PVDF 觸覺傳感器動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器的設(shè)計(jì)

葛維冬，許德章?

PVDF 觸覺傳感器動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器的設(shè)計(jì)

葛維冬1，2，許德章1，2?

（1.安徽工程大學(xué)機(jī)器人產(chǎn)業(yè)技術(shù)研究院，安徽蕪湖 241000；2.安徽工程大學(xué)先進(jìn)數(shù)控和伺服驅(qū)動(dòng)技術(shù)安徽省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，安徽蕪湖 241000）

為了解決PVDF壓電薄膜測(cè)量低頻信號(hào)失真大、泄漏快和阻抗匹配難等問題，首先探討了PVDF的工作機(jī)理，繼而在頻域內(nèi)使用高效的最小二乘算法設(shè)計(jì)了一款Hammerstein動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器模型.仿真結(jié)果表明，該動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器模型能快速有效地補(bǔ)償PVDF傳感器低頻失真，使PVDF壓電膜在低頻領(lǐng)域的應(yīng)用成為可能.

動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器；PVDF；傅立葉變換；多項(xiàng)式；最小二乘算法

近年來，對(duì)于多指靈巧手的研究日漸深入，在控制策略和機(jī)電結(jié)構(gòu)方面取得了一定的成就［1］.然而，在實(shí)現(xiàn)可靠的抓取過程中，除了視覺導(dǎo)引和位置反饋，還需要對(duì)所施加的力、力矩和滑動(dòng)信號(hào)進(jìn)行測(cè)量反饋［2］.對(duì)于未知物體還需要獲得關(guān)于物體的形狀、尺寸、表面狀態(tài)和組織等信息，這就需要觸覺傳感器［3］.

實(shí)現(xiàn)觸覺傳感的敏感材料有很多，壓電薄膜PVDF（Polyvinylidene Fluoride）就是一種比較理想的材料［4］.它具有很高的壓電能力，具有寬頻帶、高介電強(qiáng)度等特性，同時(shí)還具有柔韌、極薄、質(zhì)輕和高韌度等機(jī)械特點(diǎn)，可以制成多種厚度和較大面積的陣列元件.在觸覺應(yīng)用中，存在的主要問題表現(xiàn)為：不能測(cè)量純靜態(tài)信號(hào)，頻帶下限為0.001 Hz.特別是對(duì)于低頻信號(hào)，由于不同頻率分量對(duì)應(yīng)有不同的幅值失真，在時(shí)域上表現(xiàn)得失真嚴(yán)重.

針對(duì)上述缺陷，設(shè)計(jì)了一款動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器，能有效補(bǔ)償信號(hào)通過PVDF后引起的低頻失真，使PVDF壓電膜在低頻領(lǐng)域的應(yīng)用成為可能.

1　PVDF的工作機(jī)理

根據(jù)PVDF壓電膜的技術(shù)資料可知，一個(gè)PVDF傳感器的等效電路可表示為1個(gè)電壓源同1個(gè)電容串聯(lián)，如圖1所示.該電路的幅頻特性關(guān)系如式（1）所示，其特性曲線如圖2所示.

根據(jù)式（1）和圖2可以看出，該幅頻特性曲線其實(shí)是1個(gè)高通濾波器，其中，ωn為頻率變量，ωc是高通濾波器下限截至頻率，該值是由傳感器本身的電容值C0和后續(xù)放大電路的輸入阻抗RL決定.這里的電容值C0是根據(jù)壓電膜的厚度、面積和介電常數(shù)決定的，其值是3.98 p F，輸入電阻即是后續(xù)放大電路的輸入阻抗，其值大小為2?109Ω，因此可以確定該P(yáng)VDF的下限截至頻率是20 Hz.

