初中數(shù)學(xué)慢教育設(shè)計(jì)應(yīng)遵循的“四原則”

☉江蘇省連云港市新浦中學(xué)　朱桂鳳

☉江蘇省連云港市教育科學(xué)研究所孫朝仁

·江蘇省連云港市孫朝仁名師工作室·

初中數(shù)學(xué)慢教育設(shè)計(jì)應(yīng)遵循的“四原則”

☉江蘇省連云港市新浦中學(xué)朱桂鳳

☉江蘇省連云港市教育科學(xué)研究所孫朝仁

任何一種教育教學(xué)方式都有獨(dú)特的設(shè)計(jì)視角和關(guān)注的焦點(diǎn)，初中數(shù)學(xué)慢教育作為教育世界的本真方式也不例外.其設(shè)計(jì)除遵循共性的一般學(xué)科原則外，還應(yīng)著力遵循能體現(xiàn)其個(gè)性的整體性、過(guò)程性、變式性以及體驗(yàn)性等基本原則.

一、整體性原則

數(shù)學(xué)慢教育的最突出表征就是設(shè)計(jì)視角的整體性.這里的“整體性”不止于以單元為單位，將目標(biāo)的設(shè)定和指導(dǎo)過(guò)程加以分段，在單元外更大的整體范圍內(nèi)對(duì)具體一堂課的教學(xué)目標(biāo)、內(nèi)容、方法、策略以及教學(xué)組織形式進(jìn)行具象設(shè)計(jì)，更在于讓課堂因問(wèn)題設(shè)計(jì)的整體性而層次分明，因建構(gòu)方法的整體性而渾然一體，因思維外擴(kuò)的整體性而通體相關(guān).這些科學(xué)構(gòu)想比數(shù)學(xué)慢教育實(shí)施本身更重要，因?yàn)椤胺彩骂A(yù)則立，不預(yù)則廢”（《禮記》語(yǔ)）.

“一個(gè)專(zhuān)心的認(rèn)真?zhèn)湔n的教師，能夠拿出有意義的但又不太復(fù)雜的題目，去幫助學(xué)生挖掘問(wèn)題的各個(gè)方面，使得通過(guò)這道門(mén)就好像通過(guò)一道門(mén)戶，把學(xué)生引入一個(gè)完整的知識(shí)領(lǐng)域.”從數(shù)學(xué)家波利亞的教育論斷里，我們至少能獲悉關(guān)于整體性設(shè)計(jì)原則的三個(gè)維度：一是體現(xiàn)整體性的問(wèn)題構(gòu)想；二是反映整體性的方法建構(gòu)；三是回應(yīng)整體性的認(rèn)知遷移.

比如，在學(xué)習(xí)“一元二次方程”章頭課時(shí)（蘇科版九年級(jí)上），讓學(xué)生閱讀第80頁(yè)到第81頁(yè)，然后讓學(xué)生概括本節(jié)課要研究哪些內(nèi)容，并提煉本節(jié)課理應(yīng)實(shí)現(xiàn)的學(xué)習(xí)目標(biāo).提出該問(wèn)題目的有兩個(gè)：一是讓學(xué)生了解一節(jié)課主要內(nèi)容的整體性，即一元二次方程的概念及其一般形式；二是開(kāi)課伊始就讓學(xué)生明白本節(jié)課要達(dá)到和能達(dá)到的學(xué)習(xí)目標(biāo)，即理解一元二次方程的概念和在具體情境中探索一元二次方程概念的過(guò)程，發(fā)展學(xué)生的方程思想.讓學(xué)生歸結(jié)本節(jié)課的研究方法、還應(yīng)該研究哪些內(nèi)容以及怎樣研究.這能讓學(xué)生站在類(lèi)比思想整體的平臺(tái)上發(fā)展方程建模意識(shí)，經(jīng)歷整體性的元認(rèn)知活動(dòng)，終歸于一元二次方程概念的形成.為將課內(nèi)思維延伸于課外，又呈現(xiàn)基于整體表達(dá)的差異論問(wèn)題：以“一元二次方程”為話題，寫(xiě)一篇數(shù)學(xué)短文.這給不同學(xué)生提供整理知識(shí)經(jīng)驗(yàn)、思想方法不同層面的契機(jī)，讓每個(gè)學(xué)習(xí)者都有話可說(shuō)、有事可做，能讓零散的知識(shí)結(jié)構(gòu)在整體思維的參與下轉(zhuǎn)化為個(gè)體的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，從而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力.

