彈箭非線性角運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性Hopf分岔分析

鐘揚(yáng)威，王良明，傅健，常思江

（南京理工大學(xué)能源與動(dòng)力工程學(xué)院，江蘇南京210094）

彈箭非線性角運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性Hopf分岔分析

鐘揚(yáng)威，王良明，傅健，常思江

（南京理工大學(xué)能源與動(dòng)力工程學(xué)院，江蘇南京210094）

為了分析彈箭的角運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性，推導(dǎo)了彈箭的非線性角運(yùn)動(dòng)方程組，給出彈箭的非線性角運(yùn)動(dòng)Hopf分岔分析方法。以某型火箭彈高原試驗(yàn)為例，選取空氣密度作為分岔參數(shù)，采用霍爾維茨判據(jù)判斷了系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并確定了分岔點(diǎn)。由中心流形定理對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行降維，計(jì)算了Hopf分岔的3階規(guī)范形，并作出了系統(tǒng)的分岔圖，分析了分岔參數(shù)對(duì)極限環(huán)擺幅的影響。進(jìn)行了仿真驗(yàn)證，結(jié)果表明，采用分岔分析方法能準(zhǔn)確判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性及分析系統(tǒng)的極限環(huán)運(yùn)動(dòng)。

兵器科學(xué)與技術(shù)；非線性角運(yùn)動(dòng)；運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性；Hopf分岔

0 引言

在火箭彈的高原遙測(cè)試驗(yàn)過(guò)程中，觀測(cè)到大射角射擊時(shí)多次出現(xiàn)大攻角錐形運(yùn)動(dòng)，使得射程減小，這種現(xiàn)象可能是非線性運(yùn)動(dòng)造成的。對(duì)于彈箭的非線性角運(yùn)動(dòng)分析，文獻(xiàn)［1］中推導(dǎo)了復(fù)攻角模型，并借助平均法等定性方法理論分析了不同情況下的非線性角運(yùn)動(dòng)規(guī)律。文獻(xiàn)［2］在文獻(xiàn)［1］模型的基礎(chǔ)上研究了非旋轉(zhuǎn)大長(zhǎng)徑比彈箭在非線性氣動(dòng)力作用下產(chǎn)生極限平面擺動(dòng)的機(jī)理及其抑制措施。文獻(xiàn)［3］推導(dǎo)一個(gè)較為復(fù)雜的保留了幾何非線性和氣動(dòng)非線性的復(fù)攻角模型，但未涉及到具體分析。文獻(xiàn)［4］通過(guò)對(duì)大長(zhǎng)徑比無(wú)控低旋火箭彈的卷弧尾翼在3種不同安裝位置時(shí)的氣動(dòng)特性進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，得出火箭彈在飛行過(guò)程中確實(shí)會(huì)出現(xiàn)錐形運(yùn)動(dòng)且尾翼安裝方式對(duì)錐形運(yùn)動(dòng)會(huì)產(chǎn)生影響，證明了反裝反向滾轉(zhuǎn)卷弧形尾翼可以抑制低旋無(wú)控火箭彈的錐形運(yùn)動(dòng)。文獻(xiàn)［5］考察了章動(dòng)運(yùn)動(dòng)條件下的自旋彈體運(yùn)動(dòng)模型，并分析了線性化模型的穩(wěn)定性，計(jì)算了自旋彈體的穩(wěn)定性臨界轉(zhuǎn)速與臨界錐角。文獻(xiàn)［6］建立了章動(dòng)和進(jìn)動(dòng)的復(fù)合運(yùn)動(dòng)模型，根據(jù)線性化模型分析了彈體章動(dòng)及進(jìn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)的相互關(guān)系，給出了自旋彈體章動(dòng)運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性條件。文獻(xiàn)［7］綜合考慮彈體姿態(tài)運(yùn)動(dòng)和位移運(yùn)動(dòng)建立了旋轉(zhuǎn)彈錐形運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)模型，采用李雅普諾夫一級(jí)近似方法，給出了彈道頂點(diǎn)附近彈體錐形運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定判據(jù)。文獻(xiàn)［8］給出了火箭錐形運(yùn)動(dòng)的微分方程組，文獻(xiàn)［9-10］在該方程組的基礎(chǔ)上通過(guò)小偏差線性化方法研究了火箭彈在小錐角情況下圓錐運(yùn)動(dòng)漸進(jìn)穩(wěn)定條件及收斂速度計(jì)算方法，并提出了提高火箭彈圓錐運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的方法。文獻(xiàn)［11-12］基于陀螺線性擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程研究了旋轉(zhuǎn)導(dǎo)彈的錐形運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性問(wèn)題。事實(shí)上，錐形運(yùn)動(dòng)對(duì)應(yīng)于常微分方程中的極限環(huán)問(wèn)題，因此，可采用常微分方程穩(wěn)定性分岔理論進(jìn)行研究。