式中，U（t）為階躍信號(hào)；d33為壓電應(yīng)變常數(shù)；τ=RLC0是PVDF生成的力激勵(lì)響應(yīng)電荷的時(shí)間常數(shù). PVDF產(chǎn)生的電荷量隨時(shí)間常數(shù)τ=RLC0以指數(shù)規(guī)律衰減，這是由放大器和傳感器的泄漏造成的，因此，

為了直觀地了解PVDF的輸入輸出特性，在PVDF垂直方向加載階躍信號(hào)作為輸入信號(hào)，此時(shí)可以得到輸出電荷與時(shí)間的關(guān)系為［5］：PVDF做靜態(tài)力測(cè)量具有缺陷，但并不意味著對(duì)此無能為力.準(zhǔn)靜態(tài)力的電荷放大器可用極高的輸入阻抗RL與傳感器內(nèi)阻進(jìn)行匹配，匹配的原理就是使τ=RLC0在較高的值上，降低傳感器高通濾波器的下限截至頻率［6］.根據(jù)式（2），增大時(shí)間常數(shù)可以使傳感器信號(hào)泄漏得更慢，以便后續(xù)電路的采集與測(cè)量.

但極高的輸入阻抗會(huì)給測(cè)量系統(tǒng)帶來更大的噪聲干擾，影響測(cè)量精度.另外一種更好的方法是數(shù)據(jù)處理時(shí)進(jìn)行補(bǔ)償.

2　PVDF壓電傳感器動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器的工作原理

增大τ雖然能降低傳感器的下限截至頻率，但在實(shí)際應(yīng)用中，由于觸覺傳感器通常的工作是對(duì)物件的抓取.此處用梯形信號(hào)仿真抓取過程，梯形信號(hào)的上升沿、保持、下降沿分別對(duì)應(yīng)靈巧手抓取、夾持、釋放3個(gè)狀態(tài).

梯形信號(hào)經(jīng)過PVDF壓電膜前后的頻譜圖如圖3所示.其中，右三角標(biāo)記的曲線為梯形信號(hào)的頻譜曲線，可以看出，抓取產(chǎn)生的信號(hào)大部分是低頻信號(hào).點(diǎn)畫線是PVDF傳感器的幅頻特性曲線.左三角標(biāo)記的曲線則是信號(hào)經(jīng)過PVDF傳感器后的頻譜曲線.在頻域中可以看出，梯形觸覺信號(hào)在經(jīng)過PVDF傳感器后，丟失了絕大部分的低頻成份.

梯形信號(hào)經(jīng)過PVDF壓電膜的仿真結(jié)果如圖4所示.其中實(shí)線是原始信號(hào)，點(diǎn)畫線表示信號(hào)經(jīng)過PVDF傳感器后的失真信號(hào).在時(shí)域中可以發(fā)現(xiàn)梯形觸覺信號(hào)在通過下限截至頻率為20 Hz的高通濾波器后，造成了極大的失真.

基于上述仿真結(jié)果，本系統(tǒng)采用動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器對(duì)其信號(hào)進(jìn)行矯正.

借鑒Hammerstein預(yù)失真器模型，從數(shù)學(xué)建模角度進(jìn)行探索［7］.記輸入信號(hào)x（t），輸出信號(hào)為z（t），t為時(shí)間變量，則PVDF輸入輸出非線性在數(shù)學(xué)上可表示為z（t）=G（x（t））.其中，G為非線性函數(shù).動(dòng)態(tài)補(bǔ)償?shù)幕驹硎牵涸赑VDF傳感器薄膜后設(shè)置一個(gè)動(dòng)態(tài)補(bǔ)償處理模塊，兩個(gè)模塊的合成效果使整體輸入-輸出特性線性化，消除高通濾波器帶來的影響.原理框如圖5所示.

