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    淺談初中數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生逆向思維能力的培養(yǎng)

    2016-01-14 12:27楊昭李文銘
    學(xué)周刊 2016年1期
    關(guān)鍵詞:逆向思維初中數(shù)學(xué)培養(yǎng)

    楊昭 李文銘

    摘要:逆向思維是一種創(chuàng)造性的思維方式。數(shù)學(xué)作為一門(mén)較抽象的學(xué)科,在培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力方面有著十分重要的作用。本文通過(guò)介紹在教學(xué)中加強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念、公式、定理的逆運(yùn)用及對(duì)逆向思維解題技巧的掌握,并結(jié)合分析法和反證法,探討教師如何在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中訓(xùn)練學(xué)生的逆向思維能力。

    關(guān)鍵詞:逆向思維 初中數(shù)學(xué) 培養(yǎng)

    DOI:

    10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2016.01.155

    正向思維一般是指?jìng)鹘y(tǒng)的、邏輯的、習(xí)慣的思維方向,它在我們的生活和學(xué)習(xí)中經(jīng)常采用。而逆向思維則是一種反向思維,它要求人們要善于從事物的正、反兩個(gè)方向去思考問(wèn)題,把一些原來(lái)一直如此的事物顛倒過(guò)來(lái)思考,從而認(rèn)識(shí)事物的相反方面,揭示不同的現(xiàn)象,獲得不同的效果,進(jìn)而從中發(fā)現(xiàn)新的原理、新的方法、新的結(jié)構(gòu)、新的思路。逆向思維在創(chuàng)新活動(dòng)的過(guò)程中發(fā)揮著重要的作用,運(yùn)用逆向思維去思考和處理問(wèn)題,實(shí)際上就是以“出奇”去達(dá)到“制勝”。

    在初中數(shù)學(xué)中存在許多互逆運(yùn)算,如:加減、乘除、乘方與開(kāi)方等。它們都是相輔相成的。要真正學(xué)好數(shù)學(xué),靈活解決數(shù)學(xué)問(wèn)題,正向思維和逆向思維都不可或缺。然而初中生由于受到思維定勢(shì)的影響,在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)普遍習(xí)慣于從問(wèn)題的正面入手。長(zhǎng)此以往,便會(huì)造成學(xué)生的解題思路狹窄、思維僵化,不利于學(xué)生今后的數(shù)學(xué)思維發(fā)展。

    作為初中數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中要有意識(shí)地加強(qiáng)逆向思維的訓(xùn)練,打破學(xué)生的思維定勢(shì)。從基本的初中數(shù)學(xué)教材入手,尋找其中能夠用于培養(yǎng)學(xué)生逆向思維的素材,并重視對(duì)其在課堂中的講解,使這些材料充分發(fā)揮培養(yǎng)學(xué)生逆向思維的作用。同時(shí),教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生積極思考,使學(xué)生在自主探究中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂(lè)趣,這樣既鍛煉了學(xué)生的思維靈活性,又激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

    一、加強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的逆運(yùn)用

    數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)理解難度較大。如果教師在教學(xué)之初,僅注重對(duì)概念的一個(gè)方面進(jìn)行教學(xué),學(xué)生在今后的應(yīng)用中也會(huì)只單一的重視從這一方面進(jìn)行思考。學(xué)生沒(méi)有完整掌握概念的內(nèi)容,就容易導(dǎo)致理解的偏差,從而影響數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。這就要求教師在對(duì)于數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中,注重從正反兩方面進(jìn)行教學(xué),使學(xué)生同時(shí)理解概念的正、逆兩種形式。

    如學(xué)習(xí)“相反數(shù)”概念時(shí),教師可考慮從正面提出問(wèn)題:相反數(shù)是什么?再?gòu)姆捶较蛱岢鰡?wèn)題:什么數(shù)的相反數(shù)是什么?同時(shí),還可以設(shè)計(jì)如下互逆的問(wèn)題:如果a=-8,那么-a= ? ? ;如果-a=-8,那么a= ? ? 。

