PMF-FFT捕獲算法部分匹配濾波器長度選取研究

黃云青，尚 勇，白 森

(1.中國空空導(dǎo)彈研究院，河南 洛陽 471009;2. 中國民航飛行學(xué)院洛陽分院，河南 洛陽 471009)

0 引 言

衛(wèi)星通信以其覆蓋廣、全天候、頻帶資源豐富等眾多優(yōu)勢成為非常重要的通信手段。許多衛(wèi)星系統(tǒng)已經(jīng)得到廣泛應(yīng)用，例如GPS 全球衛(wèi)星定位系統(tǒng)，Gb(全球星)系統(tǒng)，銥星(Iridium)系統(tǒng)都是非常成功的衛(wèi)星通信系統(tǒng)。衛(wèi)星通信系統(tǒng)在傳輸過程中由于信號環(huán)境復(fù)雜惡劣，不可避免會有較大的衰減導(dǎo)致信噪比較低;而且在高動態(tài)環(huán)境下，衛(wèi)星與載體間的傳輸鏈路會存在較高的多普勒頻移。目前衛(wèi)星通信中所采用的擴頻通信技術(shù)以其抗干擾能力強、可靠性高而廣為認可。擴頻通信中最為重要的環(huán)節(jié)之一就是擴頻信號的同步過程，分為捕獲和跟蹤兩個過程。高動態(tài)環(huán)境下由于多普勒頻移較大，導(dǎo)致接收機相關(guān)運算產(chǎn)生較大的衰減，并且為保證通信的可靠性，衛(wèi)星通信系統(tǒng)都使用了長度較長的偽隨機碼，這些都不利于快速捕獲。衛(wèi)星通信要求有較高的實時性，因此研究如何能夠在較大多普勒頻移下實現(xiàn)長度較大的偽碼快速捕獲算法具有非常重要的意義。

20 世紀以來擴頻通信技術(shù)不斷發(fā)展，擴頻信號的快速捕獲問題一直是研究的熱點。目前較為成熟的捕獲算法主要有滑動相關(guān)捕獲法、匹配濾波器，以及基于FFT 的捕獲算法等。20 世紀80年代，文獻［1］中首次將匹配濾波器引入到擴頻捕獲算法中。20 世紀90年代開始，將FFT 引入捕獲算法成為新的熱點。文獻［2］首次提出將匹配濾波器與FFT 結(jié)合起來實現(xiàn)快速捕獲的算法，該算法在部分匹配濾波器的基礎(chǔ)上加入了FFT 運算以改良匹配濾波器在多普勒頻移狀況下的缺點，使得系統(tǒng)在較大多普勒頻移的條件下依然具有較高的檢測概率和優(yōu)秀的捕獲時間。文獻［3］描述了大多普勒頻偏下的一種非相干檢測的快速捕獲系統(tǒng)，首次給出PMF-FFT 捕獲模型，并分析了高斯信道下的虛警概率和檢測概率特性;然后利用該模型對接收偽碼進行匹配濾波處理，進行FFT 補償，可以增加頻偏的搜索范圍。文獻［4］中，Spangenberg等人詳細分析了PMF-FFT 捕獲系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型以及性能，除了補零并加長FFT 點數(shù)的處理方法外，還提出對FFT 輸入數(shù)據(jù)進行加窗處理來降低扇貝損失。之后的研究大多是在此基礎(chǔ)上如何改進算法的實現(xiàn)方法，而鮮有實質(zhì)的理論創(chuàng)新。部分匹配濾波器的長度選擇影響著整個算法的大多普勒頻移下的捕獲能力，對于整個捕獲算法的系統(tǒng)性能有著至關(guān)重要的影響，但是對于整個系統(tǒng)的具體影響因素以及如何根據(jù)用戶指標選取濾波器長度，之前的研究鮮有給出綜合的結(jié)論。

本文研究了基于PMF-FFT 的快速捕獲算法的原理性能，全面考慮了匹配濾波器的長度選擇對算法理論性能和捕獲性能的影響，可以解決捕獲系統(tǒng)設(shè)計中匹配濾波器的長度選擇問題，從而為該算法在實際系統(tǒng)中的應(yīng)用奠定堅實基礎(chǔ)。

1 PMF-FFT 算法基本原理及數(shù)學(xué)模型

PMF-FFT 算法是基于匹配濾波器算法與FFT算法相結(jié)合的捕獲算法模型，其結(jié)構(gòu)示意圖如圖1所示［4］。

圖1 PMF-FFT 結(jié)構(gòu)圖

該系統(tǒng)包含了P個部分匹配濾波器，每個長度為X，XP = M;M 為偽隨機序列長度。部分匹配濾波器的主要作用是對接收信號進行部分解擴，得到一定的擴頻增益，從而提高信噪比。第一個處理偽隨機序列的前X個碼片，第二個處理后X個，以此類推。這P個部分匹配濾波器的輸出為部分相關(guān)輸出。如果把這些輸出進行相干累加就會與長度為M 的標準匹配濾波器的響應(yīng)相同。對這些輸出結(jié)果進行N 點FFT 運算，N ≥P，再進入一個最大信號選擇器來進行多普勒估計。FFT 輸出端的最大信號選擇器的輸出與多普勒頻移最接近頻率相同。該方法將搜索偽碼相位和估計多普勒頻移同時進行，即將原來的相位、頻率二維搜索過程變?yōu)閭未a相位的一維搜索，大大減少了捕獲時間［5］。

