CARMAX模型的在線修正參數(shù)預(yù)測濾波PID控制

侯小秋

（黑龍江科技大學 電氣與控制工程學院，哈爾濱150022）

CARMAX模型的在線修正參數(shù)預(yù)測濾波PID控制

侯小秋

（黑龍江科技大學 電氣與控制工程學院，哈爾濱150022）

針對CARMAX模型，采用系統(tǒng)的輸出預(yù)測值代替系統(tǒng)的當前輸出值，提出一具有預(yù)測控制性能的增量型預(yù)測濾波PID控制算法。采用改進可克服算法病態(tài)的遞推最小二乘算法對被控對象進行參數(shù)估計，利用自校正預(yù)報顯式算法對系統(tǒng)輸出進行預(yù)測，根據(jù)建立的可克服算法病態(tài)的直接極小化指標函數(shù)自適應(yīng)控制算法和Robbins-Monro算法，給出具有在線修正PID控制參數(shù)和加快PID控制參數(shù)收斂性能的CARMAX模型的自適應(yīng)預(yù)測濾波PID控制算法。結(jié)果表明：所給出的算法具有較好的預(yù)測控制性能和控制品質(zhì)。

自適應(yīng)控制；預(yù)測控制；PID控制；參數(shù)估計；自校正預(yù)報

PID控制是一種傳統(tǒng)有效的控制算法，具有結(jié)構(gòu)簡單、魯棒性好、可靠性高等優(yōu)點，結(jié)合現(xiàn)代先進控制理論，如自適應(yīng)控制、智能控制、模糊控制等，至今已提出了一些具有預(yù)測控制性能的在線修正參數(shù)，整定參數(shù)的PID控制算法，這些算法結(jié)合了PID控制和先進控制的優(yōu)異性能。文獻［1］研究了直接極小化指標函數(shù)的自適應(yīng)PID控制，但所提出的算法無預(yù)測控制和無濾波性能，并且不具有加快PID控制參數(shù)的收斂速度的性能。筆者提出一種具有預(yù)測控制和濾波性能的直接極小化指標函數(shù)的自適應(yīng)預(yù)測濾波PID控制，算法的指標函數(shù)中含有系統(tǒng)的輸出預(yù)測值，具有加快PID控制參數(shù)收斂速度的性能。

1　CARMAX模型的參數(shù)估計和預(yù)測

1.1CARMAX模型

設(shè)系統(tǒng)由CARMAX模型描述

式中：y（t）——1維輸出；

u（t）——1維輸入；

e（t）——零均值，方差為的白噪聲序列；

t——離散時刻；

d——系統(tǒng)的時滯；

q——后移算子；

A（q-1）、B（q-1）、C（q-1）——多項式。

而

式中：ai、bi、ci——系數(shù)；

na、nb、nc——階數(shù)。

1.2改進可克服病態(tài)的遞推最小二乘算法

將文獻［2］的可克服病態(tài)的遞推最小二乘算法應(yīng)用于文中進行參數(shù)估計，并對其進行改進，將待估參數(shù)準則函數(shù)中的待估參數(shù)增量約束項的等權(quán)的加權(quán)因子改進為不等權(quán)的時變的對角矩陣。

將式（1）寫為

式中：Y（t）——系統(tǒng)的輸出的集合；

U（t-d+1）——系統(tǒng)的輸入的集合；

E（t）——噪聲的集合；

θ——未知參數(shù)；

f（…）——線性函數(shù)。

參數(shù)估計的準則函數(shù)

式中：N——離散時刻；

μ——遺忘因子；

λ1（N）——權(quán)重對角矩陣；

JN（θ）——參數(shù)估計的準則函數(shù)。

［2］的推導(dǎo)，可得如下遺忘因子遞推最小二乘算法

式中：P（N）——參數(shù)估計誤差協(xié)方差陣；

φ（N）——f（…）關(guān)于θ的梯度；

1.3自校正預(yù)報顯示算法

文獻［3］的自校正預(yù)報顯示算法應(yīng)用于文中，給出系統(tǒng)輸出的預(yù)測序列和預(yù)測誤差序列為

式（3）中Gj（q-1）和Fj（q-1）由遞推Diophantine方程確定

式中：ngj——階數(shù)。

2　改進的直接極小化指標函數(shù)的自適應(yīng)控制算法

2.1直接極小化指標函數(shù)的自適應(yīng)控制

文獻［4］的算法應(yīng)用于文中，設(shè)控制器的形式為

式中：η——控制器可調(diào)參數(shù)向量；

Φ（t）——系統(tǒng)輸出和輸入構(gòu)成的集合；

Φr（t）—— 系統(tǒng)輸入?yún)⒖夹盘?r（t｛｝）所形成的序列向量；

η（…）——控制函數(shù)。

系統(tǒng)的輸入和輸出自然是隨η的改變而改變，以y（t，η）和u（t，η）表示系統(tǒng)式（1）受式（5）控制時的輸出和輸入，要求選擇向量η使如下指標函數(shù)達到極小化，