反觀案例分析，不難發(fā)現(xiàn)整體性原則是數(shù)學(xué)慢教育設(shè)計(jì)的關(guān)鍵.因?yàn)檎w性閱讀意識(shí)，讓學(xué)生有整體把握新知的契機(jī)，使得待學(xué)內(nèi)容主題聚焦，屏蔽快教育課堂的瑣碎傾向；因?yàn)檎w性建構(gòu)方法，讓學(xué)生在思路回流中領(lǐng)悟思想，使得經(jīng)驗(yàn)方法開(kāi)放，屏蔽快教育課堂的封閉傾向；因?yàn)檎w性的反思意識(shí)，讓學(xué)生在“數(shù)學(xué)地”表達(dá)中體驗(yàn)思維的關(guān)聯(lián)，使得分析思維深刻，屏蔽快教育課堂的淺化傾向.基于整體性原則設(shè)計(jì)慢教育課堂，終歸于讓學(xué)生能整體把握裴光亞先生對(duì)“數(shù)學(xué)性”的數(shù)學(xué)表達(dá)，即通過(guò)樹(shù)木見(jiàn)到森林的哲學(xué)境界，這就是慢教育設(shè)計(jì)原則的整體性帶來(lái)的效益.

二、過(guò)程性原則

過(guò)程性原則是數(shù)學(xué)慢教育設(shè)計(jì)的核心原則.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下稱(chēng)為“課標(biāo)”）在課程目標(biāo)中指出，數(shù)學(xué)課程目標(biāo)包括結(jié)果目標(biāo)和過(guò)程目標(biāo).結(jié)果目標(biāo)使用“了解”“理解”“掌握”“運(yùn)用”等行為動(dòng)詞表述，過(guò)程目標(biāo)使用“經(jīng)歷”“體驗(yàn)”“探索”等行為動(dòng)詞表述.如果說(shuō)結(jié)果目標(biāo)動(dòng)詞本身就是一種思維過(guò)程性的結(jié)果，那么過(guò)程目標(biāo)動(dòng)詞本身則是一種思維過(guò)程的過(guò)程.其實(shí)，經(jīng)歷是體驗(yàn)的前提，探索是體驗(yàn)的過(guò)程，而數(shù)學(xué)慢教育的本質(zhì)就是過(guò)程性.因此這里的“過(guò)程性原則”包含三層意義：一是指問(wèn)題設(shè)問(wèn)形式開(kāi)放，適合在思考的過(guò)程中經(jīng)歷知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程；二是問(wèn)題解決過(guò)程開(kāi)放，適合在由“條件→行動(dòng)”的過(guò)程體驗(yàn)中形成解決問(wèn)題的產(chǎn)生式系統(tǒng)；三是問(wèn)題解決方法開(kāi)放，適合差異落實(shí)因“才”施教，讓不同層面的學(xué)生在探索的過(guò)程中都“做”有所獲、“研”有所得.

