一道模擬壓軸題的“高仿”與“高度”

☉江蘇省揚(yáng)州市江都區(qū)楊莊中學(xué)　肖世兵

·江蘇省揚(yáng)州市江都區(qū)李維奇名師工作室·

一道模擬壓軸題的“高仿”與“高度”

☉江蘇省揚(yáng)州市江都區(qū)楊莊中學(xué)肖世兵

2014年4月，筆者有幸為江都區(qū)命制了一份中考模擬試卷.全卷的第18題高仿于揚(yáng)州市2013年中考試題第18題（填空壓軸題）.從閱卷情況來(lái)看，此題“高三度”（即高效度、高信度、高區(qū)分度），是一道“高度”成功的改編試題.下面結(jié)合第18題的命制過(guò)程，談?wù)勗囶}何來(lái)高仿，何以高度，以期對(duì)大家的命題有所幫助.

一、試題與解答

1.試題呈現(xiàn)

如圖1，在Rt△ABC中，∠CAB= 90°，AB=AC=2，點(diǎn)D、E是斜邊BC的三等分點(diǎn)，點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，則AD+EF= ________.

圖1

2.試題解答

解法1：先求出EF（或AD），再利用中位線定理求出AD（或EF）.

如圖2，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AB于H.

圖2

解法2：如圖3，將等腰三角形補(bǔ)成正方形，延長(zhǎng)AD交正方形的邊于H.可利用全等證明CH=BF=1，DH= EF.在Rt△ACH中，由勾股定理可得AH=

圖3

解法3：如圖4，分別取DE、AF的中點(diǎn)M、N，連接MF、MN.易得△MNF是直角三角形，且MF=1，NF=，所以MN=，所以AD+EF=

圖4

解法4：如圖5，延長(zhǎng)BA到點(diǎn)M，使得AM=AF，連接CM.

圖5

二、何來(lái)高仿

1.原型說(shuō)明

試題的命制在選材上通常取材于課本中的例、習(xí)題，中、高考試題，競(jìng)賽題等.本題的原型是揚(yáng)州市2013年中考試題第18題（填空題的壓軸題）.

原型：（2013·揚(yáng)州）如圖6，已知⊙O的直徑AB=6，E、F為AB的三等分點(diǎn)，M、N為上兩點(diǎn)，且∠MEB=∠NFB=60°，則EM+FN=_________.

圖6

本題主要考查初中數(shù)學(xué)中圓的垂徑定理，解直角三角形的核心知識(shí)，以及轉(zhuǎn)化思想.其解法靈活多樣、解法1是整體求解策略，如圖7，巧妙利用圓的中心對(duì)稱性，將FN繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°后，與EM形成一條完整的弦，從而將陌生的“EM+FN”的計(jì)算轉(zhuǎn)化為熟悉的圓內(nèi)弦MG的計(jì)算，靈活地考查了轉(zhuǎn)化能力和幾何直觀.解法2是直接求解策略，即直接求解ME、NF的長(zhǎng).從圓的視角考慮，可構(gòu)造垂徑定理求解；從三角形的視角考慮，可通過(guò)作高線，轉(zhuǎn)化為解直角三角形求解，如圖8.

圖7

圖8

2.原型命制技法

此題是揚(yáng)州中考試題中近年來(lái)不多見的創(chuàng)新型試題，在傳統(tǒng)的基礎(chǔ)上，有所突破，求變求新.

從命制技術(shù)角度看，本題運(yùn)用了圖形變換思想，在圓的相交弦基本圖形上，進(jìn)行了分離、變換（旋轉(zhuǎn)）、組合的創(chuàng)新技術(shù)處理.處理后的試題，既有常規(guī)題、基礎(chǔ)題的影子，又給人耳目一新的感覺(jué).

演變過(guò)程大致如下：

圖9

值得借鑒之處：本題在核心知識(shí)處立意，巧用旋轉(zhuǎn)，化常規(guī)為新穎，且解法靈活多樣，既有巧妙轉(zhuǎn)化的技法，又有常規(guī)通解通法，不失為一道考查學(xué)生能力的好題.

3.高仿改編

在學(xué)習(xí)研究中考題的命制之后，筆者深感此命制方法的獨(dú)妙之處，遂類比此法，如法炮制了一道試題.

高仿試題背景：原題是以圓為背景，圓既是中心對(duì)稱圖形，也是軸對(duì)稱圖形.正方形是完美的四邊形，它既是中心對(duì)稱圖形，也是軸對(duì)稱圖形.基于這樣的類比，筆者將原題中的圓改換成正方形，同時(shí)將圓中的直徑改換為正方形的對(duì)角線，將圓中兩條相交弦改換為正方形中的兩條相交的線段.

高仿圖形變換：原題能實(shí)現(xiàn)化陳為新，最獨(dú)具匠心的是巧妙運(yùn)用了圖形變換（即分離—旋轉(zhuǎn)—組合）.運(yùn)用這一命題技法，筆者將正方形的背景也經(jīng)歷分離—旋轉(zhuǎn)—組合的演變，演變過(guò)程如下：

圖10

考慮變化后的題圖與正方形的關(guān)聯(lián)并不大，故在原有變換的基礎(chǔ)上，通過(guò)再隱去正方形的另一半，使試題走向新穎、簡(jiǎn)潔.此時(shí)，正方形的背景最終以等腰直角三角形的知識(shí)背景呈現(xiàn)，如此處理也體現(xiàn)出正方形與等腰直角三角知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系.同時(shí)，也加大了試題的難度.如果選用圖形變換思想解題的話，首先，要具備等腰直角三角形與正方形內(nèi)在聯(lián)系的知識(shí)儲(chǔ)備；其次，需要具備良好的圖形直觀能力和圖形變換思想.

