蘊內(nèi)涵重能力促發(fā)展
——一道中考壓軸題的亮點賞析及教學啟示

☉江蘇省邳州市運河中學初中部　許　彬

蘊內(nèi)涵重能力促發(fā)展
——一道中考壓軸題的亮點賞析及教學啟示

☉江蘇省邳州市運河中學初中部許彬

一、試題呈現(xiàn)

題目（2014年徐州卷第27題）如圖1，將透明三角形紙片PAB的直角頂點P落在第四象限，頂點A、B分別落在反比例函數(shù)y＝圖像的兩支上，且PB⊥x軸于點C，PA⊥y軸于點D，AB分別與x軸、y軸相交于點E、F，已知B（1，3）.

（1）k＝_________；

（2）試說明AE＝BF；

圖1

二、試題探析

縱觀近幾年徐州市中考試卷不難發(fā)現(xiàn)，圍繞反比例函數(shù)的圖像及其性質(zhì)考查的題目為數(shù)不少.如2012年卷第13題“已知交點（1，2），求反比例函數(shù)中k的值”；壓軸題第28題“圓與反比例函數(shù)”綜合應用；2013年卷第15題“反比例函數(shù)圖像經(jīng)過點（1，-2），求k”；2014年卷第27題更是將直角三角形與反比例函數(shù)圖像結(jié)合起來，依托反比例函數(shù)圖像的性質(zhì)，綜合考查平行四邊形、相似三角形等諸多初中重點知識.解決本題首先要從“B（1，3）”著手，根據(jù)反比例圖像上的點的坐標，利用待定系數(shù)法求k.反比例函數(shù)問題中的系數(shù)k往往是解決問題的突破口、入手點，當然此題也不例外.我們可以借助問題（1）中的k和直角三角形的邊與坐標軸垂直設出P點坐標，從而表示出點A的坐標，利用數(shù)形結(jié)合表示較關(guān)鍵的線段PA、PB等，再靈活運用比例線段推導出平行，通過添加輔助線便順利解決問題（2）、（3）.該題以數(shù)貫穿始末，再以形助數(shù)、數(shù)形結(jié)合，在對反比例函數(shù)等知識的考查中具有很強的綜合性、典型性.

三、亮點賞析

亮點1：考點豐富，凸顯試題引領(lǐng)價值

本題是一道以反比例函數(shù)為背景的綜合性試題，首先模擬數(shù)學活動的形式“將透明三角形紙片PAB的直角頂點P落在第四象限”，再結(jié)合反比例函數(shù)圖像的幾何意義，考點豐富，主要涉及點的坐標、反比例函數(shù)圖像及性質(zhì)、一次函數(shù)、待定系數(shù)、相似三角形、平行線、直角三角形、平行四邊形、分式方程等.像函數(shù)、相似三角形知識均是初中數(shù)學重點學習內(nèi)容，本題針對重點知識重點考查，體現(xiàn)中考對數(shù)學學習的導向意義.問題（1），依據(jù)題干中“已知B（1，3），求k的值”，這與蘇科版教材八（下）“反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)”中的例1相似度較高，考生解決問題（1）時如同面對熟悉的課本，倍感親切.雖是壓軸題，但考查起點低，容易上手，有利于增強考生的信心，能激發(fā)考生思維的積極性，對解決問題（2）（3）十分有利.本題依據(jù)課標靈活巧妙地考查關(guān)鍵性考點，能面向全體考生體現(xiàn)了數(shù)學課程的基礎(chǔ)性；取自教材而高于教材，又體現(xiàn)了數(shù)學課程的發(fā)展性.本題以標取“材”，以本為“本”，試題考查的知識點豐富，凸顯了中考對課堂教學、學生學習“有標可依，有章可循”的引領(lǐng)價值.