H.Wu在《美國(guó)數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)》2011年第三期發(fā)文，闡述了“數(shù)學(xué)的基本原則”：每一個(gè)概念都是被精確定義的，且定義為邏輯推理提供了基礎(chǔ)；數(shù)學(xué)陳述是準(zhǔn)確的，在任何時(shí)刻已知與未知都是明確的；每個(gè)論斷都能被邏輯推理支持；數(shù)學(xué)是連貫的，它是一個(gè)掛毯，里面所有的概念和技巧邏輯上交織成一個(gè)單件；數(shù)學(xué)是有目標(biāo)導(dǎo)向的，標(biāo)準(zhǔn)課程中的每一個(gè)概念或技巧都是有目的的.對(duì)于“希望教好學(xué)生”的教師而言，必須意識(shí)到這些原則，方能釋放數(shù)學(xué)學(xué)科教育的正能量.若把這些原則用在數(shù)學(xué)慢教育課堂，則與過(guò)程性原則一脈相通.概念是一個(gè)概括化過(guò)程；找出已知、待知和未知是思維聯(lián)系的過(guò)程；邏輯推理是分析思維施加作用的過(guò)程；數(shù)學(xué)的連貫性是靠橫向數(shù)學(xué)生活化、縱向數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)化的過(guò)程來(lái)表現(xiàn)的；數(shù)學(xué)目標(biāo)導(dǎo)向是在過(guò)程中得以體認(rèn)的.過(guò)程是數(shù)學(xué)慢教育的靈魂，唯有抓住過(guò)程性設(shè)計(jì)慢教育，方能讓數(shù)學(xué)慢教育以過(guò)程的方式釋放過(guò)程的力量.

比如：在學(xué)習(xí)“中點(diǎn)四邊形”時(shí)，基于“過(guò)程性原則”呈現(xiàn)的問(wèn)題組是：（1）在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，四邊形EFGH是怎樣的四邊形？為什么？（2）畫(huà)出一個(gè)矩形和菱形的中點(diǎn)四邊形，你發(fā)現(xiàn)了什么？（3）經(jīng)歷上述研究，你認(rèn)為中點(diǎn)四邊形的形狀由原四邊形的什么要素決定？如何決定的？（4）一個(gè)四邊形具備怎樣的條件，才能保證它的中點(diǎn)四邊形是正方形？為什么？問(wèn)題（1）是研究中點(diǎn)四邊形的基本問(wèn)題，體現(xiàn)教材編者重視基本問(wèn)題的設(shè)計(jì)，問(wèn)題解決方式半開(kāi)放，用“一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”或“兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形”來(lái)判定；問(wèn)題（2）從“特殊”入手，為后續(xù)“一般”研究提供思維上的鋪墊，讓學(xué)生在直觀畫(huà)圖的過(guò)程中，感受矩形的中點(diǎn)四邊形是菱形，而菱形的中點(diǎn)四邊形是矩形；問(wèn)題（3）有了問(wèn)題（2）特殊思維奠基，在三角形中位線性質(zhì)的幫助下，借助從特殊到一般的方法，終歸于由原四邊形的對(duì)角線的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系確定其中點(diǎn)四邊形的形狀；問(wèn)題（4）在前面3個(gè)問(wèn)題研究結(jié)論的基礎(chǔ)上，推演出原四邊形的對(duì)角線垂直且相等的論斷并不困難.

縱觀上述案例，梯級(jí)問(wèn)題組設(shè)問(wèn)的形式均開(kāi)放，為學(xué)生有過(guò)程的“做”提供廣闊的思維空間；就問(wèn)題解決的過(guò)程而言：可以獨(dú)立完成，可以合作完成，還可以半獨(dú)立半合作完成，可以組內(nèi)研究，也可以組際研究，可以生生交流，也可以師生交流，終歸于不同層面過(guò)程性思維的發(fā)展；就問(wèn)題解決的方法而言：可以直觀的“畫(huà)+度量”，可以“猜想+驗(yàn)證”，可以推理演繹，還可以借助媒體直觀演示等，終歸于過(guò)程性問(wèn)題論斷.如果說(shuō)“畫(huà)”的過(guò)程是慢教育的基本方式，那么說(shuō)理的過(guò)程則是慢教育的主流形式，則概括歸結(jié)的過(guò)程是慢教育的集大成者.因此，過(guò)程性是數(shù)學(xué)慢教育設(shè)計(jì)的核心原則.

