初中數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)整體觀策略研究*

☉江南大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué)　龐彥福陳曉麗

☉江南省蘇州中學(xué)園區(qū)校耿恒考

·江蘇省無錫市龐彥福名師工作室·

初中數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)整體觀策略研究*

☉江南大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué)龐彥福陳曉麗

☉江南省蘇州中學(xué)園區(qū)校耿恒考

初中數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)是初中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中的重要環(huán)節(jié)，復(fù)習(xí)課的類型多種多樣，復(fù)習(xí)的方式林林總總，因教師對(duì)教學(xué)的認(rèn)識(shí)、理解不同而設(shè)計(jì)各異，因?qū)W生的實(shí)際情況、地域不同而方法紛呈.毋庸置疑，復(fù)習(xí)課不是簡單的重復(fù)或重新的教與學(xué)，復(fù)習(xí)內(nèi)容不是知識(shí)的重新回顧或再記憶.初中數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)需要合理整合和深度思考.復(fù)習(xí)的作用應(yīng)該是固化基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，升華數(shù)學(xué)思想及方法，結(jié)晶數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，復(fù)習(xí)的作用是由元認(rèn)知到再認(rèn)知的升華.數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)是一個(gè)整體，其整體性不僅體現(xiàn)在數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計(jì)與概率等各部分內(nèi)容之間的相互聯(lián)系上，同時(shí)也體現(xiàn)在同一部分內(nèi)容中知識(shí)的前后邏輯關(guān)系上的縱向聯(lián)系與橫向聯(lián)系方面．筆者嘗試從“整體著眼，局部完善”的視域先進(jìn)行知識(shí)體系的整體架構(gòu)，然后分版塊、分單元從不同角度來落實(shí)復(fù)習(xí)目標(biāo)的達(dá)成.

一、系統(tǒng)整合，形成網(wǎng)絡(luò)

數(shù)學(xué)知識(shí)是按照一定的體系形成與發(fā)展的，而我們?cè)谛率谡n教學(xué)中往往是只關(guān)注某一個(gè)知識(shí)點(diǎn)或某些知識(shí)的形成與應(yīng)用.單元或章節(jié)之后也往往忙于知識(shí)的回顧及考試，不一定注重知識(shí)間的聯(lián)系與銜接，這樣，在學(xué)生的學(xué)習(xí)過程中就會(huì)人為地將數(shù)學(xué)知識(shí)體系分隔開來.我們知道分散的一個(gè)個(gè)珍珠只有串成項(xiàng)鏈才更能體現(xiàn)出其價(jià)值與意義，數(shù)學(xué)知識(shí)亦是如此.

初中數(shù)學(xué)應(yīng)用于考試的試卷中就是兩個(gè)字“算”與“證”，也就是運(yùn)算與推理.“算”的具體體現(xiàn)是由“數(shù)”的運(yùn)算到“式”的運(yùn)算.“數(shù)”的運(yùn)算是基礎(chǔ)，“式”的運(yùn)算是“數(shù)”的運(yùn)算的延伸與發(fā)展，是初中階段運(yùn)算的重點(diǎn)，而且整個(gè)“數(shù)”與“式”的運(yùn)算還會(huì)運(yùn)用到數(shù)學(xué)（無論是“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計(jì)與概率”還是“綜合與實(shí)踐”）的推理之中.譬如“冪的運(yùn)算”中“指數(shù)”的加或減就會(huì)出現(xiàn)正數(shù)或負(fù)數(shù)或0，也可能會(huì)出現(xiàn)分?jǐn)?shù)，因此，零指數(shù)冪、負(fù)指數(shù)冪的出現(xiàn)就顯得自然而然，分?jǐn)?shù)指數(shù)的出現(xiàn)，也為根式的“粉墨登場”做好了充分的準(zhǔn)備.

學(xué)生有了整體構(gòu)架的意識(shí)之后，解決問題的思路就會(huì)有全局觀念.筆者在一次復(fù)習(xí)課教學(xué)中，設(shè)計(jì)了這樣的問題.

例1已知（x-1）x+2=1，求整數(shù)x的值.

當(dāng)出示例1時(shí)，先不要求學(xué)生解答，只說出解題的想法與思路.

學(xué)生1：應(yīng)從三個(gè)方面考慮，一是非零數(shù)的零次冪等于1；二是1的任何次冪都等于1；三是-1的偶次冪等于1.

學(xué)生2：有的情況還應(yīng)該考慮開方的可能.

教師：能舉出具體的例子嗎？

學(xué)生2：比如1開2次方、1開3次方結(jié)果都等于1.