亮點2：瞄準“四基”，凸顯課改方向

《課標（2011年版）》將“雙基”發(fā)展為“四基”，即“基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗”.初中數(shù)學課堂教學也因此進行了改革與提升，而作為檢測學業(yè)水平的中考更要順應課改需求.本題較好地實現(xiàn)了對“四基”的合理考查，凸顯了數(shù)學課堂的改革方向.其中考查的基礎(chǔ)知識有：點的坐標、反比例函數(shù)圖像、相似三角形、平行四邊形判定、分式方程.基本技能有：根據(jù)點的坐標求k的值、圖形的分割、由比例線段確定平行線、平行四邊形判定、列（解）方程等.數(shù)學思想是數(shù)學知識的靈魂，本題同樣注重考查數(shù)學思想，如：函數(shù)思想、建模思想、轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想等.當解題要求你必須將所掌握的知識巧妙組合時，這就需要基本的數(shù)學活動經(jīng)驗發(fā)揮作用，本題考查的基本活動經(jīng)驗有：數(shù)學實驗活動、結(jié)合圖形運用“幾何直觀”思考、通過探索和作圖解決問題等.

亮點3：思路多元，彰顯個性解題需求

本題解題思路較廣，有多種解法供考生選擇，能充分考慮考生的個性解題需求，彰顯試題人性化、多元化.其中既有考生均可選擇的通性通法，如問題（2）的方法1或2，以及問題（3）的方法1；也有供思維靈活的考生選擇技巧性的解法，如問題（2）的方法3、問題（3）的方法2，較好地實現(xiàn)了該題的效度和區(qū)分度.

問題（2）的解法（由DC∥AB即可得AE=BF）簡述如下：

圖2

方法1：（相似法）如圖2，根據(jù)題意，設P（1，m）（m＜0），則D（0，m），），C（1，0）.可得PA=， PB=3-m，PD=1，PC=-m.因為=，進而△PAB∽△PDC，從而可得DC∥AB.

方法2：（一次函數(shù)系數(shù)法）如圖2，設P（1，m）（m＜0），則D（0，m），C（1，0）.設直線AB的解析式為y1= k1x+b1（k1≠0），將A、B的坐標帶入得k1=-m.同理，設直線CD的解析式為y2=k2x+b2（k2≠0），將C、D的坐標帶入得k2=-m.由k1=k2得直線DC∥AB.

圖3

方法3：（等積法）如圖3，連接AC、BD.因為S△ACD=S△AOD，S△BCD=S△BOC，根據(jù)兩直線之間的距離相等可推出DC∥AB.

問題（3）當四邊形ABCD的面積為21時，求點P的坐標時，解題方法

4同樣靈活.

四邊形ABCD△PAB△PCD×（3-m）-（-m）×1=，所以m=-2，即P（1，-2）.

方法2：（轉(zhuǎn)化法）將四邊形面積轉(zhuǎn)化為三角形面積解決，思路簡明.如圖4，作BQ⊥y軸，則QF=OD，所以FD=OQ=3，因此S△ADF=S四邊形ABCD-S四邊形BFCD=，即，所以m=-2，有P（1，-2）.

圖4

亮點4：能力立意，關(guān)注學生終身發(fā)展

本題注重考查學生學習數(shù)學和應用數(shù)學知識解決問題的過程，特別是重要的數(shù)學理念、思想方法、基礎(chǔ)知識和常用技巧的運用，而沒有過分地追求知識點的覆蓋面.問題（1）是求k的值，屬最基礎(chǔ)的知識，因此考生得分率較高.然而問題（2）、（3）使試題難度急轉(zhuǎn)直上，對考生各方面能力要求較高，解題思路活而不難，顯然是為了把該題定位為壓軸題.試題以雙曲線中k的不變性引導探究，立意于考生能力的考查，要求考生具有較強的“幾何直觀”能力、分析問題能力、知識綜合能力、合情推理能力、圖形分割能力、方程建模能力、問題轉(zhuǎn)化能力、數(shù)形結(jié)合能力等.命題者設置這道綜合題的意圖就是要告訴教者，在數(shù)學教學中不能只強調(diào)做題，要注重開發(fā)學生的各種數(shù)學能力，要立足各種能力的提升，要關(guān)注學生的終身發(fā)展.