式中：V*（η）——指標函數(shù)；

E（…）——求均值；

g*（…）——函數(shù)。

則上述問題可結(jié)合Robbins-Monro算法［5］，給出如下自適應(yīng)算法

ρ（t）——收斂因子；

Q（t）——Hessian矩陣。

2.2改進的可克服病態(tài)的自適應(yīng)控制算法

式（8）的矩陣有時出現(xiàn)病態(tài)，導(dǎo)致式（7）、（8）的算法出現(xiàn)病態(tài)，為了使算法能克服病態(tài)，參考文獻［2］的機理，對式（6）的指標函數(shù)進行改進，在其中加入控制器可調(diào)參數(shù)向量的增量約束項，提出一可克服病態(tài)的直接極小化指標函數(shù)的自適應(yīng)控制算法，其指標函數(shù)為

式中：V（η）——指標函數(shù)；

g（…）——函數(shù)；

η（t）——時刻的η。

式中：λ（t）——控制器可調(diào)參數(shù)向量增量約束項的權(quán)重對角矩陣。

式中：n——η的維數(shù)。

由式（16）得

則改進的直接極小化指標函數(shù)的自適應(yīng)控制算法為

3　增量型預(yù)測濾波的PID控制

傳統(tǒng)的增量型濾波PID控制為

式中：r（t）——參考輸入；

H（q-1）、△、S（q-1）——多項式；

H（q-1）=1+h1q-1；

△=1-q-1；

S（q-1）=s0+s1q-1+s2q-2；

h1、s0、s1、s2——可調(diào)參數(shù)。

則η為

由式（12）可知算法無預(yù)測性能，這里采用系統(tǒng)輸出y（t）的預(yù)測值（t+d-1/t），代替y（t）給出增量型預(yù)測濾波PID控制。

式（13）中的預(yù)測值y^（t+d-1/t）針對系統(tǒng)式（1）來說其預(yù)報遲了一步，但實際的系統(tǒng)一般都是連續(xù)系統(tǒng)，連續(xù)系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為離散系統(tǒng)數(shù)學模型時在理論上增加了一步時滯，所以對實際的被控對象連續(xù)系統(tǒng)不存在遲一步預(yù)報的問題。

4　梯度和二階導(dǎo)數(shù)矩陣

4.1梯度表達式

推導(dǎo)可得

式中：T（q-1）——多項式。

式中：T（q-1）=△AHC+q-1SBC；

H、C——H（q-1）、C（q-1）的簡寫。綜上分析由式（14）和式（15）可得

?y（t+j，η）/?η，（j=1，2，…，d）。由式（1）兩邊對η求偏導(dǎo)

式（4）兩邊對η求偏導(dǎo)

4.2二階導(dǎo)數(shù)矩陣表達式

推導(dǎo)可得

綜上分析由式（18）～（21）可確定

由式（16）兩邊對ηp（p=1，2，3，4）求偏導(dǎo)得

由式（17）得

5　在線修正參數(shù)的預(yù)測濾波PID控制

為加快PID參數(shù)收斂的速度，選取

式中：λ——加權(quán)因子；

g1（…）——函數(shù)。

由式（4）和參考文獻［6］的機理，式（22）的指標函數(shù)等價于如下指標函數(shù)

式中：g2（…）——函數(shù)。

將式（23）代入式（10）（11）可得如下自適應(yīng)預(yù)測濾波PID控制

6　仿真研究

被控對象為

式中:a1=0.4+0.1t/400，

e（t）——隨機干擾е（t）～N（0，1/10）。系統(tǒng)的參考輸入

輸入的飽和限幅為Umax=0.4。

PID控制的初始參數(shù)為

直接極小化算法中的Q（0）=100I，λ=30收斂因子

參數(shù)估計的遺忘因子

待估參數(shù)的初始參數(shù)為

采用Matlab 7.0語言編程仿真，圖1為PID控制參數(shù)的修正曲線，圖2為系統(tǒng)響應(yīng)曲線。由圖2a可知，采用無修正的初始參數(shù)控制的響應(yīng)曲線超調(diào)大，調(diào)節(jié)時間長，并且產(chǎn)生振蕩。由圖2b可知，在0≤t＜200時，因PID控制參數(shù)還沒有收斂到有效值，故響應(yīng)的超調(diào)大，調(diào)節(jié)時間長，在200≤t≤400時，因PID控制參數(shù)已修正到有效值，故響應(yīng)的超調(diào)小，調(diào)節(jié)時間短。由圖1可知，參數(shù)在動態(tài)時進行修正，在穩(wěn)態(tài)時停止修正，符合算法的物理性。