……

學(xué)生有了知識(shí)建構(gòu)的整體意識(shí)和觀念之后，不僅考慮問題會(huì)更全面，而且也為以后的學(xué)習(xí)奠定了良好的基礎(chǔ).例如，當(dāng)學(xué)生了解到平方根、立方根與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的關(guān)系后，遇到根據(jù)例1而改編的問題：“若（4x-1）x=1，求x的值”時(shí)，不僅應(yīng)該想到以上三種情況，而且還能夠想到”x=及x=”的情況.至于是否成立的問題則是解題后的檢驗(yàn)反思環(huán)節(jié)了.

再比如，復(fù)習(xí)函數(shù)內(nèi)容時(shí)，可以設(shè)計(jì)成：引導(dǎo)學(xué)生思考，研究函數(shù)問題有效的平臺(tái)及工具是什么？學(xué)生自然會(huì)想到“平面直角坐標(biāo)系”.而構(gòu)成平面直角坐標(biāo)系的是“數(shù)軸”，這樣就容易將實(shí)數(shù)與數(shù)軸、有序?qū)崝?shù)對(duì)與平面直角坐標(biāo)系，以及函數(shù)的圖像和研究方法理清了思路，明確了知識(shí)間的結(jié)構(gòu)與聯(lián)系，如圖1所示.

圖1

二、板塊整合，構(gòu)成整體

板塊整合是將相關(guān)聯(lián)的知識(shí)進(jìn)行有效整合.整合不是硬性的拼接，是根據(jù)知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系的一種自然銜接.板塊整合既要做到知識(shí)之間的有效對(duì)接，同時(shí)要突出主干知識(shí)的核心地位、統(tǒng)領(lǐng)作用.

《課標(biāo)（2011年版）》將初中數(shù)學(xué)的內(nèi)容分成4個(gè)版塊：“數(shù)與代數(shù)”、“圖形與幾何”、“統(tǒng)計(jì)與概率”及“綜合與實(shí)踐”.復(fù)習(xí)時(shí)可以結(jié)合這種版塊的模式，也可以將前兩個(gè)大版塊再進(jìn)行細(xì)化、分解.但無論怎樣細(xì)化、分類，一定要讓學(xué)生體會(huì)到知識(shí)間的密切聯(lián)系，感悟數(shù)學(xué)的整體意識(shí)，提煉解決一類問題的思想方法.

例2（2011年無錫）如圖2，拋物線y=x2+1與雙曲線y=的交點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是1，則關(guān)于x的不等式+ x2+1＜0的解集是（）.

A.x＞1B.x＜-1

C.0＜x＜1D.-1＜x＜0

圖2

解析：由拋物線y=x2+1與雙曲線y=的交點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是1，代入y=x2+1可得交點(diǎn)A的縱坐標(biāo)是2.把（1，2）代入y=可得k=2.從而+x2+1＜0?＜-x2-1，則求不等式+x2+1＜0的解集等同于當(dāng)x為何值時(shí)函數(shù)y=圖像在函數(shù)y=-x2-1圖像下方，由二次函數(shù)圖像性質(zhì)知，函數(shù)y=-x2-1圖像開口向下，頂點(diǎn)在（0，-1），與y=圖像的交點(diǎn)橫坐標(biāo)是-1.故當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，函數(shù)y=圖像在函數(shù)y= -x2-1圖像下方，即關(guān)于x的不等式+x2+1＜0的解集是-1＜x＜0.所以選D.

本題將“數(shù)與代數(shù)”板塊的反比例函數(shù)、二次函數(shù)、不等式、坐標(biāo)，以及函數(shù)與不等式之間的內(nèi)在聯(lián)系整合在一起，構(gòu)成知識(shí)鏈，很好地體現(xiàn)了板塊融合的效果.

三、單元整合，落實(shí)效益

進(jìn)行系統(tǒng)整合、版塊整合之后，要在不同單元里將知識(shí)點(diǎn)及知識(shí)的運(yùn)用落實(shí)到單元復(fù)習(xí)中.因此，同一單元也要進(jìn)行必要的整合與優(yōu)化.使學(xué)生有效理解單元與單元之間知識(shí)的聯(lián)系和有效銜接，能夠更好地弄清楚同一單元內(nèi)容與知識(shí)的內(nèi)涵，在其他單元中所起的作用.單元整合要注意不能人為地進(jìn)行分割，要做到合理的聯(lián)系與知識(shí)間的運(yùn)用.對(duì)方程的復(fù)習(xí)就可以采取先從“元”與“次”的角度將初中階段的方程聯(lián)系起來，再從方程的解法與應(yīng)用的層面總結(jié)解決問題的策略，然后歸納、提煉出研究方程問題的共性，以及不同類型的方程中應(yīng)該注意的問題.譬如，一元二次方程的解決中，復(fù)習(xí)的不僅僅是方程的解法，同時(shí)還應(yīng)該進(jìn)一步理解、固化因式分解的內(nèi)容.

例3若x3-x=0，則x的值為___________.

