投票經(jīng)典模型的博弈分析——博爾達(dá)計(jì)分法的理論與實(shí)踐

陳建先 （重慶行政學(xué)院公共管理學(xué)教研部，重慶 400041）

黨的十八大報(bào)告關(guān)于“加快推進(jìn)社會(huì)主義民主政治制度化、規(guī)范化、程序化”的論述，以及在黨內(nèi)完善差額選舉制度（投票規(guī)則）的論述，充分說(shuō)明探討投票機(jī)理與規(guī)則公平的價(jià)值意義。博弈視域下探討研究投票經(jīng)典模型，是對(duì)傳統(tǒng)選舉制度和投票規(guī)則的一種補(bǔ)充和超越。在探討踐行公平民主機(jī)制和合理投票規(guī)則的過(guò)程中，定會(huì)發(fā)現(xiàn)博爾達(dá)計(jì)分法是其實(shí)現(xiàn)的重要方式方法。

一、博爾達(dá)計(jì)分法的提出背景及其模型

近代史上，法國(guó)投票理論專家讓-夏爾·德·博爾達(dá)（Jean-Charles de Borda），最早對(duì)投票規(guī)則理論進(jìn)行系統(tǒng)的研究發(fā)現(xiàn)：現(xiàn)實(shí)社會(huì)采用最為普遍的多數(shù)投票規(guī)則之弊端，并試圖改進(jìn)和完善投票規(guī)則，于是提出了一種新的投票規(guī)則——博爾達(dá)計(jì)分法。

（一）博爾達(dá)計(jì)分法的提出背景

《新帕爾格雷夫經(jīng)濟(jì)學(xué)大詞典》對(duì)“投票”解釋：投票理論起源于博爾達(dá)、孔多塞和拉普拉斯等啟蒙哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家的著作中［1］285。也就是說(shuō)，較為系統(tǒng)地研究投票理論，最早源于18世紀(jì)這些專家對(duì)投票理論的探討。準(zhǔn)確地講，最早較為系統(tǒng)地研究投票理論的人是近代法蘭西科學(xué)院院士讓-夏爾·德·博爾達(dá)，標(biāo)志是論文《論投票形式》的發(fā)表（1770）。該論文探討了多候選人投票規(guī)則（一票制，一人獲勝，少數(shù)服從多數(shù)原則）——多數(shù)投票規(guī)則的缺陷：不能更充分地體現(xiàn)人們偏好的層次性、順序性。

馬克思曾說(shuō)：“一切價(jià)值形式的秘密都隱藏在這個(gè)簡(jiǎn)單的價(jià)值形式中?！保?］為了修正多數(shù)投票規(guī)則的弊病，依據(jù)田徑比賽記分規(guī)則，博爾達(dá)提出一種新的投票規(guī)則——博爾達(dá)計(jì)分法（Borda count）。博爾達(dá)計(jì)分法在公平性、民主性、科學(xué)性和合理性等方面，明顯優(yōu)于多數(shù)投票規(guī)則，因?yàn)椴栠_(dá)計(jì)分法集中了投票者更多的偏好信息，尤其是當(dāng)投票有可能出現(xiàn)“平局”時(shí)，只有博爾達(dá)計(jì)分法能夠避免顛倒悖論（孔多塞悖論）。但是，博爾達(dá)“在這方面的考察并沒(méi)有對(duì)當(dāng)時(shí)的知識(shí)界產(chǎn)生任何影響，而且早被遺忘”［1］272，以致現(xiàn)今人們對(duì)博爾達(dá)計(jì)分法的全然無(wú)知。

（二）博爾達(dá)計(jì)分法的經(jīng)典模型

博爾達(dá)計(jì)分法，指投票者按照自己投票偏好的順序，給N個(gè)備選方案（或人）進(jìn)行排序，分值從1到M，最低分為1（選票中最末位候選人記1分，非0分，因他比選票外的候選人高1分），最高分為M（排為第一者）。然后把每個(gè)備選方案（或人）的所有得分加總，最高得分的備選方案（或人）得以通過(guò)。這種“多票制，一人獲勝”的決定規(guī)則，也被稱為“偏好次序表決法”。

西方博弈論著名專家迪克西特在其代表作《策略博弈》中， 闡述了博爾達(dá)計(jì)分法的典型模型［3］405：A、B、C三個(gè)候選人，參與投票者100人，其投票偏好順序見(jiàn)表1。如果采取投票者的第一偏好進(jìn)行選擇，那么40人贊成A，25人贊成B，35人贊成C。根據(jù)多數(shù)投票規(guī)則，A獲票數(shù)最多而獲勝。但可以明顯看出，A并沒(méi)有獲所有人的多數(shù)（50%+1），即100人中僅占40%的比例，甚至還有一半以上的反對(duì)者（60%）。因此，博爾達(dá)提出修改完善方法，即“博爾達(dá)計(jì)分法”（多票制，一人獲勝方式）。

