立足錯因分析，強化解題指導
——一道選擇題糾錯教學的啟示

☉江蘇省如皋市外國語學校　馬　亮

立足錯因分析，強化解題指導
——一道選擇題糾錯教學的啟示

☉江蘇省如皋市外國語學校馬亮

在近期進行的一次“相似形”單元練習中，一道選擇題的“蹊蹺”出錯引起了筆者的關(guān)注.在批閱試題后，筆者決定以此題為例題，設(shè)計了一次解題教學.通過錯因分析，讓學生獲得此類問題求解時的避錯策略，突破試題講評“就錯論錯”的困境，放大了“錯誤”資源的教學效應(yīng).現(xiàn)結(jié)合這道選擇題的教學歷程談一些感悟，希望能給您帶來啟示.

一、原題分析

題目：如圖1，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠C＝90°，∠BDA＝90°，AB＝a，BD＝b，CD＝c，BC＝d，AD＝e，則下列等式成立的是（）.

圖1

A．b2＝acB．b2＝ceC．be＝acD．bd＝ae

試題分析：本題主要考查了相似三角形的判定及性質(zhì)，由CD∥AB可得∠CDB＝∠DBA.因為∠C＝∠BDA＝ 90°，所以△CDB∽△DBA.所以通過對這一比例式的變形，我們不難發(fā)現(xiàn)，b2=ac，A選項中的等式是成立的，其余三項均不正確.其中，B選項中與b2相等的應(yīng)該是ac，而不是ce；C選項中的be=ac是不正確的，應(yīng)該是be＝ad；同樣的，bd＝ac，而不是bd=ae，所以D選項也是錯誤的.所以這道題目應(yīng)該選A.

二、考情呈現(xiàn)

本題被編排在全卷的第8題，是選擇題的“壓軸題”，分值3分.在45名參與測試的學生中，選擇A的有15人，全班人均得分1分.試題實測難度0.33，很好地體現(xiàn)了本題所處的“壓軸”地位.在學生給出的答案中，幾乎覆蓋了這里的每一個選支.其中，選擇B選項的有9人，選擇C選項的有17人，選擇D選項的有4人.顯然，這樣的解答情況符合命題人的期待，另外三個選支的干擾作用明顯，將學生可能出現(xiàn)的典型錯誤合理分布在選支之中.A選項正確選支的設(shè)計，看似能提高得分率，實則給學生解題設(shè)置了極大的障礙.根據(jù)與選錯學生的交流，一些不能找到正確解題思路的同學，不會也不可能選擇第一選擇支作為自己的答案.

三、講評歷程

1．試題重析：再析試題組成，陳述解答現(xiàn)狀

教師投影試題，請學生讀題，并將文本中的條件和圖形中的條件對應(yīng)標注.在學生完成標注后，教師對試題的題干部分進行了再分析，將“AB∥CD，∠C=90°，∠BDA=90°”等條件在文本中劃線標記，同時，在圖形中將文本中的條件，用“平行”和“垂直”符號進行了標注.然后，針對題目給出的四個選項，教師提出了三個問題：這四個等式是什么形式？這些式子可以轉(zhuǎn)化為什么式子？該如何轉(zhuǎn)化？學生根據(jù)老師提出的問題展開思考，通過組內(nèi)交流的方式，得出應(yīng)用等式性質(zhì)可以將四個選項中的等積式轉(zhuǎn)化為比例式，從而很好地回顧了化解“與等積式相關(guān)考題”的一般思路.最后，教師簡單介紹了這道試題的解答情況，告知學生本題的正確答案為A，并將本題的答對人數(shù)、平均得分和其余三個選支的選擇情況一并告知學生.

簡析：試題的再梳理，為的是讓學生明晰試題的條件與結(jié)論，將此類試題的常用解法從學生的腦海中提取出來.標注條件，是一種技巧，更應(yīng)成為學生解題的一種習慣.在學生標注后，教師呈現(xiàn)標注的過程，意在讓學生進行對比矯正，從而形成對解題有幫助的標注行為.針對結(jié)論提出的三個問題，是化解“與等積式相關(guān)考題”最常見的問題組，教師的遞進式追問，喚醒了學生解答此類試題的經(jīng)驗，為下一步的反思交流做好準備.

2．反思交流：重溫答題情境，再現(xiàn)出錯過程

在對試題進行了簡要分析和考情陳述之后，教師要求出錯的學生先自己回憶解題時的思路分析過程，然后在小組中交流.最后，教師請4位同學在全班進行了交流.

學生1：僅從圖形看，“直覺”告訴我△COB和△DBA都是等腰三角形，所以△CBD∽△DBA.所以，就列出了比例式化為等積式be=ac，我選擇了C.