條件賦值成題：構(gòu)圖是本題成形的關(guān)鍵.考慮本題意在考查學(xué)生分析問(wèn)題、轉(zhuǎn)化問(wèn)題的能力，力求少算多思，因此，在圖形上，正方形內(nèi)的另一條線段取為一邊中點(diǎn)和頂點(diǎn)的連線，利用相似知識(shí)，經(jīng)過(guò)圖形變換后，不難得出對(duì)角線上的兩點(diǎn)恰好是對(duì)角線的三等分點(diǎn)；在數(shù)值上，以簡(jiǎn)單易算為原則，取值為“AB=AC=2”.最后，根據(jù)圖形，組織語(yǔ)言，敘述成題.

本題綜合了初中幾何的基礎(chǔ)知識(shí)、核心知識(shí)（勾股定理、中位線定理、相似三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)等），給學(xué)生提供了良好的思維發(fā)散的空間，有助于創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，是一道“高三度”的改編題.

三、何以高度

縱觀此題，其具有良好的信度、效度和區(qū)分度，主要得益于以下幾點(diǎn).

首先，題圖變化大.改編后的試題，雖源于中考題，且問(wèn)法都是求兩條線段的和，但改編后的題圖與原題圖相去甚遠(yuǎn)，即使有學(xué)生做過(guò)原題，如不領(lǐng)會(huì)解題本質(zhì)，解決此題依然困難.

其次，條件變化大.雖然改編前后試題中都出現(xiàn)了三等分點(diǎn)這一條件，但原題是通過(guò)角度來(lái)確定兩線段的位置關(guān)系和大小關(guān)系，而改編后的試題中，當(dāng)“D、E是斜邊BC的三等分點(diǎn)”時(shí)，由圖形變換可確定此時(shí)“點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)”.改編后試題通過(guò)等分點(diǎn)確定兩線段的位置關(guān)系和大小關(guān)系.

最后，解法區(qū)別大.改編試題的解法1利用解直角三角形的知識(shí)，構(gòu)造直角三角形分別直接求解，這是通解通法，與原中考題有共同之處.而解法2雖可以利用原中考題的旋轉(zhuǎn)變換整體求解，但需要通過(guò)補(bǔ)形后，方能與中考題產(chǎn)生關(guān)聯(lián)，并不能直接求得，難度相比之前有所增大.改編后的中點(diǎn)條件會(huì)使學(xué)生聯(lián)想到中位線、相似等知識(shí)點(diǎn)，由此會(huì)想出除中考題解法之外的解法3和解法4，其中，解法4巧借等分構(gòu)造相似求解，是在試卷講評(píng)課上學(xué)生提出的解法.

四、一點(diǎn)感悟

優(yōu)秀的中考試題，是命題創(chuàng)作的源泉.一方面，許多中考試題是命題者精心打磨的，原創(chuàng)度高，創(chuàng)新性強(qiáng)，同時(shí)，它們還有一些再挖掘、再創(chuàng)造的空間.仿照優(yōu)秀的中考試題，變式引申，既可以挖掘原題的價(jià)值，揣度命題者的意圖和想法，同時(shí)，又可以拓寬命題視角，提升命題能力.

眾所周知，為了確保試題的信度、效度和區(qū)分度，在用于大范圍考試的試題命制中時(shí)，壓軸題是必須要原創(chuàng)的.如何使改編題也具有“高三度”？

幾何改編試題可以從兩個(gè)方面考慮.一是形似神離，即取原題的幾何圖形背景，在縱向上挖掘圖形中新的性質(zhì)、新的結(jié)論，力求在考查的內(nèi)容、方向上有所突破.二是神似形離，即取原題中命制的技法、解題思想方法等，在橫向上，改換圖形，觸類旁通，以求在不同類型的問(wèn)題中，尋求相同的解題本質(zhì).在仿題時(shí)，不是對(duì)試題形式的小改小變，更多的要關(guān)注試題的數(shù)學(xué)模型、數(shù)學(xué)本質(zhì)和內(nèi)在聯(lián)系.這樣仿照改編的試題，才具有生命力，才會(huì)賦予原題更多的內(nèi)涵與外延.題在書外，根在書中.在改編試題時(shí)，是借而不是抄，是仿而不是搬，力求創(chuàng)新，不留痕跡，雖是“高仿”，卻似原創(chuàng)，不失“高度”.

1.夏再迅.試題改編需要理解深層結(jié)構(gòu)——由一道幾何考題的求解說(shuō)起［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2013（12）.

2.肖世兵.一道中考原創(chuàng)填空壓軸題的命制與感悟［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2013（5）.

3.季麗娟.研究、模仿、創(chuàng)新——淺議中考模擬試卷命制的三部曲［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2013（5）.