在這一經(jīng)典模型中可以看出，如果運(yùn)用多數(shù)投票規(guī)則（相對(duì)多數(shù)）進(jìn)行投票表決，其結(jié)果是A當(dāng)選（相對(duì)多數(shù)，少數(shù)服從多數(shù)規(guī)則）。而運(yùn)用博爾達(dá)計(jì)分法進(jìn)行投票表決，其結(jié)果就會(huì)發(fā)生變化。根據(jù)100人參與投票偏好排序，A有40票排序?yàn)榈谝唬?0票排序?yàn)榈谌?0×3＋60×1=180分；B有25票排序?yàn)榈谝唬?5票排序?yàn)榈诙?5×3＋75×2=225分；C有35票排序?yàn)榈谝唬?5票排序?yàn)榈诙?0票排序?yàn)榈谌?5×3＋25×2＋40×1=195分。 這樣，A、B和C分值分別為180分、225分和195分。B得分最高而獲勝。運(yùn)用博爾達(dá)計(jì)分法出現(xiàn)的投票結(jié)果，與多數(shù)投票規(guī)則出現(xiàn)的投票結(jié)果不同，其重要原因是因?yàn)椴栠_(dá)計(jì)分法更能體現(xiàn)投票的層次性、均衡性和公平性。所以，博爾達(dá)計(jì)分法是一種非常有效的投票規(guī)則，也是一種很簡(jiǎn)單的“價(jià)值形式”，其操作性、實(shí)踐性、認(rèn)同性和公允性等均非常之強(qiáng)。

表1 投票者偏好分布

二、博爾達(dá)計(jì)分法的特征及其博弈分析

投票體現(xiàn)民主，而民主的根本含義，在于盡可能反映所有人偏好，而不是“50%+1”偏好，也不是相對(duì)多數(shù)偏好，更不是獨(dú)裁者偏好（“多數(shù)暴政”）。也就是說(shuō)，首先，考慮“反映所有人偏好”（全體一致規(guī)則，難以實(shí)施）；其次，考慮“反映更多人偏好”（博爾達(dá)計(jì)分法，較好實(shí)施）；再次，考慮“反映多數(shù)人偏好”（多數(shù)投票規(guī)則〈包括相對(duì)多數(shù)規(guī)則〉，很好實(shí)施）。在社會(huì)踐行中，更多地采用多數(shù)投票規(guī)則。而博爾達(dá)計(jì)分法（多票制，體現(xiàn)更多人偏好）與多數(shù)投票規(guī)則（一票制，體現(xiàn)多數(shù)人偏好）相比較，其層次性、均衡性和公平性等特征，反映更多人的投票偏好，顯得更為公平性、民主性、科學(xué)性和合理性。

（一）博弈策略：博爾達(dá)計(jì)分法的層次性

博弈策略探討最佳策略、優(yōu)勢(shì)策略、滿意策略和劣勢(shì)策略如何進(jìn)行選擇［4］102（選擇優(yōu)勢(shì)策略，淘汰劣勢(shì)策略）。博弈策略說(shuō)明，選擇不僅僅在“好”與“壞”的選擇，投票過(guò)程更應(yīng)體現(xiàn)漸進(jìn)性、客觀性和全面性等要素。

1.博爾達(dá)計(jì)分法體現(xiàn)了投票者漸進(jìn)層次的偏好。數(shù)學(xué)家唐納德·薩里（Donald Saari）說(shuō)：“任何兩個(gè)候選人的社會(huì)相對(duì)排序可以僅由每個(gè)選民在該對(duì)中的相對(duì)排序和這種排序的強(qiáng)度加以確定?！保?］409博爾達(dá)計(jì)分法的關(guān)鍵就是偏好的層次性、漸進(jìn)性，即通過(guò)顯示偏好強(qiáng)弱大小的邏輯順序進(jìn)行選擇。人的投票偏好不僅是“贊成”與“反對(duì)”二維度、二層次的選擇，而是多維度、漸進(jìn)性的選擇。猶如面對(duì)“蘋(píng)果”“香蕉”“梨子”“葡萄”“荔枝”等水果，假設(shè)選擇“蘋(píng)果”，那么是不是就“討厭”其他水果呢？顯然不是，只是說(shuō)明最偏好“蘋(píng)果”而已。而多數(shù)投票規(guī)則的偏好選擇只有一種（一票制，一人獲勝）抉擇，不能有多種抉擇，所以無(wú)法體現(xiàn)投票者的漸進(jìn)偏好。甚至現(xiàn)實(shí)社會(huì)中還有在推薦村黨支部書(shū)記時(shí)，采取黨員一人一票、群眾一戶一票［5］。博爾達(dá)計(jì)分法的選擇規(guī)則是“多票制”，即可以首先選擇“ 蘋(píng)果”（5分），依次選擇“ 香蕉”（4分）、“ 梨子”（3分） 、“ 葡萄”（2分） 、“ 荔枝”（1分） ，充分體現(xiàn)了投票偏好的漸進(jìn)性。因?yàn)樵谠S多情況下，人們對(duì)第一選擇和第二選擇其偏好差別程度甚微，即有可能是“100分”與“99分”的微小差異，甚至帶有很大的隨機(jī)性。所以，按照多數(shù)投票規(guī)則，最終的投票結(jié)果顯得比較極端（非此即彼），而博爾達(dá)計(jì)分法所產(chǎn)生的投票結(jié)果，反映出投票者的不同漸進(jìn)偏好。