學生2：我和學生1的感覺是一樣的，從圖形直接得到了△CBD∽△DBA，所以，即b2=ad，沒有這個選項.于是，我重新寫了一個比例式，所以，ad=be.D就成為我的選擇了！

學生3：沒怎么想，直覺告訴我應(yīng)該是用“相似三角形的性質(zhì)”求解.所以，我直接寫出了兩個三角形的相似關(guān)系為△CDB∽△BDA，得出比例式，所以b2＝ce，一看B選項和我的一樣，很激動，就選擇了B.

學生4：我一看圖形，感覺BD是∠CBA的平分線，所以∠CBD＝∠DBA，這樣兩個三角形中B點又成為對應(yīng)頂點了.加之∠C＝∠DBA＝90°，所以，點C和點D是兩個相似三角形的對應(yīng)頂點.所以，△CBD∽△DBA，所以＝，將式子變形，就發(fā)現(xiàn)選項C中的be＝ac了.

簡析：錯必有因，在學生的求解過程中一定出現(xiàn)了這樣或那樣的“誘因”.在今后解題中，能否抵抗住這些“誘惑”，找出錯誤的“起點”是關(guān)鍵.在上面的片斷中，教師以小組交流和全班交流為抓手，讓學生自揭“傷疤”，回憶自己的求解歷程，并梳理出其中的疏漏之處.這樣的梳理，一方面可以順利找到出錯的原因，得出正確的求解思路；另一方面，還能將解題的經(jīng)驗在小組或全班進行分享，實現(xiàn)錯例講評效益的放大，為下一步建構(gòu)“避錯策略”夯實了基礎(chǔ).從學生給出的交流成果看，教師的預設(shè)達到了預期效果.

3．策略建構(gòu)：詳細分析錯因，形成避錯策略

教師根據(jù)學生陳述的出錯過程進行了小結(jié)，指出“‘不認真審題，不認真推理’是這道題目出錯的兩個主要原因”，接下來對這道題的規(guī)范求解進行了引導.

教師：題中的兩個三角形相似嗎？

學生（齊）：相似.

教師：你能用符號把它們這種相似寫下來嗎？

學生1：△CDB∽△BDA.

教師：你是怎么得到的？

學生2：先證到兩對角相等：∠C=∠DBA=90°，∠CBD=∠DBA，這樣就可以確定兩個三角形的對應(yīng)頂點了.

教師：看了這兩對角相等是要證明的.那么，這里的頂點怎么對應(yīng)的？

學生3：點C和點D，△CBD中的點D與△BDA中的點B，另外兩個頂點B與點A是對應(yīng)的.

教師：非常棒！這樣一來，在符號“∽”的左右兩側(cè)將這兩個三角形的頂點對應(yīng)書寫就行了.（板書示范書寫過程）

教師：這給你什么啟示？

學生4：確定三角形的相似并不是隨意的，必須強調(diào)“一一對應(yīng)”.找到對應(yīng)頂點，是用相似符號“∽”定位的前提.

教師：很好！看來，要想用符號“∽”寫出一對相似三角形還是不容易的.這么寫（指著黑板上的板書），有什么好處呢？

學生5：把對應(yīng)頂點在符號“∽”左右兩側(cè)對應(yīng)書寫，讓下一步找對應(yīng)線段“有據(jù)可依”了.

教師：是的！通過這道題目的交流，你還有哪些收獲呢？

學生6：首先我們要認真審題，將文字信息與圖形信息進行對應(yīng)標注.

學生7：解答一些與基本概念相關(guān)的題目時，要及時回到概念，從原概念出發(fā)，建構(gòu)解題模型.

學生8：我看這幅圖給的有點特殊，我就自己重新作了一幅圖，求到了正確的答案.這就告訴我們，當遇到一些特殊位置下的圖形關(guān)系探究時，我們有必要進行重建圖形.

學生9：推理過程要細化，絕不能因為是選擇題或填空題就簡單處理，一跨步就可能會出現(xiàn)“意外”.

教師：哇！你們有這么多收獲呀！看來一道小小的選擇題同樣能引發(fā)大家豐富的思考，期待你們能由這道題帶來的思考用到今后的解題中去，減少失誤，力求用完美的思路給出正確的答案.