四、對初中數(shù)學教學的啟示

1.準確分析數(shù)學問題的本質(zhì)

“數(shù)學根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也.”章建躍博士也撰文說：“要大力提高概念教學的水平，在核心概念的教學上要做到‘不惜時，不惜力’.”可見，數(shù)學問題由數(shù)學概念、公式、定理、性質(zhì)等構(gòu)成，而學生大量做題其本質(zhì)就是想靈活使用數(shù)學概念、公式等解決數(shù)學問題，假如數(shù)學教學只是一味地讓學生做題而不洞察問題本質(zhì)，這樣只會浪費大量寶貴時間.例如本題中反比例函數(shù)中的k值是解決問題的本質(zhì)，以上列舉的多種解法幾乎都是利用了反比例函數(shù)概念中k值的幾何意義，即k值一定時由反比例函數(shù)圖像上的點向坐標軸作矩形或直角三角形的面積始終不變.由此可見，只有準確地分析數(shù)學問題的本質(zhì)，才能有效提高分析問題、發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的效率，也能有創(chuàng)造性的解題方法.

2.教學要堅持數(shù)學思想的培養(yǎng)

日本著名數(shù)學家米山國藏說：“作為知識的數(shù)學出校門不到兩年就忘記了，唯有深深銘記在頭腦中的數(shù)學的精神、數(shù)學的思想……這些隨時隨地地發(fā)生作用，使人終身受益.”作為授課教師不應該單純地教學生知識，而應當以數(shù)學知識、數(shù)學問題為載體，向他們傳授數(shù)學思想.數(shù)學思想是隱含在數(shù)學知識的形成、發(fā)展及應用的過程中的，因此，教師若想提升學生的數(shù)學素養(yǎng)，就要在數(shù)學教學中準確把握數(shù)學思想方法，重點引導學生從數(shù)學思想的角度分析問題、解決問題.本題作為2014年徐州卷的壓軸題，諸如：函數(shù)思想、建模思想、轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想等均得到很好的體現(xiàn)，能從數(shù)學思想的高度考慮學生的長遠發(fā)展，值得稱贊.

3.努力實現(xiàn)基礎(chǔ)與能力并重

《課標（2011年版）》對學生的數(shù)學學習提出了“四基”要求，而“四基”與數(shù)學教學的關(guān)系被張奠宙先生描述為：“數(shù)學教學是數(shù)學活動的教學，學生通過無處不在的基本數(shù)學活動獲得的經(jīng)驗，與數(shù)學基本知識、基本能力、基本思想方法交織在一起，滲透在整體數(shù)學學習過程中.”同時，數(shù)學是一門思維性較強的學科，數(shù)學教學就要通過“增強發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力、分析和解決問題的能力”來發(fā)展提高學生的思維能力.此題既“關(guān)注基礎(chǔ)”，又有“能力立意”，兩者并重的作用就是不斷地實現(xiàn)數(shù)學問題化難為易、化繁為簡，從而順利解決問題.

4.積極踐行“學為中心”理念

在有效的教學活動中，學生才是教學的中心、學習的主體，教師只是學習的組織者、引導者，即“學為中心”理念.徐州市一直致力于“學講”課堂模式，即通過教師指導下的全程自主學習，落實學生學習的主體地位，以自主學、合作學、質(zhì)疑學、“講出來”、“教別人”的學習方式，邊學邊講，調(diào)動學生主動、自主學習的積極性，提高學生課堂教學的參與度、問題探討的深度，著力培訓學習方法，提高學生探索問題、解決問題的能力，從而形成個人能力，提高教學的有效性.“學講”模式正是踐行了“學為中心”的教學理念，作為一線教師要銳意革新，甘當課堂改革的踐行者，努力推進“學講”課堂高效實施，爭取早日實現(xiàn)地區(qū)教育的現(xiàn)代化.

1.邢成云.類比引領(lǐng)問題驅(qū)動方法促成［J］.中學數(shù)學（下），2014（1）.

2.許彬.挖掘教材資源凸顯試題導向［J］.中學數(shù)學（下），2014（6）.

3.馬敏，孫朝仁.中考試題的命題思想、特點及教學啟示［J］.中國數(shù)學教育（初中版），2012（7-8）.

4.中華人民共和國教育部制定.義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2012.