2.博爾達(dá)計(jì)分法體現(xiàn)了投票者較為客觀的偏好。美國(guó)前總統(tǒng)林肯曾說(shuō)：幾乎沒(méi)有什么事情是百分之百的好或壞。但是，“幾乎絕對(duì)多數(shù)正式投票都是在一種簡(jiǎn)單的贊成或反對(duì)之間進(jìn)行選擇”［6］51。從人的心理本能分類(lèi)：一種為精細(xì)類(lèi)，如溫度可從1—100攝氏度（甚至零下），而現(xiàn)實(shí)社會(huì)中，往往劃分為“ 燙”、“ 溫”、“ 冷”和“ 冰”等類(lèi)型（較精細(xì)分類(lèi)）；另一種為極端類(lèi)，如水溫度為“ 燙”或“ 冷”，事物分為“ 好”與“ 壞”，態(tài)度分為“ 贊成”與“ 反對(duì)”、“ 肯定”與“ 否定”、“ 合作”與“ 非合作”等類(lèi)型。如果用百分制表達(dá)，就相當(dāng)于給A投“贊成”票，即給100分，而給B投“ 反對(duì)”票，即給0分（甚至是負(fù)100分）。 投票者的偏好會(huì)有這么大嗎？顯然，這種投票規(guī)則反映投票者的偏好不夠客觀、不盡合理、不能真實(shí)地反映投票者的偏好。其實(shí)，投票偏好除了“贊成”“反對(duì)”兩個(gè)方面，還有“非常贊成”“比較贊成”“非常反對(duì)”“比較反對(duì)”等方面。投票偏好規(guī)律顯示：投票選擇層次越多，偏好整合越客觀，投票信息越精細(xì)；相反，投票選擇層次越少，偏好整合相對(duì)主觀，投票信息較籠統(tǒng)。而客觀性越強(qiáng)的投票（即博爾達(dá)計(jì)分法），其投票結(jié)果的真實(shí)性、客觀性和合理性也就越強(qiáng)；相反，則越弱（多數(shù)投票規(guī)則）。

3.博爾達(dá)計(jì)分法體現(xiàn)了投票者全面綜合的偏好。博爾達(dá)計(jì)分法綜合了所有投票者的偏好順序，進(jìn)行加分、匯總、排序，較為全面地考慮所有投票者的更多信息，較為全面地整合了投票者的所有偏好。如中國(guó)古代科舉中的考試閱卷制度，就較為充分地印證了這種思想：“一份考卷通常由八位主考官批閱。讀卷官閱卷后，用○△·|×（卷、尖、點(diǎn)、直、叉）五等加以標(biāo)志，及最后總核，多推首席任之，個(gè)人隨同參加意見(jiàn)，大抵前列者必八人皆圈，其有加尖加點(diǎn)者甲第必后?！保?］379一份試卷，八位考官閱卷，即考官分別給考卷評(píng)分，且采取分等辦法，即第一等相當(dāng)于5分，第二等相當(dāng)于4分，第三等相當(dāng)于3分，第四等相當(dāng)于2分，第五等相當(dāng)于1分，然后進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)。這樣，較為全面地、綜合地整合了八位考官對(duì)每位考生的偏好，這種考試閱卷評(píng)分方法，充分印證了博爾達(dá)計(jì)分法的合理內(nèi)核，既有理論依據(jù)，又具有可操作性。

（二）博弈均衡：博爾達(dá)計(jì)分法的均衡性

博弈均衡探討博弈選擇時(shí)并不是“非此即彼”的抉擇，而是在博弈者之間不斷均衡過(guò)程中而實(shí)現(xiàn)的。博弈均衡說(shuō)明，投票結(jié)果是在不斷均衡過(guò)程中而產(chǎn)生的，投票過(guò)程更應(yīng)體現(xiàn)均等、時(shí)效和民主等要素。

1.博爾達(dá)計(jì)分法體現(xiàn)了投票者均等的偏好。多數(shù)投票規(guī)則體現(xiàn)分化（二分方法）、極端（無(wú)漸進(jìn)性）和偏袒（非此即彼），反映多數(shù)人某個(gè)信息點(diǎn)偏好和個(gè)人單一偏好，帶有較強(qiáng)的主觀性。博爾達(dá)計(jì)分法體現(xiàn)和諧、中庸和均衡，反映更多人的全面信息偏好和個(gè)人偏好層次，較為客觀地反映投票者的偏好。唐斯（A.Downs）在《民主的經(jīng)濟(jì)理論》探討投票者偏好時(shí)說(shuō)，反映中間投票人意愿的那種政策會(huì)最終獲勝［8］。所謂中間投票者就是對(duì)方案持中立偏好的人。也就是說(shuō)，任何一個(gè)組織，要想獲得更多人投票者的選票，必須使自己的方案更加符合中間投票者的偏好，也被稱為“中間投票者定理”。其實(shí)，在現(xiàn)實(shí)投票過(guò)程中，更多地反映出霍特林均衡［9］（霍特林模型）：所謂霍特林均衡，是指在一個(gè)1000米的沙灘上，兩個(gè)小商販賣(mài)商品的位置，一個(gè)在250米處，一個(gè)在750米處，其收益是均等的。假設(shè)商販A將其位置由250米處往前移動(dòng)100米（即350米處），那么，就意味著其收益高于商販B；商販B也可以將其位置向前移動(dòng)100米（即650米處），此時(shí)，商販A和商販B的收益又均等了。二人不斷地移動(dòng)位置，最后在500米處找到了均衡點(diǎn)（見(jiàn)圖1），這種均衡被稱為非合作均衡（納什均衡）。許多現(xiàn)象都屬于非合作均衡，如在西方兩黨政治制度中，為什么政治傾向越來(lái)越“傾同”，城市中的超市為什么都集中在中心地區(qū)，農(nóng)貿(mào)市場(chǎng)的攤位為什么是定期輪流交換位置，中小學(xué)學(xué)生的座位為什么是定期輪流換位。投票偏好的整合，其實(shí)也是一種霍特林均衡狀態(tài)。因?yàn)槿藗兊耐镀逼檬且环N漸進(jìn)的，不是“非此即彼”的選擇，人們的投票偏好是一種均衡的，即在不斷博弈過(guò)程中達(dá)到均衡的選擇結(jié)果。