簡析：看似題小，實則蘊含著很多數(shù)學道理.前兩個環(huán)節(jié)中，試題分析讓學生對試題的構(gòu)成和正確的求解歷程了如指掌，反思交流激活了學生的思維，將自己原有的解題過程進行了徹底梳理.這樣的過程經(jīng)歷，激活了學生補充解題經(jīng)驗的欲望.此時的即時小結(jié)，學生結(jié)合自己剛剛經(jīng)歷的反思歷程，自然“有話可講”.在學生口中源源不斷呈現(xiàn)出的“啟示”與“收獲”中，既有針對性極強的同類問題的解答方法，也具有一定拓展性的解題技巧和具有普適性的解題習慣等.這樣的梳理，立足“講題”，指向“解題”，成就“提升”.應(yīng)該說，教師在此時讓學生小結(jié)，順應(yīng)了學生的認知需求，能將問題解決經(jīng)驗及時“固化”，融入到學生已有認知網(wǎng)絡(luò)之中.

四、三點感悟

1．客觀題講評，不能一“糾”了之

客觀題，一般指試卷上的填空題和選擇題，這些題目的求解不需要像解答題一樣“給出必要的證明和演算過程”，只需給出最終的選擇或結(jié)果.因此，在批閱時，教師也就只能從學生給出的答案直接判別對錯，而無法了解到學生的求解過程.當面對學生呈現(xiàn)的錯誤答案時，如果不加分析，一般較難弄清學生解題時的思維過程.這就導致很大一部分出錯客觀題的講評，停留在“一糾了之”的境地.課上，教師將正確答案告知學生，學生自己改一下，講評便“大功告成”.從利學的角度看，這樣的講評是不妥的，客觀題出錯，自有其原因，而且有著各不相同的原因，有的是沒有良好審題的習慣，導致審題時出錯；有的是知識融合不到位，導致“思維鏈”斷裂，無法求解；也有的是解題習慣差，在過程探究時出現(xiàn)了書寫或計算錯誤……面對如此種種的錯因，如果僅是一糾了之，這樣的講評就無法喚起學生自我反思的意識，對學生解題習慣的培養(yǎng)和解題能力的提升是起不到任何作用的.因此，對出錯的客觀題的講評，我們絕不能以糾錯為終極目標，應(yīng)將教學的立足點安放在提高學生的分析問題和解決問題的能力之上，這樣才能設(shè)計出高質(zhì)量的講評課，讓教學實施有“品味”，有成效.

2．錯題講評，要關(guān)注避錯技巧的指導

數(shù)學試題，千變?nèi)f化，不同考點的整合，會讓試題呈現(xiàn)出不同的形態(tài)，學生也就會出現(xiàn)不同的錯誤.在教學中，如果僅就題講題，試題講評會“浮在表面”，流于形式.因此，我們應(yīng)以“避錯技巧”的建構(gòu)為抓手，讓學生從錯因分析入手，形成適合自己的個性化的解題方案，為今后正確解題積淀經(jīng)驗.當然，這些個性化的經(jīng)驗，有時可能會影響其他同學，有些甚至可能成為全班共享的經(jīng)驗，這就需要教師具有靈敏的“教學嗅覺”和扎實的捕捉能力，能從眾多個體的反思交流中進行即時篩選，為學生能將最具普適性的經(jīng)驗在全班范圍內(nèi)分享提供機會.本文中，試題講評最后的交流恰到好處，審題技巧指向了問題解決的起點，回到概念指向了問題解決的關(guān)鍵，重建圖形與細化步驟保證了解題的“正方向”.這些“避錯技巧”的獲得，讓學生的解題“如虎添翼”，對他們分析問題和解決問題能力的提升大有好處.

3．錯因分析，強化了反思質(zhì)疑習慣的培養(yǎng)

思，方能有所悟.錯因分析，喚醒了學生曾經(jīng)經(jīng)歷的解題過程.解題過程的“再經(jīng)歷”，實則就是學生自主反思，自我覺醒的過程.在練習講評過程中，讓學生不斷經(jīng)歷這樣的“再經(jīng)歷”，對反思質(zhì)疑習慣的養(yǎng)成是十分有利的.初中階段，反思質(zhì)疑與認真聽講等是我們在教學中應(yīng)著力培養(yǎng)的習慣.良好的反思質(zhì)疑習慣，是學生數(shù)學素養(yǎng)的重要組成部分.為此，筆者建議，練習講評可從錯誤入手，讓學生“思”：我為什么會錯？我怎么會這樣想的？當時在哪些方面我沒有注意到呢？今后怎樣才能不出現(xiàn)類似問題呢？有沒有更好的、不容易錯的解題方法和路徑呢？如此眾多的問題反復刺激著學生，讓他們在不自覺中形成了思維的慣性，在未來的問題解決過程中，類似問題情境的出現(xiàn)自然會激活他們的思維，這些問題也就會不自覺地“蹦出來”，敲打著學生給出的解題過程，“對還是不對”也就會成為學生思維的常態(tài).由此可見，錯因分析，不在錯誤本身，錯因分析背后形成的思維慣性對學生才是最為重要的.