其中，x（t）和z（t）分別代表信號(hào)輸入和輸出，Y（s）為信號(hào)經(jīng)過PVDF后的輸出頻譜.設(shè)PVDF輸入-輸出傳輸特性為G（），動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器特性為P（），那么動(dòng)態(tài)補(bǔ)償原理可表示為

P·G=L表示P（）和G（）的復(fù)合函數(shù)等于L（）.線性化則要求：

式中，常數(shù)g是信號(hào)頻譜的輸入輸出線性關(guān)系.因此，若系統(tǒng)幅頻特性G（）已知，則動(dòng)態(tài)補(bǔ)償技術(shù)的核心是尋找動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器的特性P（），使得它們復(fù)合后能滿足

式中，G（）是PVDF高通濾波器的輸入輸出特性曲線，其表達(dá)式為：

Amp（ωn）則是高通濾波器的幅頻特性曲線，也是G（）函數(shù)的斜率，如圖6所示.根據(jù)式（7）可以求得P（）.動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器的具體原理如圖7所示.

Step 1：1.X（s）→2.G（X（s）），此處取X（s）=16 Hz，此時(shí)系統(tǒng)輸出G（X（s））=9.995，說明PVDF高通濾波器在16 Hz時(shí)，輸出幅值和輸入幅值的比值k如式（9）所示.其k=0.672＜1，說明16 Hz這個(gè)頻率點(diǎn)上，輸出幅值小于輸入幅值.

Step 2：將第一步得到的結(jié)果2.G（X（s））作為動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器的輸入，得到經(jīng)過動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器后的信號(hào)輸出，其關(guān)系為：

Step 3：將前兩步的結(jié)果映射到系統(tǒng)線性輸出特性曲線上，得：

也就是說，加入動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器后，整個(gè)系統(tǒng)在頻域上是個(gè)線性系統(tǒng)，輸出和輸入的比值始終保持在g=0.795，此時(shí)，只要將Z（s）除以g，再進(jìn)行傅立葉逆變換（見式（12）），就能補(bǔ)償信號(hào)經(jīng)過高通濾波器所帶來的失真.

3　動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器模型的建立

根據(jù)式（6），模型的目標(biāo)誤差函數(shù)為

考慮到動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器的模型輸出幅度應(yīng)小于或等于給出的系統(tǒng)輸入頻率最大值，則得出優(yōu)化問題為：

目標(biāo)函數(shù)是使誤差函數(shù)極小，在分析這個(gè)優(yōu)化問題時(shí)，可以先假定目標(biāo)函數(shù)能夠取到最小，即：

記H：G（ω）→x，ω→y，則y=H（x）=G-1（x），所以

由于G是高通濾波器的特性是確定的（見式（8）），其反函數(shù)的模型可以用多項(xiàng)式擬合，即：

其中

考慮到動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器是凸函數(shù)，如圖7所示，故取擬合冪級(jí)數(shù)如式（20）所示，N為曲線擬合點(diǎn)數(shù)，式（17）可采用最小二乘方法進(jìn)行擬合.

3.1最小二乘方法求解

最小二乘方法產(chǎn)生于數(shù)據(jù)擬合問題，它是一種基于觀測(cè)數(shù)據(jù)與模型數(shù)據(jù)之間的均方差最小來估計(jì)數(shù)學(xué)模型中參數(shù)的方法.輸入數(shù)據(jù)x與輸出數(shù)據(jù)y之間大致服從如下函數(shù)關(guān)系：

式中，c∈Rn為待定參數(shù)，要估計(jì)參數(shù)x的值，要進(jìn)行多次實(shí)驗(yàn)取得觀察數(shù)據(jù)（x1，y1），（x2，y2），…，（xm，ym），然后基于模型輸出值和實(shí)際觀測(cè)值的均方差最小求參數(shù)a，這就是最小二乘原理.

在本研究中，根據(jù)式（17）引入函數(shù)：

并記

則最小二乘問題即為：

如果最小二乘問題中的模型函數(shù)估計(jì)準(zhǔn)確，那么最小二乘問題的最優(yōu)值是很靠近零的.因此r（y）常稱作殘量函數(shù).對(duì)于線性最小二乘問題，殘量函數(shù)可以表示為：

考慮到二次凸函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn)即為最小值點(diǎn)，可以直接得到c的求解公式，即：

將其回代至式（16）和式（17），最終可以解得：

其中，W=（ω，ω1/2，ω1/3，ω1/4，ω1/5）.