圖1 霍特林模型圖

2.博爾達(dá)計(jì)分法體現(xiàn)了投票者時(shí)效的偏好。投票規(guī)則的選擇，涉及諸多因素，而最為重要的因素之一——時(shí)效。按照博弈均衡理論，投票時(shí)效性最高，很好地整合投票者偏好，即為均衡，否則，投票時(shí)效性較低，不易整合投票者偏好，即為非均衡。投票時(shí)效性體現(xiàn)在兩個(gè)方面：一是投票過(guò)程所耗費(fèi)的時(shí)間。全體一致投票規(guī)則，所耗費(fèi)的時(shí)間最多。博爾達(dá)計(jì)分法，所耗費(fèi)的時(shí)間相對(duì)較少。多數(shù)投票規(guī)則，所耗費(fèi)的時(shí)間較少。獨(dú)裁者投票規(guī)則，所耗費(fèi)的時(shí)間最少。二是投票結(jié)果所產(chǎn)生的效益。全體一致規(guī)則，投票偏好一致，效益最高。博爾達(dá)計(jì)分法，投票偏好相對(duì)一致，效益較高。多數(shù)投票規(guī)則，投票偏好比較一致，效益比較高?！蔼?dú)裁者”投票規(guī)則，投票偏好一致，效益高。就時(shí)間和效益而言，全體一致規(guī)則和獨(dú)裁者規(guī)則都不太現(xiàn)實(shí)，所以都較少使用這兩種投票規(guī)則。博爾達(dá)計(jì)分法，所耗費(fèi)的時(shí)間比多數(shù)投票規(guī)則略高點(diǎn)，所產(chǎn)生的效益比多數(shù)投票規(guī)則略好些。綜合評(píng)判，博爾達(dá)計(jì)分法是值得選擇的一種投票方式方法，也理應(yīng)成為一種常態(tài)型的投票規(guī)則。

3.博爾達(dá)計(jì)分法體現(xiàn)了投票者民主的偏好。全體一致投票規(guī)則，時(shí)效不高但非常民主，可達(dá)到帕累托最優(yōu)狀態(tài)。多數(shù)投票規(guī)則，時(shí)效次之但較為民主?！蔼?dú)裁者”投票規(guī)則，時(shí)效最高但不民主。在現(xiàn)實(shí)社會(huì)中，人們更多地拋棄了極端的全體一致投票規(guī)則和獨(dú)裁者投票規(guī)則，而采用了多數(shù)投票規(guī)則。但是，現(xiàn)代政治學(xué)家、投票專家鄧肯·布萊克（Duncan Black）在《委員會(huì)和選舉理論》說(shuō)，通過(guò)適當(dāng)限制個(gè)人偏好以適應(yīng)某種模式，很可能會(huì)產(chǎn)生一種均衡的投票結(jié)果。也就是說(shuō)，博爾達(dá)計(jì)分法與多數(shù)投票規(guī)則比較，就其民主性而言，博爾達(dá)計(jì)分法高于多數(shù)投票規(guī)則。巴哈拉德和尼燦（2001）證明：博爾達(dá)規(guī)則考慮投票者偏好的計(jì)分規(guī)則，比起諸如多數(shù)投票規(guī)則和簡(jiǎn)單多少規(guī)則等要高級(jí)得多［10］171。由于存在三個(gè)或以上的方案選擇時(shí)，投票過(guò)程可能因某個(gè)投票者隱藏個(gè)人偏好，使投票過(guò)程受到操控。因此，薩里（1990）談到：博爾達(dá)計(jì)分法能夠使成功操控的概率最小或者接近最?。?0］172。一直標(biāo)榜最為民主的美國(guó)總統(tǒng)選舉，也曾出現(xiàn)過(guò)四次以少勝多案例［11］。假設(shè)這四次選舉采用博爾達(dá)計(jì)分法，則不會(huì)出現(xiàn)這種奇特的現(xiàn)象。因?yàn)?，博爾達(dá)規(guī)則，對(duì)投票結(jié)果進(jìn)行成功操控的可能性會(huì)隨著投票人數(shù)的增加而減少。所以，就民主性而言，博爾達(dá)計(jì)分法應(yīng)該成為一種常態(tài)型的投票方式；相反，多數(shù)投票規(guī)則應(yīng)該成為一種非常態(tài)型的投票方式。

