內(nèi)圈單點(diǎn)故障的振動(dòng)速度加速度仿真曲線如圖4所示。

圖4 內(nèi)圈單點(diǎn)故障仿真結(jié)果

從圖中可見，當(dāng)滾動(dòng)軸承內(nèi)圈存在點(diǎn)蝕故障時(shí)，其速度信號(hào)在0.1s內(nèi)約有16次沖擊，特征頻率約為160Hz，與滾動(dòng)體通過(guò)內(nèi)圈的頻率相對(duì)應(yīng)。由于受沖擊載荷的作用，當(dāng)滾動(dòng)體通過(guò)故障缺陷時(shí)，導(dǎo)致振動(dòng)加速度的響應(yīng)量值明顯大于振動(dòng)速度的。

低頻段的信號(hào)頻譜如圖5所示。從圖中可見，速度和加速度信號(hào)頻譜成分主要包括：內(nèi)圈轉(zhuǎn)動(dòng)頻率(29.3Hz)、滾動(dòng)體通過(guò)內(nèi)圈頻率及其高次諧波(159.9、319.9Hz)以及內(nèi)圈轉(zhuǎn)頻導(dǎo)致的邊頻(130.6、189.2Hz等)。而頻率結(jié)構(gòu)中高次諧波的出現(xiàn)可能主要是由式（13）的接觸載荷與接觸形變量之間的非線性關(guān)系所引起。振動(dòng)速度信號(hào)的幅值為10-4m/s2量級(jí)，而振動(dòng)加速度信號(hào)的幅值為10-1m/s2量級(jí)，并且在速度信號(hào)頻譜結(jié)構(gòu)中，滾動(dòng)體通過(guò)內(nèi)圈頻率即內(nèi)圈故障特征頻率與轉(zhuǎn)動(dòng)頻率的比值約為1.5，而相應(yīng)加速信號(hào)頻譜結(jié)構(gòu)中對(duì)應(yīng)的比值約為10，內(nèi)圈故障特征頻率及其倍頻相對(duì)內(nèi)圈轉(zhuǎn)頻的比值增大，有利于故障診斷。

圖5 內(nèi)圈單點(diǎn)故障仿真頻譜

2.2 試驗(yàn)分析

為驗(yàn)證該模型的準(zhǔn)確性，采用美國(guó)西儲(chǔ)大學(xué)標(biāo)準(zhǔn)軸承實(shí)驗(yàn)臺(tái)的數(shù)據(jù)[12]，用電火花法在SKF6205型軸承內(nèi)圈上加工1個(gè)深度為0.2mm，直徑約0.53mm的點(diǎn)蝕故障。采樣頻率為48kHz，轉(zhuǎn)速為1772r/min，其時(shí)域及低頻段的波形如圖6所示。

圖6 內(nèi)圈單一故障的試驗(yàn)結(jié)果

從圖中可見，（a）時(shí)域波形很難得出任何故障信息，而（b）的頻譜可以得出內(nèi)圈故障特征頻率（159.9 Hz）及內(nèi)圈轉(zhuǎn)動(dòng)頻率導(dǎo)致的邊頻（189.9Hz）、內(nèi)圈轉(zhuǎn)動(dòng)頻率的高次諧波（129.9、359.8、389.5Hz），與仿真信號(hào)的結(jié)果相一致。此外，還存在大量邊頻，應(yīng)是由保持架轉(zhuǎn)動(dòng)頻率、架相對(duì)內(nèi)圈頻率的調(diào)制作用以及背景噪聲的干擾引起。另外，需指出的是由于受試驗(yàn)信號(hào)背景噪聲的干擾，內(nèi)圈轉(zhuǎn)動(dòng)頻率（29.3Hz）被噪聲所淹沒，頻譜結(jié)構(gòu)中沒有顯現(xiàn)。

3 總結(jié)

基于Herz接觸理論，建立了內(nèi)圈單一點(diǎn)蝕故障的滾動(dòng)軸承的動(dòng)力學(xué)模型。模型考慮了內(nèi)圈變形量的影響；同時(shí)基于變形量漸變釋放的客觀事實(shí)，給出了滾動(dòng)體進(jìn)入和離開故障區(qū)時(shí)釋放形變量變化規(guī)律及計(jì)算方法，使模型更符合滾動(dòng)軸承內(nèi)圈故障的實(shí)際運(yùn)行狀態(tài)。通過(guò)仿真和試驗(yàn)，證明了該模型的正確性，為滾動(dòng)軸承狀態(tài)監(jiān)測(cè)與故障診斷提供了理論支持。

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