    又如,在教學(xué)“補(bǔ)角”概念時(shí),教師就可這樣引導(dǎo)學(xué)生從正、逆兩方面來(lái)理解此概念:“如果α+β=180°,那么α和β互為補(bǔ)角”;反過(guò)來(lái):“如果兩個(gè)角α和β互為補(bǔ)角,那么α+β=180°”。

    教師通過(guò)從正、逆兩個(gè)角度巧設(shè)疑問(wèn),不僅訓(xùn)練了學(xué)生的逆向思維,同時(shí)使學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念之初就形成了完整的認(rèn)識(shí)。

    二、加強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)公式、定理的逆運(yùn)用

    同數(shù)學(xué)概念的教學(xué)一樣,教師在對(duì)數(shù)學(xué)公式、定理的教學(xué)中也應(yīng)有意識(shí)地引導(dǎo)和培養(yǎng)學(xué)生逆向思維的意識(shí)和習(xí)慣,幫助學(xué)生從僅使用正向思維過(guò)渡到同時(shí)使用正、逆雙向思維,克服長(zhǎng)期思維定勢(shì)導(dǎo)致的思維刻板,從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

    如,教師在幫助學(xué)生理解方差公式S2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2]時(shí),可從正向告訴學(xué)生,這些字母代表的含義,也可以通過(guò)例子逆向幫助學(xué)生強(qiáng)化公式的意義,如展示例題:一組數(shù)據(jù)的方差是S2=[(x1-4)2+(x2-4)2+(x3-4)2…+(x10-4)2],則這組數(shù)據(jù)共有多少個(gè)?平均數(shù)是多少?

    三、貫穿對(duì)逆向思維解題技巧的訓(xùn)練

    逆向思維不是靠教師“教出來(lái)”的,是學(xué)生在各個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)中不斷親身經(jīng)歷、不斷鍛煉,不斷積累而形成的。因此,教師要堅(jiān)持在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中不斷滲透逆向思維解題的方法,合理利用練習(xí)題,幫助學(xué)生積累經(jīng)驗(yàn),從而逐步提升學(xué)生的逆向思維能力。以下就從三個(gè)方面舉例說(shuō)明,利用練習(xí)題培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維解題技巧。

    (一)逆用運(yùn)算律

    例1:計(jì)算129×(-63)+129×58-10×129-94×71+79×71。

    此題看似復(fù)雜,涉及乘法分配律的逆運(yùn)用,對(duì)于初學(xué)有理數(shù)混合運(yùn)算的學(xué)生有一定難度,教師可引導(dǎo)學(xué)生細(xì)心觀察題目特點(diǎn),使學(xué)生發(fā)現(xiàn)此題可通過(guò)幾次逆用乘法分配律大大簡(jiǎn)化運(yùn)算。

    解:原式=129×(-63+58-10)+71×(-94+79) (乘法分配律的逆用)

    =129×(-15)+71×(-15)

    =(129+71)×(-15) ?(乘法分配律的逆用)

    =200× (-15)

    =-3000

    (二)逆序思考問(wèn)題

    例2:已知方程2x2+(p-2)x+=0的兩個(gè)根分別為某正方形的內(nèi)切圓半徑和外接圓半徑,求p的值。

    分析:若按正向思維,應(yīng)得關(guān)于p的方程

    但解此方程非常麻煩。如果逆向思考,設(shè)正方形內(nèi)切圓半徑為r,則外接圓半徑為r,由根與系數(shù)的關(guān)系得:

    r+

    r=

    ;

    r=

    解得P=-。這道題目由于使用了逆向思維(假設(shè)二根已知),使問(wèn)題的解答變得十分簡(jiǎn)便,通過(guò)正、逆兩種解法的難度對(duì)比,學(xué)生能夠更加清晰直觀地感受到逆向思維解題的便捷之處,豐富了學(xué)生對(duì)逆向思維解題方法的認(rèn)識(shí)。

    (三)從問(wèn)題的對(duì)立面入手

    例3,若下列兩個(gè)方程x2-2(a-1)x+(a2+3)=0;x2-2ax+a2-2a+4=0至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)的取值范圍。此題若從正面著手,則情況較多。相反,如果我們從至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根的對(duì)立面,即兩個(gè)方程都沒(méi)有實(shí)數(shù)根考慮,則得到以下解法:

    解不等式組:

    4(a-1)2<4(a2+3);

    4a2<4(a2-2a+4)

    得-1<a<2,所以所求實(shí)數(shù)a的取值范圍為a≤-1或a≥2。

    此題由于采用了逆向思維,解法變得如此簡(jiǎn)捷。

    四、分析法

    分析法是一種執(zhí)果索因的逆向思維過(guò)程,指從要證的結(jié)論出發(fā),逆向?qū)で笫顾闪⒌臈l件,直到歸結(jié)為判定一個(gè)顯然成立的條件為止,從而證明論點(diǎn)的正確性、合理性的論證方法。運(yùn)用分析法解決問(wèn)題,便于學(xué)生理清題設(shè)與結(jié)論之間的復(fù)雜關(guān)系,通過(guò)逆向思維獲得解題的思路。

    例4:已知如圖1,△ABD與△AEC都是等邊三角形,求證:BE=DC。

    [B][C][D][A][E][1][2][3][圖1]

    分析:在這道題中,教師可用問(wèn)答的形式引導(dǎo)學(xué)生,通過(guò)已知結(jié)論尋求所要滿足的條件,通過(guò)逆向思維,證明這道幾何題目。

    師:我們要證明BE=DC,需要怎樣考慮?先證明什么?

    生:證明,△ABE=△ADC。

    師:那么要證△ABE=△ADC,首先需要哪些條件?

    生:AD=AB,∠2+∠3=∠1+∠2,AC=AE。

    師:要證明AD=AB,∠2+∠3=∠1+∠2,AC=AE還需要什么條件?

    生:△ABD,△AEC為等邊三角形(已知條件)

    學(xué)生敘述時(shí),教師可板書(shū)。

    [BE=DC] [△ABE≌△ADC][AD=AB ∠2+∠3=∠1+∠2 AC=AE][△ABD,△AEC為等邊三角形]

    由此,學(xué)生便更加清晰地理解了此題的證明方法。

    五、反證法

    反證法是逆向思維在數(shù)學(xué)證明方法中的具體反應(yīng),反證法的實(shí)質(zhì)是通過(guò)原命題的逆否命題的真實(shí)性來(lái)體現(xiàn)原命題的真實(shí)性,即通過(guò)提出假設(shè)后通過(guò)推理得到矛盾,從而證明結(jié)論的一種方法。這一方法擴(kuò)展了學(xué)生的證明思路,并對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力有很大幫助。在反證法教學(xué)中,教師還應(yīng)提醒學(xué)生注意反證法的適用情況及反證法在假設(shè)與推理過(guò)程中應(yīng)該注意的問(wèn)題,使學(xué)生形成縝密的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣。

    綜上所述,逆向思維的培養(yǎng)是一個(gè)長(zhǎng)期的過(guò)程。在初中數(shù)學(xué)的教學(xué)過(guò)程中,教師應(yīng)善于應(yīng)用初中數(shù)學(xué)教材中的相關(guān)材料,注重在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力。通過(guò)逆向思維能力的訓(xùn)練,使學(xué)生獲得對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)更加全面的理解,完善學(xué)生的數(shù)學(xué)思維,并在今后的學(xué)習(xí)和生活中更加靈活地應(yīng)用知識(shí)解決問(wèn)題。

    參考文獻(xiàn):

    [1]王俊琴.數(shù)學(xué)教育逆向思維培養(yǎng)的研究[J].學(xué)周刊,2014(10).

    [2]師慶飛.淺析逆向思維在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用[J].學(xué)周刊,2012(5).

    [3]傅錦程.談逆向思維在數(shù)學(xué)教學(xué)的作用[J].學(xué)周刊,2012(1).

    [4]關(guān)文信.初中數(shù)學(xué)創(chuàng)新性教學(xué)指導(dǎo)[M].長(zhǎng)春:吉林大學(xué)出版社,2001.

    作者簡(jiǎn)介:

    楊昭(1991- ),女,漢族,陜西咸陽(yáng)人,陜西師范大學(xué)碩士研究生在讀,研究方向:課程與教學(xué)論。

    (責(zé)編 趙建榮)

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