（三）博弈價(jià)值：博爾達(dá)計(jì)分法的公平性

博弈價(jià)值［4］254探討博弈的價(jià)值取向、目標(biāo)愿景。投票的價(jià)值取向、目標(biāo)愿景不同，投票結(jié)果不一。博弈價(jià)值說(shuō)明，投票過(guò)程更應(yīng)體現(xiàn)公允性、多元性和正義性等要素。

1.博爾達(dá)計(jì)分法體現(xiàn)了投票者公允性的偏好。投票規(guī)則既要避免少數(shù)人的暴政，體現(xiàn)民主性，也要避免多數(shù)人的暴政，體現(xiàn)公允性。博爾達(dá)在《論投票形式》中明確地表述：多數(shù)票規(guī)則可能使不該當(dāng)選的候選對(duì)象當(dāng)選［1］285。其表現(xiàn)形式有兩個(gè)：一是不該當(dāng)選的人當(dāng)選；二是出現(xiàn)“交易性投票”。筆者曾經(jīng)在本校學(xué)術(shù)委員會(huì)選擇學(xué)術(shù)帶頭人時(shí)，進(jìn)行過(guò)探索實(shí)踐。以前學(xué)校選擇學(xué)術(shù)帶頭人等類(lèi)似的事情，均按慣例采取多數(shù)投票規(guī)則，但有可能存在“交易性投票”，投票結(jié)果存在多數(shù)人之“否定”的情況。因此，筆者提議采用博爾達(dá)計(jì)分法進(jìn)行投票抉擇。此次投票結(jié)果得到絕大多數(shù)學(xué)術(shù)委員的高度“認(rèn)同”，認(rèn)為代表了公平公允的意愿。其實(shí)，博爾達(dá)計(jì)分法較好地體現(xiàn)了更多人的偏好，且較為有效地避免了“交易性投票”行為，最為全面地、平等地反映所有選票中的信息，因而更能產(chǎn)生平等性的投票結(jié)果，體現(xiàn)出投票的公平公允。

2.博爾達(dá)計(jì)分法體現(xiàn)了投票者多元性的偏好。民主的根本含義是盡可能反映所有人偏好，而不是只體現(xiàn)“多數(shù)人”偏好，甚至是相對(duì)多數(shù)偏好（＞50%）。多數(shù)投票規(guī)則（少數(shù)服從多數(shù)）并不一定體現(xiàn)“民主”，如希特勒立憲屠殺猶太人就是典型的“多數(shù)暴政”。運(yùn)用絕對(duì)多數(shù)規(guī)則（見(jiàn)表1），無(wú)法產(chǎn)生出一個(gè)投票結(jié)果（因?yàn)锳、B、C都＞50%）。而如果采取相對(duì)多數(shù)投票規(guī)則，A會(huì)勝出（因?yàn)锳＞B＞C）。采用相對(duì)多數(shù)投票規(guī)則，表面上看A占40%的贊成票（相對(duì)多數(shù)票），但是，多數(shù)人（60%）是投“反對(duì)票”，所以，A當(dāng)選，顯然有失公允。也就是說(shuō)，如按每人贊成票為100分，反對(duì)票也為-100分。A的贊成分為4000分，反對(duì)分為負(fù)6000分，4000-6000=-2000分，即40%贊成-60%反對(duì)=20%反對(duì)。這種人（A）當(dāng)選，就相當(dāng)于反對(duì)他的人比贊成他的人更多，明顯沒(méi)有體現(xiàn)更多人的偏好。無(wú)論從理論上講，還是從實(shí)踐上看，博爾達(dá)計(jì)分法雖然不能反映所有人的偏好，但能實(shí)現(xiàn)更多人的偏好。

3.博爾達(dá)計(jì)分法體現(xiàn)了投票者正義性的偏好。投票的正義性應(yīng)該體現(xiàn)投票的合法性和合理性。否則，無(wú)法體現(xiàn)投票的民主性和科學(xué)性，從而導(dǎo)致交易性投票（衡陽(yáng)賄選案），甚至?xí)蔀閺?qiáng)權(quán)的道具和專制的工具（如蘇格拉底被多數(shù)人判決“處死”）。筆者曾經(jīng)做過(guò)兩次投票比較實(shí)驗(yàn)：課堂中投票選擇“科代表”。第一次采取多數(shù)投票規(guī)則進(jìn)行投票，第二次采取博爾達(dá)計(jì)分法進(jìn)行投票。兩次投票結(jié)果不一樣：第一次選出的是學(xué)生干部，第二次選出的是普通學(xué)生。雖然事小，但說(shuō)明一些問(wèn)題。前者體現(xiàn)官本位劣根，后者體現(xiàn)平等正義。有人曾對(duì)實(shí)驗(yàn)提出異議，“是否帶有一定的偶然性”。于是，筆者又進(jìn)行過(guò)第二次實(shí)驗(yàn)，其結(jié)果相同。因?yàn)檫\(yùn)用博爾達(dá)計(jì)分法選擇的科代表是更多人認(rèn)同的，沒(méi)有了“官本位”的思想。投票結(jié)果真正地反映了投票者發(fā)自內(nèi)心的意愿，所以，這樣選擇出來(lái)的科代表，履職效果尚佳。博爾達(dá)計(jì)分法最為客觀、真實(shí)地反映投票者的信息，因而能產(chǎn)生合法合理的投票結(jié)果，而體現(xiàn)出公平正義。