本文建立了新的彈箭非線性角運(yùn)動(dòng)方程組，該方程組盡可能完整地保留了幾何非線性及氣動(dòng)力非線性。給出了基于中心流形定理和規(guī)范形理論的彈箭非線性角運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性Hopf分岔分析方法。結(jié)合某型火箭彈在高原射擊時(shí)的參數(shù)，分析了以密度作為分岔參數(shù)時(shí)火箭彈非線性角運(yùn)動(dòng)的分岔特性。最后在給定初始條件下進(jìn)行了數(shù)值模擬，驗(yàn)證了分岔分析方法結(jié)果正確性。

1 彈箭非線性角運(yùn)動(dòng)方程

1.1 坐標(biāo)系的定義［1］

1）地面坐標(biāo)系OExyz:其原點(diǎn)OE在炮口斷面中心，OEx軸沿著水平線指向目標(biāo)，OEy軸垂直于OEx軸，鉛直向上為正，OEz軸按右手法則確定。地面坐標(biāo)系為動(dòng)坐標(biāo)系，在忽略地球自轉(zhuǎn)的情況下可將其視為慣性系。

2）基準(zhǔn)坐標(biāo)系Oxryrzr:由地面坐標(biāo)系平移至彈箭質(zhì)心O而成，隨質(zhì)心一起平動(dòng)。

3）彈道坐標(biāo)系Oxtytzt:其Oxt軸沿質(zhì)心速度矢量v的方向，Oyt軸在包含速度矢量v的鉛垂面內(nèi)垂直于Oxt軸，向上為正，Ozt軸按右手法則確定。

4）第2彈軸坐標(biāo)系Oξηζ:其Oξ軸為彈軸，指向彈頭方向?yàn)檎?。該系由彈道坐?biāo)系經(jīng)過(guò)繞Ozt軸和Oη軸的分別旋轉(zhuǎn)δ1和δ2而來(lái)，則Oη軸在包含速度矢量v的鉛垂面內(nèi)垂直于Oξ軸，向上為正。

該系還可由基準(zhǔn)系經(jīng)三次旋轉(zhuǎn)而來(lái)，第一次是基準(zhǔn)坐標(biāo)系繞Ozn軸正向右旋φ1角到達(dá)Oξ′η′zn，第二次是Oξ′η′zn系繞Oη′軸負(fù)向右旋φ2角到達(dá)Oξη′ζ′，第三次是Oξη′ζ′系繞Oξ左旋β角得來(lái)。

第2彈軸坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度ω1為

5）彈體坐標(biāo)系OXbYbZb:其OXb軸與彈軸平行；OYb軸垂直O(jiān)Xb軸，并在彈箭縱向平面內(nèi)，向上為正；OZb軸滿足右手法則。

此坐標(biāo)系可由第2彈軸坐標(biāo)系繞彈軸轉(zhuǎn)過(guò)-β+γ角而得到，其轉(zhuǎn)動(dòng)角速度矢量為

1.2 坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣

1）彈道坐標(biāo)系與第2彈軸坐標(biāo)系間的轉(zhuǎn)換矩陣L（δ1，δ2）為

2）基準(zhǔn)坐標(biāo)系與彈道坐標(biāo)系間的轉(zhuǎn)換矩陣L（θ1，ψ2）為

式中:θ1、ψ2分別為速度高低角和方位角。

1.3 彈箭非線性角運(yùn)動(dòng)方程推導(dǎo)

1.3.1 彈箭質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程

彈箭質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程組的矢量形式描述［1］如下:

式中:m為彈丸質(zhì)量；F為彈丸受到的氣動(dòng)力的合力；ωt為彈道坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度。將方程向第2彈軸坐標(biāo)系投影得

式中:Fx、Fy、Fz為氣動(dòng)力F在彈道坐標(biāo)系3軸上的分量。（6）式等號(hào)左邊兩項(xiàng)計(jì)算如下:

將（7）式、（8）式代入（6）式，并在等號(hào)兩邊同時(shí)乘上LT（δ1，δ2），則有

式中:G為彈箭重力。

整理（9）式得

1.3.2 彈箭繞心運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程

彈箭繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)方程用矢量形式描述［1］如下:

式中:H為彈箭對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩；M為彈箭所受外力對(duì)質(zhì)心的合力矩。

方程左邊的兩項(xiàng)計(jì)算如下:

式中:A、C分別為彈箭的赤道轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和極轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；彈體坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度ω和第2彈軸坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度ω1的表達(dá)式分別為

整理（11）式～（14）式可以得到以第2彈軸坐標(biāo)系為參考系的繞心運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程組為

式中:Mξ、Mη、Mζ為力矩M在第2彈軸坐標(biāo)系3軸上的分量。

1.3.3 彈箭非線性角運(yùn)動(dòng)方程

對(duì)于彈箭的角運(yùn)動(dòng)，主要關(guān)心的是δ1、δ2、ωη、ωζ的變化情況，故選取這4個(gè)量作為狀態(tài)變量x=［δ1δ2ωηωζ］T.

彈箭飛行過(guò)程中，有sin β≈sin ψ2sin δ1/cos δ2，δ2≈φ2-ψ2，則

角度單位為弧度時(shí)，ψ2和的量級(jí)為10-4和 10-5，在攻角和擺動(dòng)角速度較大時(shí)，經(jīng)估算分析，相對(duì)于ωζtan φ2為小量，故取、φ2≈δ2.則ω和 ω1關(guān)系為

將第2彈軸坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度代入到δ1、δ2、ωη、ωζ的方程中，不計(jì)重力，得到彈箭的非線性角運(yùn)動(dòng)方程組如下:

根據(jù)文獻(xiàn)［1，13］，考慮氣動(dòng)力和力矩的最簡(jiǎn)非線性形式時(shí)，升力系數(shù)導(dǎo)數(shù)、靜力矩系數(shù)、赤道阻尼力矩系數(shù)、馬格努斯力矩系數(shù)可統(tǒng)一表示為以下多項(xiàng)式形式:

式中:δ為彈箭的總攻角，cos δ=cos δ2cos δ1；ct為上述的氣動(dòng)系數(shù)；c0、c2分別為氣動(dòng)系數(shù)的線性項(xiàng)和立方項(xiàng)。

方程組中包含了三角函數(shù)及其乘積，推導(dǎo)過(guò)程未涉及到三角函數(shù)的線性化問(wèn)題，這體現(xiàn)了該方程組保留了幾何非線性。因此，該方程組具有普遍性，適用于彈箭的非線性角運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性分析。

2 彈箭非線性角運(yùn)動(dòng)分岔分析方法

2.1 非線性角運(yùn)動(dòng)方程分岔點(diǎn)計(jì)算

將彈箭所受的氣動(dòng)力和力矩代入到角運(yùn)動(dòng)方程中得

式中:S、l、d分別為彈箭的參考面積、長(zhǎng)度和直徑。

令方程組（20）式等號(hào)右邊為0，求得O［0000］T為系統(tǒng)的平衡點(diǎn)。（20）式在平衡點(diǎn)處的雅克比矩陣為

求出A的特征多項(xiàng)式，選取分岔參數(shù)μ，當(dāng)參數(shù)μ變化時(shí)，根據(jù)霍爾維茨判據(jù)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的變化，穩(wěn)定性發(fā)生改變的點(diǎn)即為分岔點(diǎn)μ0.此時(shí)特征多項(xiàng)式有一對(duì)純虛的特征根和一對(duì)實(shí)部為負(fù)的特征根（實(shí)部為正時(shí)，系統(tǒng)不穩(wěn)定，這是實(shí)際中不關(guān)心的），求出系統(tǒng)在分岔點(diǎn)處的特征值λ1、λ2、λ3、λ4及特征向量ξ1、ξ2、ξ3、ξ4.