三、變式性原則

變式性原則是數(shù)學(xué)慢教育設(shè)計(jì)的主體性原則.“變式”教學(xué)是中國(guó)數(shù)學(xué)教育的優(yōu)良傳統(tǒng)，是防止非本質(zhì)屬性泛化的有效舉措.就這個(gè)層面而言，設(shè)計(jì)變式問(wèn)題是課堂教育教學(xué)的重要環(huán)節(jié)和關(guān)鍵所在.由于數(shù)學(xué)慢教育“過(guò)程”的過(guò)程性，課時(shí)容量相對(duì)快教育偏少是可想而知的，因?yàn)橐v出更多空間讓學(xué)生進(jìn)行必要的深度思考，造就了數(shù)量和質(zhì)量不能兩全的認(rèn)知現(xiàn)實(shí)的矛盾.而慢教育的本質(zhì)就是追求高效，這就勢(shì)必要在變式上下功夫，以精煉的變式問(wèn)題拉動(dòng)豐富的課堂體驗(yàn)，讓知識(shí)經(jīng)驗(yàn)、思想方法在變化的載體中漸次圖式化和結(jié)構(gòu)化.這里的“變式”不在于一般課堂的形式化變式即大量的題海訓(xùn)練，而在于變式的本質(zhì)初衷.一是讓學(xué)生在變化的問(wèn)題中把握不變的本質(zhì)；二是讓學(xué)生在變式問(wèn)題的解決中獲得變式的能力，這是數(shù)學(xué)慢教育課堂設(shè)計(jì)的本質(zhì)特征.

“智慧技能學(xué)習(xí)的唯一有效方法就是建立在理解基礎(chǔ)上的變式練習(xí)”，換句話說(shuō)，心智技能的形成離不開(kāi)數(shù)學(xué)變式，這就從另一個(gè)側(cè)面確認(rèn)了變式性原則是數(shù)學(xué)慢教育設(shè)計(jì)的主體性原則，唯有變式練習(xí)和變式聯(lián)系，方能將數(shù)學(xué)命題的陳述形態(tài)轉(zhuǎn)化為以產(chǎn)生式或產(chǎn)生式系統(tǒng)表征的程序性形態(tài)，即形成一定的技能.而變式問(wèn)題是數(shù)學(xué)命題學(xué)習(xí)的一項(xiàng)重要技術(shù)，應(yīng)用初期宜采用顯性變式（數(shù)量的變化、圖形位置的變化等），應(yīng)用后期宜采用隱性變式（變化背景、變化參數(shù)等），方能促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)命題能力的縱向遷移，這也是數(shù)學(xué)慢教育設(shè)計(jì)應(yīng)把握的變式設(shè)計(jì)問(wèn)題的導(dǎo)向.事實(shí)上，變式觀點(diǎn)得到馬頓變異理論的強(qiáng)有力支撐，歸因于顯性變式提供問(wèn)題情境的相似性有助于數(shù)學(xué)命題的自動(dòng)生成，隱性變式提供問(wèn)題情境的不同性有助于數(shù)學(xué)命題圖式的獲得.因此就這個(gè)層面而言，數(shù)學(xué)慢教育的變式原則更具有一般設(shè)計(jì)的指導(dǎo)意義.

比如，在學(xué)習(xí)“生活中的不等式”章頭課時(shí)，筆者基于變式性原則設(shè)計(jì)變式題組.

一只紙箱質(zhì)量為1kg.當(dāng)放入一些蘋(píng)果（每個(gè)蘋(píng)果的質(zhì)量為0.25kg）后，箱子和蘋(píng)果的總質(zhì)量不超過(guò)10kg.