圖1　PID控制參數(shù)的修正曲線Fig.1 Modifying curve of control parameter

圖2　系統(tǒng)響應(yīng)曲線Fig.2 Response curve of system

7　結(jié)　論

（1）將待估參數(shù)準則函數(shù)中的待估參數(shù)增量約束項的等權(quán)的加權(quán)因子改進為不等權(quán)的時變的對角矩陣，提出可克服病態(tài)的遺忘因子遞推最小二乘算法。

（2）在指標函數(shù)中加入控制器可調(diào)參數(shù)向量的增量約束項，提出一可克服病態(tài)的直接極小化指標函數(shù)的自適應(yīng)控制算法。

（3）采用系統(tǒng)輸出的預(yù)測值代替系統(tǒng)輸出值給出增量型預(yù)測濾波PID控制。

（4）基于可克服病態(tài)的直接極小化指標函數(shù)的自適應(yīng)控制算法和Robbins-Monro算法及增量型預(yù)測濾波PID控制，給出了CARMAX模型的自適應(yīng)預(yù)測濾波PID控制算法，算法的指標函數(shù)中含有系統(tǒng)的輸出預(yù)測值，使算法具有加快PID控制參數(shù)收斂到有效值速度的性能。

（5）仿真研究表明因所提出的算法具有預(yù)測控制性能，故具有較好的控制品質(zhì)，且具有柔化控制量變化減少對系統(tǒng)執(zhí)行機構(gòu)沖擊的性能。

（6）缺點是較文獻［1］的算法對隨機干擾的統(tǒng)計性質(zhì)要求高，要求隨機干擾為零均平穩(wěn)具有有理譜密度的隨機干擾，適用范圍較文獻［1］的算法窄。

（7）進一步需研究算法的穩(wěn)定性和算法的收斂性，將算法推廣到多變量情形及非線性系統(tǒng)（雙線性系統(tǒng)，Hammerstein模型，NARMAX模型等）上。

參考文獻：

［1］侯曉秋.直接極小化指標函數(shù)的自適應(yīng)PID控制［J］.黑龍江科技學院學報，2008，18（1）:47-50.

［2］CHEN YENMING，WU YUNGCHUN.Modified recursive leastsquares agorithm for parameter identification［J］.Int.J.System Sci.，1992，23（2）:187-205.

［3］席裕庚.預(yù)測控制［M］.北京：國防工業(yè)出版社，2013:17-23.

［4］LJUNG L，TRULSSON E.Adaptive control based on explicit crirerion minimization［J］.IFAC 81 World Congress，Preprints，1981（7）:1-6.

［5］蕭德云.系統(tǒng)辨識理論及應(yīng)用［M］.北京：清華大學出版社，2014:189-192.

［6］韓正之，陳彭年，陳樹中.自適應(yīng)控制［M］.北京：清華大學出版社，2014:109-115.

（編輯李德根）

Prognosis-filtering PID control with on-line modifying parameter for CARMAX model

HOU Xiaoqiu
（School of Electrical&Control Engineering，Heilongjiang University of Science&Technology，Harbin 150022，China）

This p aper introduces an algorit hm behind prognosis-filtering PID control——an incremental algorithm with predictive control performance.The algorithm is developed by using the forecast output values of the system instead of the current output values of the system for CARMAX model.The study details parameter estimation of controlled model using the modified recursive least squares algorithm capable of overcoming drawbacks inherent in algorithm；prediction of the system output using the self-tuning prediction explicit algorithm；and the development of an adaptive prognosis-filtering PID control algorithm capable of on-line modification of PID control parameters and faster convergence of PID control parameter for CARMAX Model using the combination of newly developed adaptive control algorithm capable of overcoming drawbacks inherent in algorithm for direct minimization index function and the Robbins-Monro algorithm.Results indicate that the proposed algorithm exhibits the superior predictive control performance and control quality.

adaptive control；predictive control；PID control；parameter estimation；self-tuning prediction

10.3969/j.issn.2095-7262.2015.06.022

TP273

2095-7262（2015）06-0686-06

A

2015-09-16

侯小秋（1965-），男，黑龍江省雙城人，副教授，碩士，研究方向：非線性控制、預(yù)測控制及自適應(yīng)控制，E-mail：hxq71265@163.com。