對其工作的數(shù)學(xué)原理進行分析，假設(shè)接收的序列與本地偽隨機序列已經(jīng)同步，設(shè)接收到的信號經(jīng)過下變頻和采樣之后的量化輸出信號為［6］

則第n個分段匹配濾波器的輸出為

式中:K 為本地序列與接收序列的偏移量。在兩個序列同步的情況下，PN(k)PN(K + k)= 1，有:

對這P個輸出進行N 點(補N－P個0)FFT 計算可得FFT 輸出的幅度響應(yīng):

式(4)還可寫為兩部分［7］，即

其中:

式中:G1(fd)為PMF 部分的頻率響應(yīng)，是由部分相關(guān)累積引起的，部分匹配濾波實質(zhì)上是一個低通濾波過程，如果令M = P，則G1(fd)= 1，相當于除去了部分匹配濾波過程;G2(fd，k)是FFT 部分的頻率響應(yīng)，為FFT 運算對歸一化幅頻響應(yīng)的貢獻。由此也可看出PMF-FFT 算法是匹配濾波器算法和FFT 算法的有機結(jié)合，通過FFT 方法來補償匹配濾波器算法的響應(yīng)。

2 PMF-FFT 算法的理論性能分析

以GPS C/A 碼為例，M = 1 023，1/Tc= 1.023 Mb/s。令N = P = 8，此時X = 128。偽碼同步時的歸一化相關(guān)增益如圖2 所示。

圖2 8 點FFT 的歸一化幅頻響應(yīng)

可以看出，整個曲線的包絡(luò)呈下降趨勢，這是由部分匹配濾波過程所引起的隨多普勒頻率的相關(guān)損失。當多普勒頻率落在兩個FFT 輸出點之間時，存在著明顯的扇貝損失，且當時扇貝損失最大［8］，最大扇貝損失L 為

式(8)表明相關(guān)增益較多普勒頻移為0 時有最大約為1.9 dB 的衰減。因此門限設(shè)置的上限就會降低，從而導(dǎo)致信號虛警概率的上升。

2.1 多普勒頻率估計分辨率及范圍

由此可見，該方法的捕獲精度由分段匹配濾波器的長度與FFT 的點數(shù)共同決定。匹配濾波器長度越大，頻率估計精度越高，

在偽碼取得同步時，部分匹配濾波器的響應(yīng)G1(fd)相當于一個長度為X 的矩形窗，如圖3 所示，它的主瓣寬度可表示為

圖3 PMF 部分歸一化幅頻響應(yīng)

PMF-FFT 系統(tǒng)幅頻響應(yīng)函數(shù)的第一個過零點對應(yīng)的也是G1(fd)的第一個過零點，即理論的單邊分析帶寬為因此理論的捕獲頻率范圍為為保證信號能量不會有太大損失，一般取到1/4 處作為實際分析帶寬范圍，即fd≤可以看出匹配濾波器的長度越小，分析帶寬越大，捕獲的頻率范圍也就更大。

在已知最大多普勒頻偏的情況下，匹配濾波器的長度選擇要保證:

2.2 相關(guān)損失

相關(guān)損失由部分匹配過程引起，幅頻響應(yīng)包絡(luò)可用G1(fd)表示。則相關(guān)損失可表示為［10］

在碼型確定的情況下，相關(guān)損失取決于多普勒頻移的大小和匹配濾波器長度。C/A 碼在不同匹配濾波器長度下的相關(guān)損失如圖4 所示。

圖4 相關(guān)損失與部分匹配濾波器長度的關(guān)系

匹配濾波器長度越小，相關(guān)損失也越小，但此時匹配濾波器規(guī)模與實現(xiàn)復(fù)雜度也就越大，可根據(jù)需要來選擇合適的匹配濾波器長度。

例如，若系統(tǒng)要求可接受的最大相關(guān)損失為－1 dB，根據(jù)相關(guān)損失與匹配濾波器長度的曲線圖可以判斷，濾波器長度為32 和16 時滿足要求，為降低硬件實現(xiàn)復(fù)雜度，可選擇匹配濾波器長度為32。但如果已知最大多普勒頻移達到10 kHz，根據(jù)X ≤可知要滿足X ≤25.6，此時匹配濾波器長度只能選擇16。

2.3 扇貝損失

扇貝損失是由FFT 部分相位補償不完全所造成的，最大扇貝損失為

由式(11)可知，在碼型確定的情況下，最大扇貝損失取決于匹配濾波器長度X 和FFT 的點數(shù)N。假定FFT 點數(shù)為匹配濾波器的數(shù)目(不補零)，最大扇貝損失隨著匹配濾波器長度的增大而減小，但變化幅度較小，如圖5 所示。