（1）填表：

（2）估計(jì)這只紙箱內(nèi)最多能裝多少個(gè)蘋(píng)果？

（3）當(dāng)箱子里放入x個(gè)蘋(píng)果時(shí)，你能用不等式表示題目中的數(shù)量關(guān)系嗎？

（4）若該箱蘋(píng)果的包裝盒上印有這樣的字樣“凈含量：9±0.25kg”，設(shè)這箱蘋(píng)果的實(shí)際質(zhì)量為mkg.你能用不等式表示這箱蘋(píng)果的實(shí)際質(zhì)量嗎？

（5）你能解釋不等式0.25x+1≤10其他的實(shí)際意義嗎？

設(shè)計(jì)說(shuō)明：?jiǎn)栴}（1）和（2）屬于顯性變式，而問(wèn)題（3）和（4）屬于隱性變式，問(wèn)題（5）屬于更高級(jí)的顯性變式，涉及逆向思維經(jīng)驗(yàn)的調(diào)用.經(jīng)歷這樣問(wèn)題變式組的探究過(guò)程，既排除了數(shù)學(xué)命題無(wú)關(guān)特征的干擾，又形成問(wèn)題解決的產(chǎn)生式系統(tǒng)，促進(jìn)學(xué)生將數(shù)學(xué)命題的陳述形態(tài)轉(zhuǎn)化為程序形態(tài)的能力，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)慢教育變式設(shè)計(jì)的功能，提升了方法經(jīng)驗(yàn)遷移的水平.

四、體驗(yàn)性原則

數(shù)學(xué)慢教育是以“興發(fā)教學(xué)論”為支撐的“體驗(yàn)性”學(xué)習(xí)方式，因此體驗(yàn)性原則是數(shù)學(xué)慢教育設(shè)計(jì)的重要原則.體驗(yàn)學(xué)習(xí)是一種以學(xué)習(xí)者為中心，通過(guò)親身體驗(yàn)與自覺(jué)反思相結(jié)合來(lái)獲得知識(shí)、技能和情感、態(tài)度的行為方式.這里的“體驗(yàn)性”強(qiáng)調(diào)個(gè)體經(jīng)驗(yàn)對(duì)學(xué)習(xí)的指導(dǎo)意義，不是簡(jiǎn)單主張?jiān)凇皩?shí)踐”中獲得新知識(shí)和新能力，而更關(guān)注對(duì)經(jīng)驗(yàn)的概括與總結(jié)、反思與提煉，強(qiáng)調(diào)在“親自經(jīng)歷”中不知不覺(jué)地領(lǐng)會(huì)知識(shí)技能的狀態(tài)，而且要求能在深刻的反思中獲得結(jié)構(gòu)性經(jīng)驗(yàn)的提升，使學(xué)習(xí)者通過(guò)反思與體驗(yàn)過(guò)程獲得成長(zhǎng)發(fā)展內(nèi)力，所以數(shù)學(xué)慢教育設(shè)計(jì)的體驗(yàn)性原則應(yīng)該是“做中學(xué)”與“思中學(xué)”的復(fù)合體.這和“課標(biāo)”倡導(dǎo)的“數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)需要在‘做’的過(guò)程和‘思考’的過(guò)程中積淀”的學(xué)習(xí)原則是一脈相承的.