2.2 非線性角運(yùn)動(dòng)方程降維

四維角運(yùn)動(dòng)方程直接進(jìn)行分岔分析比較困難，需要對(duì)其進(jìn)行降維。在分岔點(diǎn)處，系統(tǒng)特征多項(xiàng)式有一對(duì)純虛的特征根和一對(duì)實(shí)部為負(fù)的特征根，此時(shí)存在二維中心流形，可采用中心流形定理對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行降維［14］。

引入非奇異線性變換x=py，其中y=［y1y2y3y4］T，其中p為A的第2和第4個(gè)特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量的實(shí)部和虛部所構(gòu)成的方陣。令u=［y1y2］T，v=［y3y4］T，代入系統(tǒng)方程得

式中:B、C分別為兩個(gè)方程的雅克比矩陣；F（u，v）和G（u，v）為方程組的非線性項(xiàng)。

由中心流形定理，可以把v表示為v=h（u），其中h（0）=h′（0）=0.為確定h（u），將v=h（u）代入（22）式的第2式，利用求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t，有

再利用第1式整理得到h（u）的微分方程

精確求解h（u）有困難，可以根據(jù)所需要中心流形的階數(shù)假設(shè)方程

將（25）式代入到h（u）的微分方程，根據(jù)各項(xiàng)系數(shù)對(duì)應(yīng)相等解出aijk、bijk，即得到v=h（u）的表達(dá)式.將h（u）代入（22）式中的第1式，即可得到中心流形上流的約化方程

2.3 非線性角運(yùn)動(dòng)方程極限環(huán)計(jì)算

將約化后的方程寫成如下形式:

根據(jù)規(guī)范形理論［15］，其3階規(guī)范形為

引入極坐標(biāo)變換y1=rcos θ，y2=rsin θ，得到如下方程:

由此得到系統(tǒng)的近似平衡方程cμr+ar3=0.系統(tǒng)的極限環(huán)由cμr+ar3=0的非零解決定。極限環(huán)的擺幅，周期T=2π/ω.

當(dāng)a≠0，c≠0時(shí)，系統(tǒng)在μ=0處出現(xiàn)Hopf分岔，其分岔特性為

1）當(dāng)c＞0和a＞0時(shí)，平衡點(diǎn)對(duì)μ＞0不穩(wěn)定，對(duì)μ＜0漸進(jìn)穩(wěn)定，當(dāng)μ＜0存在不穩(wěn)定極限環(huán)；

2）當(dāng)c＞0和a＜0時(shí)，平衡點(diǎn)對(duì)μ＞0不穩(wěn)定，對(duì)μ＜0漸進(jìn)穩(wěn)定，當(dāng)μ＞0存在漸進(jìn)穩(wěn)定極限環(huán)；

3）當(dāng)c＜0和a＞0時(shí)，平衡點(diǎn)對(duì)μ＞0漸進(jìn)穩(wěn)定，對(duì)μ＜0不穩(wěn)定，當(dāng)μ＞0存在不穩(wěn)定極限環(huán)；

4）當(dāng)c＜0和a＜0時(shí)，平衡點(diǎn)對(duì)μ＞0漸進(jìn)穩(wěn)定，對(duì)μ＜0不穩(wěn)定，當(dāng)μ＜0存在漸進(jìn)穩(wěn)定極限環(huán)。

3 火箭彈非線性角運(yùn)動(dòng)計(jì)算分析

根據(jù)外彈道學(xué)的理論［13］，尾翼彈的飛行不穩(wěn)定主要是由非線性馬格努斯力矩造成的。高原大射角射擊時(shí)，火箭彈主動(dòng)段后彈道上空氣密度明顯降低，導(dǎo)致馬格努斯力矩的影響加劇，從而出現(xiàn)飛行不穩(wěn)定。降低射角后射擊，飛行不穩(wěn)定現(xiàn)象明顯減少，這是因?yàn)閺椀郎峡諝饷芏仍黾?，有效抑制了馬格努斯效應(yīng)的不利影響。因此，密度的變化對(duì)于馬格努斯效應(yīng)的影響程度較大。本節(jié)主要分析考慮立方馬格努斯力矩后，選取空氣密度作為分岔參數(shù)時(shí)，某型火箭彈的非線性角運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的情況。