另外，在約束條件中，要使‖P（ω）‖∞盡可能靠近‖ω‖∞，那么，約束條件都可歸為：

其中，e為盡可能小的正常數(shù)，下面就是解決該優(yōu)化問題的算法.

3.2動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器迭代算法設(shè)計(jì)

初始化：j=2，g=1，給定一個(gè)判斷容限e；

Step 2：求y=H（x）和P（ω）=g·G-1（x）=g·ω；

Step 3：比較‖ω‖∞，‖P（ω）‖∞，若‖P（ω）‖∞≤‖ω‖∞則判斷

A2.否則stop，輸出gj；

階躍信號(hào)在加入動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器的前后對(duì)比圖如圖8所示.從圖8b可以看出，信號(hào)經(jīng)過高通濾波器后失真嚴(yán)重.圖8c中左三角標(biāo)記的是經(jīng)過動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器后還原出的信號(hào)頻譜，跟原信號(hào)的頻譜（右三角標(biāo)記的曲線）幾乎是一樣的，唯一有區(qū)別的就是零頻率點(diǎn)不同.那是因?yàn)樾盘?hào)經(jīng)過高通濾波器后，零頻率點(diǎn)信號(hào)完全被濾掉，從而無法恢復(fù).零頻率點(diǎn)是信號(hào)的直流分量，因此，從圖8d可以看出，信號(hào)形狀能有效地矯正回來，但由于丟失了直流分量導(dǎo)致了信號(hào)的上下平移.

圖9和圖10分別是動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器對(duì)低頻正弦信號(hào)和三角波信號(hào)的響應(yīng).

4　結(jié)論

設(shè)計(jì)動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器可以對(duì)PVDF傳感器已泄漏的信號(hào)進(jìn)行有效補(bǔ)償，因此，在后續(xù)放大電路中運(yùn)用可以不考慮傳感器阻抗匹配問題.該動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器具有下述特點(diǎn)：對(duì)于不包含直流分量周期信號(hào)，動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器能完全補(bǔ)償PVDF傳感器引起的失真；對(duì)于包含直流分量的非周期信號(hào)，動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器能恢復(fù)信號(hào)的形狀，但會(huì)引起信號(hào)的上下平移，即無法補(bǔ)償所丟失的直流分量.但在實(shí)際應(yīng)用中，由于PVDF傳感器在不受力時(shí)，其輸出信號(hào)為零，即信號(hào)的最小值處于零點(diǎn)位置，據(jù)此可以將信號(hào)的最小值偏移至零點(diǎn)處.綜上所述，設(shè)計(jì)的動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器能有效解決PVDF傳感器信號(hào)低頻失真的難題，同時(shí)也可避免后續(xù)放大電路阻抗匹配的難題.

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Design of post-distorter about PVDF tactile sensors

GE Wei-dong1，2，XU De-zhang1，2?
（1.Institute for Robot Industrial Technology of Anhui Polytechnic University，Anhui Polytechnic University，Wuhu 241000，China；2.Anhui Key Laboratory of Advanced Numerical Control&Servo Technology，Anhui Polytechnic University，Wuhu 241000，China）

Since the PVDF film has some problems like large distortion，fast leakage for low frequency signal measurement and difficulty in impedance matching，this paper firstly discussed the working mechanism of PVDF.Then，the post-distortion model has been designed by using the least squares algorithm in frequency-domain.It is confirmed by computer simulation that the Hammerstein post-distorter could efficiently compensate the low-frequency distortion conducted by the PVDF sensors，which makes it possible for PVDF film to be applied in the low frequency domain.

post-distorter structure；hammerstein post-distorter；polynomial；least squares algorithm

TP 212.1

A

1672-2477（2015）02-0048-07

2015-03-18

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（51175001）

葛維冬（1989-），男，浙江臨海人，碩士研究生.

許德章（1964-），男，安徽蕪湖人，教授，碩導(dǎo).