三、博爾達(dá)計(jì)分法的適用范圍及其局限

博爾達(dá)計(jì)分法：一是從程序上思考，相對(duì)全面地、真實(shí)地反映了投票者的所有信息，體現(xiàn)其真實(shí)偏好。二是從效果上思考，相對(duì)充分、全面和準(zhǔn)確地體現(xiàn)出更多人的投票者偏好，顯得更為合民意、更為有效；從合理上思考，當(dāng)群體利益較一致時(shí)，選舉出一個(gè)公認(rèn)的候選人。三是當(dāng)群體利益有所不同時(shí)，選舉出一個(gè)多數(shù)人認(rèn)同的候選人；當(dāng)群體利益相沖突時(shí)，選舉出一個(gè)相對(duì)多數(shù)贊同的候選人。所以說(shuō)，博爾達(dá)計(jì)分法的適用范圍非常廣，但也具有一定的局限性。

（一）博爾達(dá)計(jì)分法的適用范圍

人們往往都按照一種習(xí)慣而行事，投票也是如此。長(zhǎng)期以來(lái)，絕大多數(shù)情況都習(xí)慣運(yùn)用多數(shù)投票規(guī)則于各個(gè)方面、各個(gè)領(lǐng)域，且成為一種常態(tài)型投票方式。其實(shí)，由于博爾達(dá)計(jì)分法的層次性、均衡性和綜合性特征，其適用范圍也非常廣，許多方面、許多領(lǐng)域都適合運(yùn)用該投票規(guī)則進(jìn)行抉擇。

1.學(xué)術(shù)評(píng)價(jià)。博爾達(dá)計(jì)分法最早運(yùn)用就是在1784年法國(guó)科學(xué)院院士的投票。在現(xiàn)實(shí)社會(huì)中，評(píng)定職稱時(shí)的排序投票、學(xué)術(shù)推薦時(shí)的排序投票，根據(jù)高位高分、低位低分原則投票打分，均可運(yùn)用博爾達(dá)計(jì)分法進(jìn)行，且相對(duì)公允。

2.活動(dòng)評(píng)選。德國(guó)布萊門(mén)大學(xué)決定機(jī)器人的獲勝者、澳大利亞評(píng)選獲獎(jiǎng)的酒、歐洲電視歌賽評(píng)定比賽結(jié)果和北美決定體育排名或體育獲獎(jiǎng)?wù)叩榷歼\(yùn)用博爾達(dá)計(jì)分法。在現(xiàn)實(shí)社會(huì)中，許多活動(dòng)評(píng)選大多采取少數(shù)服從多數(shù)原則（“一票制”，一人獲選）進(jìn)行投票，如娛樂(lè)活動(dòng)、體育活動(dòng)和專題活動(dòng)等，即采取幾位專家投票，然后采取少數(shù)服從多數(shù)進(jìn)行篩選。其實(shí)，這些活動(dòng)評(píng)選均可采取博爾達(dá)計(jì)分法，可以避免專家投票時(shí)（選A或選B的單一選擇）的“尷尬”。

3.官員選舉。古羅馬（公元105年）參議員的投票、斯洛文尼亞選舉議會(huì)的少數(shù)民族代表、北愛(ài)爾蘭協(xié)助政治團(tuán)體直接的談判妥協(xié)、瑙魯選舉總統(tǒng)候選人、哈佛大學(xué)、洛杉磯加州大學(xué)、密蘇里大學(xué)、南伊利諾伊大學(xué)、亞利桑那州立大學(xué)、威廉與瑪麗學(xué)院和威頓學(xué)院等運(yùn)用博爾達(dá)計(jì)分法選舉領(lǐng)導(dǎo)［7］380-381?，F(xiàn)實(shí)社會(huì)中，機(jī)關(guān)企事業(yè)單位、學(xué)校、研究院的領(lǐng)導(dǎo)選舉，都可以采取博爾達(dá)計(jì)分法進(jìn)行投票（體現(xiàn)民意），然后作為黨委重要依據(jù)，進(jìn)行最終抉擇。

4.組織推薦。中共（黨組織）“入黨積極分子”選擇的投票：黨支部在一定時(shí)期推舉“入黨積極分子”的培訓(xùn)學(xué)習(xí)。如在9人中選擇4人，即要求所以黨員投票時(shí)，只能選擇4人（多選無(wú)效），并進(jìn)行排序。在每張票中，排第一位記4分，第二位記3分，第三位記2分，第四位記1分。然后，將所有的票進(jìn)行統(tǒng)計(jì)、記分、加總。這樣，運(yùn)用博爾達(dá)計(jì)分法避免了出現(xiàn)同樣的票數(shù)，而無(wú)法排序的復(fù)雜情景。這種選擇即為多票制，多人獲選方式。