3.1 角運(yùn)動(dòng)方程分岔點(diǎn)計(jì)算

將火箭彈參數(shù)和所受的力和力矩代入到非線性角運(yùn)動(dòng)方程中，求得系統(tǒng)在平衡點(diǎn)O處的雅克比矩陣

它的特征多項(xiàng)式可以寫成如下形式:

式中:a4=1；a3=3.0242ρ；a2=0.0875+1 324.944 2ρ+ 3.4063ρ2；a1=17.401 8ρ+2 003.468 8ρ2+1.693 3ρ3；a0=4.387 3×105ρ2+741.855 5ρ3+0.313 5ρ4.

根據(jù)四維系統(tǒng)的霍爾維茨判據(jù):穩(wěn)定條件是特征方程的所有系數(shù)為正數(shù)，還要Δ3＞0.可以看出角方程雅克比矩陣的特征方程所有系數(shù)都為正數(shù)，因此只需要判斷Δ3的符號(hào)。由

計(jì)算可得:當(dāng)ρ＜0.5623時(shí)，Δ3＜0，系統(tǒng)平衡點(diǎn)O是不穩(wěn)定的；ρ＞0.562 3時(shí)，Δ3＞0，平衡點(diǎn)O是穩(wěn)定的。所以，為分岔點(diǎn)，此時(shí)高度約為7400 m.

3.2 角運(yùn)動(dòng)方程降維

將方程組中的三角函數(shù)在零點(diǎn)鄰域內(nèi)進(jìn)行泰勒展開(kāi)，忽略三次以上的高階量，令，進(jìn)行非奇異線性變換x=py，系統(tǒng)化成

根據(jù)中心流形定理，計(jì)算其2階中心流形

忽略3階以上的項(xiàng)，中心流形上的約化方程為

這樣就利用中心流形定理將原四維系統(tǒng)化成了二維系統(tǒng)。

3.3 角運(yùn)動(dòng)極限環(huán)計(jì)算

本節(jié)計(jì)算密度對(duì)極限環(huán)的影響，包括兩部分:極限環(huán)的產(chǎn)生條件及極限環(huán)幅值和周期的計(jì)算。

3.3.1 角運(yùn)動(dòng)極限環(huán)產(chǎn)生條件

根據(jù)規(guī)范形理論，約化后的系統(tǒng)3階規(guī)范形為

式中:c=-0.378 0；ω=19.454 0；e=-17.165 1；a=-0.002 9；周期T=2π/ω=0.32 s.

引入極坐標(biāo)變換，得到系統(tǒng)的近似平衡方程0.378 0μr+0.002 9r3=0.其分岔圖如圖1所示，其中橫坐標(biāo)μ為系統(tǒng)分岔參數(shù)，縱坐標(biāo)r表示Hopf分岔。橫軸上實(shí)線代表穩(wěn)定的平衡點(diǎn)，虛線代表不穩(wěn)定平衡點(diǎn)。

圖1 系統(tǒng)Hopf分岔圖Fig.1 Hopf bifurcation diagram of system

由分岔圖可以看出:當(dāng)μ＞0時(shí)，平衡方程的只有唯一解r=0，此時(shí)平衡點(diǎn)穩(wěn)定；當(dāng)μ＜0時(shí)，平衡

3.3.2 角運(yùn)動(dòng)極限環(huán)計(jì)算

由二維中心流形

則y3、y4表示為

由x=py換回物理坐標(biāo)得

空氣密度ρ分別取0.3 kg/m3、0.4 kg/m3、0.5 kg/m3時(shí)，系統(tǒng)的極限環(huán)如圖2所示。

由圖2中可以看出，密度對(duì)極限環(huán)的幅值影響比較大，當(dāng)密度減小時(shí)，極限環(huán)幅值增大。當(dāng)密度為0.3 kg/m3時(shí)，極限環(huán)幅值約為13°.