圖5 最大扇貝損失與匹配濾波器長度的關(guān)系

3 捕獲性能分析

實際工程中，通常用檢測概率、虛警概率和平均捕獲時間這三個指標來衡量一個捕獲系統(tǒng)的工作性能［11］。因此在選取匹配濾波器的長度時，需要考慮它對這三個指標的影響。

3.1 虛警概率

假設(shè)所需的信號并不存在，虛警概率主要取決于噪聲的統(tǒng)計特性和檢測器的門限設(shè)置。FFT 輸出信號的振幅用于信號檢測器，這些振幅值服從瑞利分布，概率密度為［12］

分布函數(shù)為

一個FFT 輸出大于門限t 的概率為

由于所有的輸出分布相同并且互不相關(guān)，所以任一輸出超過門限Vt的概率，即虛警概率為

可以看出虛警概率取決于門限的設(shè)置和FFT的點數(shù)N。在不補零的情況下，F(xiàn)FT 的點數(shù)與匹配濾波器數(shù)目一致，部分匹配濾波器長度越大，虛警概率越小，如圖6 所示。

圖6 部分匹配濾波器長度與虛警概率的關(guān)系

多數(shù)情況要保持虛警概率恒定，即恒虛警處理。由式(15)可得

3.2 檢測概率

FFT 輸出信號的振幅為同相和正交分量的平方和的開方，分布為萊斯分布，其概率密度為

式中:I0是0 階修正貝塞爾函數(shù);sk為FFT 第k個輸出的同相和正交支路信號期望的和，即

萊斯分布的累積分布函數(shù)為

式中:σ2為噪聲方差。則FFT 第k個輸出大于門限t 的概率為

因此，檢測概率為

因此有

fd= 800 Hz 時，PMF-FFT 算法檢測概率隨部分匹配濾波器長度的變化情況如圖7 所示，檢測概率隨部分匹配濾波器長度的增加而呈現(xiàn)下降趨勢。

圖7 800 Hz 多普勒頻移下檢測概率與部分匹配濾波器的關(guān)系(SNR =－25 dB)

3.3 平均捕獲時間

本文采用的是單次逗留捕獲判決方式，該算法的平均捕獲時間為［13］

式中:q 為搜索單元數(shù)，q 等于碼的長度或碼長度的整數(shù)倍，如果每次更新半個碼片長度，那么q 等于兩倍的碼長，即q = 2M。假設(shè)虛警懲罰時間為kτd，其中:k 為虛警懲罰次數(shù);τd為單次駐留時間。800 Hz 多普勒頻移下，平均捕獲時間與部分匹配濾波器長度之間的關(guān)系如圖8 所示。部分匹配濾波器長度越大，所需捕獲時間越短。

圖8 800 Hz 多普勒頻移下平均捕獲時間與部分匹配濾波器的關(guān)系(SNR =－25 dB，k = 5)

4 PMF-FFT 算法濾波器長度選取研究

上述分析從算法的理論特性和捕獲性能對部分匹配濾波器進行考察考。理論特性方面，部分匹配濾波器的長度影響著算法本身的多普勒頻率估計精度和范圍、相關(guān)損失以及扇貝損失。匹配濾波器長度越小，頻率估計精度越低，頻率估計范圍越大，相關(guān)損失越小，最大扇貝損失越大;然而匹配濾波器長度越小也意味著更大的硬件實現(xiàn)復(fù)雜度，改變匹配濾波器長度無法有效減少扇貝損失的影響。捕獲性能方面，工程中所常用的捕獲評價標準為檢測概率、虛警概率和平均捕獲時間，部分匹配濾波器長度越長，可以得到更加優(yōu)秀的虛警概率和捕獲時間，檢測概率卻也隨之降低。

因此在設(shè)計PMF-FFT 捕獲系統(tǒng)時，需要從理論特性和捕獲性能雙方面考慮如何選取系統(tǒng)的部分匹配濾波器長度。理論特性方面根據(jù)系統(tǒng)環(huán)境的最大多普勒頻移和系統(tǒng)所能接受的相關(guān)損失來確定匹配濾波器長度的限制要求，再根據(jù)對捕獲性能如檢測概率及捕獲時間的需求并考慮硬件實現(xiàn)成本來最終確定部分匹配濾波器的長度。

5 結(jié) 論

本文對基于PMF-FFT 快速捕獲算法的理論原理進行了分析，給出算法的結(jié)構(gòu)，建立了數(shù)學(xué)模型。分別從多普勒頻率、相關(guān)損失和扇貝損失以及檢測概率、虛警概率和平均捕獲時間幾個方面給出部分匹配濾波器長度的改變對算法理論性能和捕獲性能的影響，并給出濾波器長度選擇的指導(dǎo)思想。實際中可以根據(jù)用戶不同的指標需求選取不同的匹配濾波器長度，解決了PMF-FFT 捕獲系統(tǒng)設(shè)計中部分匹配濾波器長度的選擇問題，為PMF-FFT 算法的系統(tǒng)設(shè)計解決了首要的問題。

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