5.非官方選舉。英國(guó)的天普可持續(xù)設(shè)計(jì)協(xié)會(huì)選舉協(xié)會(huì)領(lǐng)導(dǎo)、社團(tuán)組織選舉官員等都運(yùn)用博爾達(dá)計(jì)分法。在現(xiàn)實(shí)社會(huì)中，如非政府組織領(lǐng)導(dǎo)、項(xiàng)目活動(dòng)領(lǐng)導(dǎo)、臨時(shí)性組織領(lǐng)導(dǎo)，在選舉時(shí)，都可采用博爾達(dá)計(jì)分法。筆者曾經(jīng)做過(guò)一個(gè)“學(xué)習(xí)科代表”選舉實(shí)驗(yàn)：在碩士研究生課程學(xué)習(xí)中，選擇科代表。首先運(yùn)用多數(shù)投票規(guī)則進(jìn)行選舉，其選擇結(jié)果是學(xué)生干部被選中。然后運(yùn)用博爾達(dá)計(jì)分法投票規(guī)則進(jìn)行選舉，其選擇結(jié)果是非學(xué)生干部或非“權(quán)威人士”被選中，這種投票結(jié)果大家都感覺(jué)有點(diǎn)“意外”。因此，筆者又進(jìn)行過(guò)同樣實(shí)驗(yàn)，其結(jié)果相同。

（二）博爾達(dá)計(jì)分法的局限性

各種投票規(guī)則都有其公平性、民主性、科學(xué)性和合理性等因素，同時(shí)也有其局限性。同理，博爾達(dá)計(jì)分法也隱含了投票規(guī)則中的三大難題（局限性）。

1.投票偏好必須是誠(chéng)實(shí)的。即投票者誠(chéng)實(shí)地表達(dá)自己偏好順序。18世紀(jì)第一次對(duì)投票的誠(chéng)實(shí)性進(jìn)行討論時(shí)，博爾達(dá)非常明確地表示：“我的制度（博爾達(dá)計(jì)分法）只適用于誠(chéng)實(shí)的投票者。”［7］3991972年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)獲得者肯尼思·阿羅在《社會(huì)選擇和個(gè)人價(jià)值》中也指出：其理論只適應(yīng)于投票人根據(jù)他們的真實(shí)偏好進(jìn)行投票的情況。而在現(xiàn)實(shí)投票中，一方面多數(shù)人往往只對(duì)“最好”和“最壞”偏好進(jìn)行選擇，不會(huì)用心地去排列其他人的順序偏好，對(duì)所有投票對(duì)象并沒(méi)有一個(gè)真正的偏好結(jié)構(gòu)；另一方面，還可能存在交易性投票?，F(xiàn)代投票理論專家塔洛克在《論多數(shù)票的幾個(gè)問(wèn)題》中說(shuō)：“投票人之間在投票表決的內(nèi)容方面進(jìn)行的相互交易，表現(xiàn)為投票人將投票贊成他們實(shí)際上反對(duì)但反對(duì)不強(qiáng)烈的候選對(duì)象，以換取其他人投票支持他們想要得到的候選對(duì)象。 ”［2］譯者序：11交易性投票使投票的公平性、民主性大打折扣。從理論上講，人們都會(huì)誠(chéng)實(shí)地表達(dá)自己的意愿，不存在交易性投票，即按照自己的意愿進(jìn)行自由的排列偏好次序。從現(xiàn)實(shí)上講，因素種種，難免不出現(xiàn)交易性投票。這種交易性投票，使投票結(jié)果偏離了公平和民主。

2.投票結(jié)果受第三者影響?！叭藗兒苌傺芯康囊环N投票悖論是在選民的偏好順序后面刪除或增加一個(gè)候選對(duì)象對(duì)選舉結(jié)果的影響”［6］34。在投票過(guò)程中，當(dāng)投票者對(duì)兩個(gè)候選人的偏好相差無(wú)幾時(shí)，第三個(gè)候選人的介入，會(huì)分裂部分選票，從而使投票結(jié)果發(fā)生變化。經(jīng)典案例：陳水扁從政生涯與三次選舉中出現(xiàn)“小三”（第三者）有關(guān)，造成了“不該出現(xiàn)的事”（陳水扁當(dāng)選）；1992年美國(guó)老布什輸?shù)舸筮x（佩羅特參與），2000年戈?duì)栞斀o布什（納德參與）［4］172-176，都因“ 第三者”而左右了投票結(jié)果，投票專家把它稱為“錯(cuò)誤的人當(dāng)選”?！暗谌摺钡某霈F(xiàn)，既有偶然的因素造成，也有人為的因素造成，陳水扁三次選舉與人為因素相關(guān)，即當(dāng)時(shí)李登輝有意“設(shè)局”的結(jié)果。所以，阿羅認(rèn)為：所有投票方式都存在這種現(xiàn)象，第三者影響投票結(jié)果，并稱之為“非相關(guān)候選人對(duì)象缺乏獨(dú)立性”［2］譯者序：3。 博爾達(dá)計(jì)分法與多數(shù)投票規(guī)則一樣，都避免不了這樣的結(jié)果。由此，阿羅針對(duì)“孔多塞悖論”［12］，提出“不可能”定理：在非獨(dú)裁的情況下，任何一個(gè)體系，若要將人們對(duì)三個(gè)或三個(gè)以上的選擇作出一項(xiàng)集體抉擇，不存在任何加總社會(huì)個(gè)體成員偏好的方法。