4 數(shù)值模擬

當(dāng)空氣密度取ρ=1.2 kg/m3，初始條件為［-1.1° 1.1° 0.6 rad/s -0.6 rad/s］T時(shí)角運(yùn)動(dòng)如圖3所示。

圖2 不同密度時(shí)的角運(yùn)動(dòng)極限環(huán)Fig.2 Limit cycles of angular motion for different densities

圖3 ρ=1.2 kg/m3時(shí)角運(yùn)動(dòng)軌跡相圖Fig.3 Trajectory diagram of angular motion for ρ=1.2 kg/m3

當(dāng)空氣密度取ρ=0.3 kg/m3，初始條件為［-8.0° 3.8° 7.5 rad/s -2.1 rad/s］T時(shí)角運(yùn)動(dòng)如圖4所示。

圖4 ρ=0.3 kg/m3時(shí)角運(yùn)動(dòng)軌跡相圖Fig.4 Trajectory diagram of angular motion for ρ=0.3 kg/m3

從圖3和圖4中可以看出:在初始值給定的情況下，ρ=1.2 kg/m3時(shí)，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)為趨近于平衡點(diǎn)；ρ=0.3 kg/m3時(shí)，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)為趨近于極限環(huán)；當(dāng)ρ=0.3 kg/m3時(shí)，數(shù)值模擬得到δ1、δ2的極限環(huán)擺幅為13°，和計(jì)算相同。

5 結(jié)論

本文建立了彈箭非線性角運(yùn)動(dòng)方程，給出了彈箭非線性角運(yùn)動(dòng)Hopf分岔分析方法。選取某型火箭彈高原射擊時(shí)的數(shù)據(jù)，以密度作為分岔參數(shù)，計(jì)算了角運(yùn)動(dòng)的分岔特性。結(jié)果顯示，密度在0.5623 kg/m3時(shí)，角運(yùn)動(dòng)開(kāi)始出現(xiàn)不穩(wěn)定，此時(shí)高度約為7 400 m，這與高原試驗(yàn)中開(kāi)始出現(xiàn)飛行不穩(wěn)定的高度基本相同。當(dāng)密度小于0.562 3 kg/m3時(shí)，火箭彈在非線性馬格努斯力矩作用下角會(huì)出現(xiàn)極限環(huán)運(yùn)動(dòng)，且極限環(huán)的擺幅隨著密度的減小而增大。當(dāng)密度為0.3 kg/m3時(shí)，極限環(huán)的擺幅約為13°.最后數(shù)值模擬驗(yàn)證了分析方法的正確性。本文建立的非線性角運(yùn)動(dòng)模型及給出的非線性角運(yùn)動(dòng)Hopf分岔分析方法對(duì)彈箭的飛行理論、結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)、試驗(yàn)分析等具有一定的應(yīng)用價(jià)值。

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Hopf Bifurcation Analysis of Nonlinear Angular Motion Stability of Projectile

ZHONG Yang-wei，WANG Liang-ming，F(xiàn)U Jian，CHANG Si-jiang
（School of Energy and Power Engineering，Nanjing University of Science and Technology，Nanjing 210094，Jiangsu，China）

In order to analyze the angular motion stability of projectile，the equations of the nonlinear angular motion are derived，and the Hopf bifurcation analysis method of the nonlinear angular motion of projectile is given.Taking a rocket plateau test as an example，the air density is selected as the bifurcation parameter，and the Hurwitz criterion is used to judge the stability of the system.The bifurcation point is determined.Center manifold theory is proposed to reduce the system dimension，and then a three-order normal form of Hopf bifurcation is calculated by plotting the bifurcation diagram.In addition，the effect of the bifurcation parameter on the swing of the limit cycle is analyzed.The numerical simulations show that the bifurcation analysis method can be used to judge the stability of the system correctly and analyze the motion of limit cycle in the system accurately.

ordnance science and technology；nonlinear angular motion；motion stability；Hopf bifurcation

TJ714

A

1000-1093（2015）07-1195-08

10.3969/j.issn.1000-1093.2015.07.007

2014-05-08

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（11402117）

鐘揚(yáng)威（1989—），男，博士研究生。E-mail:zyw_601@163.com；王良明（1963—），男，教授，博士生導(dǎo)師。E-mail:lmwang802@163.com