體驗(yàn)學(xué)習(xí)有不同的理論模型，其中庫(kù)博（Kolb）用四個(gè)元素建立起的四階段循環(huán)模型是最具代表性的體驗(yàn)學(xué)習(xí)理論，即由體驗(yàn)階段（Experiencing）、反思內(nèi)省階段（Reflecting）、歸納階段（Generalizing）、應(yīng)用階段（Applying）組成的體驗(yàn)學(xué)習(xí)圈模式.把這四個(gè)階段用在數(shù)學(xué)課堂設(shè)計(jì)層面，則反映數(shù)學(xué)慢教育“體驗(yàn)性原則”設(shè)計(jì)的四層要義.一是問(wèn)題設(shè)計(jì)以活動(dòng)的形式梯級(jí)展開(kāi)，有利于學(xué)生“以身體之、以心驗(yàn)之”；二是以活動(dòng)為載體的問(wèn)題開(kāi)放，有利于不同個(gè)體經(jīng)驗(yàn)水平的提升和能力生長(zhǎng)；三是問(wèn)題解決的思想方法多樣，有利于不同思維水平的學(xué)生都能找到思維的切入點(diǎn)并有所發(fā)展；四是問(wèn)題設(shè)計(jì)體現(xiàn)“學(xué)以致用”的意識(shí)，有利于學(xué)生借助既得經(jīng)驗(yàn)方法解決新問(wèn)題并形成一定的心智技能.

比如，在“制作無(wú)蓋的長(zhǎng)方體紙盒”活動(dòng)中，基于“體驗(yàn)性原則”創(chuàng)設(shè)問(wèn)題：（1）用一根長(zhǎng)為20cm的繩子圍成一個(gè)長(zhǎng)方形，怎樣才能使長(zhǎng)方形的面積盡可能大？（2）如何用一張正方形的硬紙板制作無(wú)蓋的長(zhǎng)方體紙盒？（3）若正方形硬紙板的邊長(zhǎng)為20cm，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為xcm，你能用含x的代數(shù)式表示無(wú)蓋的長(zhǎng)方體紙盒的容積V嗎？當(dāng)x為多少時(shí)，V的值盡可能的大？

設(shè)計(jì)說(shuō)明：這是課題學(xué)習(xí)類(lèi)活動(dòng)，反映學(xué)習(xí)圈模式四個(gè)階段的思想內(nèi)涵，回應(yīng)“體驗(yàn)性原則”的設(shè)計(jì)意義.3個(gè)問(wèn)題由特殊到一般按照思維的內(nèi)邏輯順序梯級(jí)展開(kāi)，問(wèn)題（1）方法開(kāi)放，體驗(yàn)借助已有經(jīng)驗(yàn)水平解決問(wèn)題（周長(zhǎng)相同的四邊形，正方形面積最大）；問(wèn)題（2）活動(dòng)開(kāi)放，體現(xiàn)在做的過(guò)程中積累并概括經(jīng)驗(yàn)；問(wèn)題（3）體現(xiàn)在思考中積累并應(yīng)用經(jīng)驗(yàn)方法研究新問(wèn)題.如果說(shuō)三個(gè)活動(dòng)均在不同層面與體驗(yàn)階段合拍，那么第1個(gè)問(wèn)題是反思階段的具體表現(xiàn)，第2個(gè)問(wèn)題是歸納階段的再現(xiàn)，第3個(gè)問(wèn)題是應(yīng)用階段的復(fù)合反應(yīng)，其間既有體驗(yàn)的成分，也有反思和歸納的成分，更有應(yīng)用的眼光.

概而言之，初中數(shù)學(xué)慢教育設(shè)計(jì)的基本原則相輔相成，貫穿慢教育課堂的終始.整體設(shè)計(jì)是關(guān)鍵，過(guò)程設(shè)計(jì)是核心，變式設(shè)計(jì)是主體，體驗(yàn)設(shè)計(jì)是基調(diào)，各原則之間既獨(dú)立又復(fù)合，既聯(lián)系又區(qū)別，辯證地行走在慢教育課堂的前沿.

1.朱桂鳳.從容行走在“慢”與“不慢”之間——初中數(shù)學(xué)課堂慢教育哲學(xué)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2014（8）.

2.朱桂鳳，孫朝仁.數(shù)學(xué)慢化教育元話語(yǔ)與操作要義［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2014（10）.

3.朱桂鳳，孫朝仁.數(shù)學(xué)慢教育研究綜述［J］.江蘇教育研究，2013（7A）.