3.會(huì)出現(xiàn)反“少數(shù)服從多數(shù)”的投票結(jié)果。少數(shù)服從多數(shù)規(guī)則，有兩種情況：一是少數(shù)服從“50%+1”的情況；二是少數(shù)服從相對(duì)多數(shù)的情況。后者尤為典型，1986年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)獲得者布坎南的投票經(jīng)典模型［13］：在199×199=39601的社會(huì)中，只要有10000人（總數(shù)1/4多100人），即成為多數(shù)。反“少數(shù)服從多數(shù)”現(xiàn)象，既會(huì)出現(xiàn)在前者，也會(huì)出現(xiàn)在后者；不僅會(huì)出現(xiàn)在多數(shù)投票規(guī)則，還會(huì)出現(xiàn)在博爾達(dá)計(jì)分法。在100人的選舉中，有A、B、C三個(gè)候選人，如采取少數(shù)服從多數(shù)規(guī)則進(jìn)行投票選擇，A成為多數(shù)而當(dāng)選。如采取博爾達(dá)計(jì)分法進(jìn)行投票選擇（見(jiàn)表2），A：51×3＋49×1=202分；B：35×3＋65×2=235分；C：14×3＋35×2＋51×1=163分。投票結(jié)果：A被擊敗，B勝出。A的優(yōu)勢(shì)在于第一偏好票，而劣勢(shì)在于第二偏好票；而B(niǎo)的優(yōu)勢(shì)在于第二偏好票，而劣勢(shì)在于第一偏好票。也就是說(shuō)，運(yùn)用博爾達(dá)計(jì)分法，投票結(jié)果是B會(huì)勝出，由此出現(xiàn)反“少數(shù)服從多數(shù)”的投票結(jié)果。這種反“少數(shù)服從多數(shù)”現(xiàn)象，從表面上看，顯得有失公平、民主，但從實(shí)質(zhì)上看，它更為公平、民主。正如阿羅所說(shuō)：“絕對(duì)公平的選舉是不可能實(shí)現(xiàn)的。 ”［14］

綜上所述，無(wú)論哪種投票規(guī)則，都各有利弊，按其投票公平性、民主性、科學(xué)性和合理性的要義而言：事先確定投票規(guī)則、兼顧更多人意愿和投票規(guī)則的一致性，顯得尤為重要；按其投票意愿和偏好，全體一致規(guī)則居其首位——反映所有人的意愿（難以實(shí)施），博爾達(dá)計(jì)分法居其中——反映更多人的意愿（較好實(shí)施），多數(shù)投票規(guī)則居其次之——反映多數(shù)人的意愿（較好實(shí)施），獨(dú)裁者規(guī)則居其末尾——反映極少人的意愿（很好實(shí)施）。如果放棄“難以實(shí)施”的全體一致規(guī)則，摒棄“很好實(shí)施”的獨(dú)裁者規(guī)則，采用“較好實(shí)施”的博爾達(dá)計(jì)分法和多數(shù)投票規(guī)則。相比而言，博爾達(dá)計(jì)分法能夠“反映更多人的意愿”，而多數(shù)投票規(guī)則僅能“反映多數(shù)人的意愿”，按照投票的公平性、民主性、科學(xué)性和合理性之內(nèi)核，博爾達(dá)計(jì)分法理應(yīng)成為一種常態(tài)型的投票規(guī)則，而不是非常態(tài)型的投票規(guī)則。

表2 偏好分布

［1］伊特韋爾，米爾蓋特，紐曼.新帕爾格雷夫經(jīng)濟(jì)學(xué)大詞典：第1卷［K］.翻譯編輯委員會(huì).北京:經(jīng)濟(jì)科學(xué)出版社，1996.

［2］馬克思.資本論：第1卷［M］.北京:人民出版社,1998：62.

［3］阿維納什·迪克西特，蘇珊·斯克絲.策略博弈［M］.蒲勇健，譯.北京：中國(guó)人民大學(xué)出版社，2009.

［4］陳建先.現(xiàn)代領(lǐng)導(dǎo)博弈思維［M］.北京:國(guó)家行政學(xué)院出版社，2013.

［5］任中平，毛振軍.黨內(nèi)基層民主發(fā)展模式的比較研究——以四川新都區(qū)和山東乳山市為例［J］.探索，2014，（1）：28-34.

［6］戈登·塔洛克.論投票［M］.李政軍，楊蕾，譯.成都:西南財(cái)經(jīng)大學(xué)出版社，2007.

［7］趙心樹(shù).選舉的困境［M］.成都：四川人民出版社，2011.

［8］楊燦明，李景友.公共部門(mén)經(jīng)濟(jì)學(xué)［M］.北京：經(jīng)濟(jì)科學(xué)出版社，2003：248.

［9］陳建先.博弈的樂(lè)趣［M］.北京:中國(guó)言實(shí)出版社,2013：129.

［10］丹尼斯·C.繆勒.公共選擇理論［M］.韓旭，楊春學(xué)，譯.北京:中國(guó)社會(huì)科學(xué)出版社，2010.

［11］陳建先.現(xiàn)代民主規(guī)則與投票的博弈分析［J］.人民論壇，2012，（15）：20-26.

［12］鄒艷.群體決策中的多階段投票選擇方法［M］.成都：西南交通大學(xué)出版社，2012：25.

［13］詹姆斯·布坎南，戈登·圖洛克.同意的計(jì)算［M］.陳光金，譯.上海：上海人民出版社，2014：216.

［14］胡衛(wèi)群，盛立人，肖箭，等.選舉幾何學(xué)［M］.北京：科學(xué)出版社，2011：扉頁(yè).