這樣的問題表面上看是一元三次方程，顯然不屬于初中數(shù)學(xué)研究的范疇.初中階段真的無法解決嗎？如果對(duì)因式分解真正理解的話，方程左邊x3-x提取公因式后為x（x2-1），括號(hào)內(nèi)進(jìn)一步分解因式則得到原方程為x（x+ 1）（x-1）=0，這時(shí)求x的值則是水到渠成的了.

復(fù)習(xí)課的作用是有助于學(xué)生理解數(shù)學(xué)，將數(shù)學(xué)知識(shí)活化，會(huì)用數(shù)學(xué)的思想和方法解決實(shí)際問題.無論是新授課還是復(fù)習(xí)課，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，以及分析問題、解決問題的意識(shí)和能力是非常重要的.

四、研究有效策略，提升解題能力

無論是何種形式的復(fù)習(xí)，其出發(fā)點(diǎn)與歸宿就是實(shí)現(xiàn)理解學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)內(nèi)容，掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，提升用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力.

1.研究學(xué)生，查缺補(bǔ)漏

通過三年的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)掌握了必要的知識(shí)，有了一定的解決問題的技能，理解了一些數(shù)學(xué)的思想方法，積累了相應(yīng)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)及活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn).復(fù)習(xí)階段根據(jù)當(dāng)?shù)乜荚囈蟮臉?biāo)準(zhǔn)及學(xué)生的實(shí)際情況，制定出切實(shí)可行的復(fù)習(xí)方案.無論是新課學(xué)習(xí)還是中考前的復(fù)習(xí)，目標(biāo)達(dá)成的對(duì)象是學(xué)生，在復(fù)習(xí)階段要針對(duì)學(xué)生在學(xué)習(xí)中存在的問題、出現(xiàn)的問題，要采取有針對(duì)性的有效措施，如部分或個(gè)別輔導(dǎo)或補(bǔ)標(biāo)，起到查缺補(bǔ)漏，促進(jìn)提優(yōu)共進(jìn).

例4（1）等腰三角形ABC中，∠A=70°，求∠B、∠C的度數(shù).

解析：第（1）問在知識(shí)體系中是三種情況而不是兩種情況，即當(dāng)∠B=∠C時(shí)，∠B=∠C=55°；當(dāng)∠A=∠B時(shí)，∠B=70°，∠C=40°；當(dāng)∠A=∠C時(shí)，∠B=40°，∠C=70°.有的學(xué)生往往把后兩種情況當(dāng)作一種.

這兩個(gè)題目針對(duì)不同的學(xué)生，可以采取不同的處理方法，不能為了完成任務(wù)而忽略學(xué)生的實(shí)際情況和接受能力，不能隨意拔高或降低適合學(xué)生的教學(xué)標(biāo)準(zhǔn)和要求.

2.從“道”到“術(shù)”，體現(xiàn)通性通法與方法技巧

就像畫函數(shù)圖像一樣，用“列表—描點(diǎn)—連線”是通性通法，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的“道”，取兩個(gè)特殊點(diǎn)畫一次函數(shù)的圖像，盡管簡捷，只是治學(xué)過程中的“術(shù)”，是在通性通法的基礎(chǔ)上形成的技巧.沒有一般性策略上的“道”，就不可能有方法技巧上“術(shù)”.

例5在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A（0，2）、B（-1，0），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C在坐標(biāo)軸上，若△ABC為等腰三角形，求點(diǎn)C的坐標(biāo).

本題的解答中，學(xué)有余力的學(xué)生可能會(huì)找全符合條件的8個(gè)點(diǎn).但是，對(duì)于更多的學(xué)生能否更快更準(zhǔn)地找到這些點(diǎn)呢？就要在理解數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上，研究有效的策略與方法，提高解題的能力.結(jié)合題意，明白了所求點(diǎn)的位置，滿足的條件，就找到了解決問題的一般方法.若AB為底，則頂點(diǎn)C在AB的垂直平分線與兩條坐標(biāo)軸的交點(diǎn)上（即C1、C2）；若AB為腰，則點(diǎn)C分別在以A、B為圓心、AB長為半徑的圓與兩條坐標(biāo)軸的交點(diǎn)上（即C3、C4、C5，C6、C7、C8），如圖3所示.

如果缺乏整體意識(shí)，沒有整體架構(gòu)的思想方法，解決問題就可能缺少全局的觀念，分類討論就可能漏掉一些情況.

圖3

1.中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

2.孫維剛.孫維剛初中數(shù)學(xué)［M］.北京：北京大學(xué)出版社，2005.

3.馬小為，龐彥福.初中數(shù)學(xué)有效教學(xué)模式［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2014.

4.鐘珍玖，龐彥福.初三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)策略再探［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2013（11）.

*本文為江蘇省教育科學(xué)研究“十二五”規(guī)劃2013年度立項(xiàng)重點(diǎn)自籌課題《培養(yǎng)初中學(xué)生自主探究數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的策略研究》（課題批準(zhǔn)號(hào)為：E-b/2013/011）的階段性成果．