基于經(jīng)驗自然延續(xù)的教學(xué)
——以“角的表示”為例

☉江蘇省如皋市石莊鎮(zhèn)初級中學(xué)　呂愛勤

基于經(jīng)驗自然延續(xù)的教學(xué)
——以“角的表示”為例

☉江蘇省如皋市石莊鎮(zhèn)初級中學(xué)呂愛勤

在學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知活動中，基本活動經(jīng)驗有著巨大的作用.它是學(xué)生獲得新知的前提和基礎(chǔ)，沒有經(jīng)驗參與的數(shù)學(xué)活動是不能深刻持久的，學(xué)生的所獲是很難融入到已有知識結(jié)構(gòu)中去的.因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們應(yīng)從他們固有的經(jīng)驗入手，設(shè)置基于經(jīng)驗之上的數(shù)學(xué)探究活動，讓學(xué)生的認(rèn)知在固有經(jīng)驗上自然延續(xù).本文將結(jié)合“角的表示”教學(xué)片斷，談?wù)劵诮?jīng)驗自然延續(xù)的教學(xué)，希望能引發(fā)您的思考.

一、“角的表示”教學(xué)片斷及簡析

圖1

1.回顧舊知，用交流喚醒經(jīng)驗

教師：（投影一個點）這里有一個點，你能給它起個名字嗎？

學(xué)生1：點A.（教師板書：a）

學(xué)生（齊）：錯了，應(yīng)該是大寫字母A.

教師（恍然大悟的樣子）：哦！看來老師記錯了！在表示什么幾何圖形時，可以用小寫字母？

學(xué)生2：線段，直線，射線.

教師：是嗎？（投影圖1，注：這里不含字母，圖中字母隨著教學(xué)進(jìn)程逐漸添加）這三條線該如何表示呢？

學(xué)生3：用兩個大字字母.

投影：在三條線上分別出現(xiàn)兩個大寫字母.并請學(xué)生作答.

學(xué)生4：第一條是直線AB；第二條為射線OP；第三條為線段MN.

教師：還有其他不同的表示方法嗎？

學(xué)生5：第一條還可以說成是直線BA.

學(xué)生6：第三條也可以說成是線段NM.

教師：這種表示方法和剛才的表示方法相比，有什么不同？

學(xué)生7：兩個字母的位置顛倒了！

教師：可以這么表示嗎？

學(xué)生8：可以！從“公平”的角度看，兩個字母都可以放在前面.

教師：很好，看來這兩種表示方式都是可以的.那么，還有沒有其他表示方法了？

學(xué)生9：還可以用小寫字母表示.

教師：好的，你說說看.

學(xué)生10：第一條可以表示為直線a；第二條可以表示為射線l；第三條可以表示為線段m.

在學(xué)生10發(fā)言過程中，教師用電子筆在課件上進(jìn)行相應(yīng)標(biāo)注，如圖1.

教師：你說得完全正確！那么，在我們的已有經(jīng)驗中，點和“線”（特指直線、射線、線段，師生先前已經(jīng)達(dá)成共識，下同）是怎樣表示的呢？

學(xué)生11：只能用一個大寫字母表示點.

教師：表示直線、射線和線段呢？

學(xué)生12：既可以用一個小寫字母表示，又可以用兩個大寫字母表示.

教師：在表示“線”的時候，這兩個字母表示的是什么？

學(xué)生13：是“線”上的兩個點.

簡析：通過前兩課的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)掌握了用字母表示點和“線”的方法，積累下獲得這些知識的經(jīng)驗，它們是后續(xù)幾何學(xué)習(xí)的起點.在本節(jié)課的認(rèn)知活動中，前兩課積累的“用字母可以表示幾何圖形”，“用大寫字母表示幾何圖形”、“用小寫字母表示幾何圖形”，以及“表示點、直線、射線、線段”這一系列經(jīng)驗等都可以得到有效延續(xù).所以，喚醒這些經(jīng)驗顯得十分重要.片斷1中，教者從表示“無名點”、“無名線”入手，巧妙設(shè)問，讓學(xué)生重回認(rèn)知情境，有效喚醒已有經(jīng)驗，為下一步獲取新知做好了準(zhǔn)備.

2.探究新知，用追問激活經(jīng)驗

教師：表示點只有一種方法，而表示線可以有兩種方法.那么表示這個角（投影圖2），你有幾種方法呢？

圖2

學(xué)生（齊答）：三種.

教師：是嗎？說說看是哪三種？

學(xué)生14：∠O或∠AOB或∠BOA.

教師：這能算三種嗎？

學(xué)生15：不能.

教師：為什么？

學(xué)生16：在表示直線時，直線AB和直線BA只能算一種.

教師：這個例子舉得好！看來，用一個大寫字母表示和用三個大寫字母表示只能算一種了！你們同意嗎？

學(xué)生（齊）：同意！

教師：這種表示方法，有沒有什么要求呢？學(xué)生17：用一個字母表示，只能用頂點.教師：為什么？

學(xué)生18：角是有公共端點的兩條射線組成的圖形，這個公共端點就是它的頂點.也只有用這個點來表示這個角時，兩條射線才會“服氣”.

教師：嗯！有道理！要不然兩條射線可要“打架”了.

學(xué)生19：老師，我知道了，用三個字母表示角的時候，在頂點之外的兩條射線上也各取了一個點，這樣做也是為了“公平”.

教師：有點道理.那么，這三個點寫的時候要注意什么呢？

學(xué)生20：頂點寫在中間，這樣就不會“疏遠(yuǎn)”任何一條射線了.

教師：看來為了“公平”，我們寫這三個字母還是要注意喲！

簡析：順著“點的表示方法只有一種，線的表示方法有兩種”，讓學(xué)生猜想角有幾種表示方法，這是認(rèn)知經(jīng)驗的自然延續(xù).學(xué)生得出“三種”，應(yīng)該是在情理之中的.學(xué)生14給出的用一個或三個大寫字母表示的方法僅是教者期待的方法之一，教者抓住這一生成，利用學(xué)生的經(jīng)驗，讓他們較為深入地明晰這“三種”用大寫字母表示角的聯(lián)系與區(qū)別.在此過程中，學(xué)生能類比直線的表示方法，明晰“∠AOB、∠BOA和∠O”都是同一種方法，實屬不易.如此探究，讓學(xué)生腦海中“公平”經(jīng)驗得以強化，為下一步的生成與應(yīng)用夯實了基礎(chǔ).

3.即時鞏固，通過應(yīng)用固化經(jīng)驗

圖3

教師：圖3中有幾個角，該如何表示這些角呢？

學(xué)生21：有兩個角.

學(xué)生22：不對！應(yīng)該是三個角！

教師：到底幾個？

學(xué)生23：三個.

教師：哪三個？如何表示？

學(xué)生24：∠COA和∠BOA和∠O.

教師：這樣表示行嗎？

學(xué)生25（很激動）：不行！不能用∠O表示這里的任何一個角！

教師：為什么？

學(xué)生26：O點既是∠AOC的頂點，又是∠BOC的頂點，還是∠AOB的頂點，用∠O表示其中任何一個角都不“公平”.

教師：很好！看來這些角是不能用∠O表示了！那么什么情況下能用一個大寫字母來表示角呢？

學(xué)生27：同一頂點處只有一個角.（說明：七年級學(xué)生所認(rèn)知的角一般都小于平角）

教師：你說得真對！這一點今后大家在用大寫字母表示角時可要注意喲！

簡析：追求“公平”，不讓一個點、一條線不“服氣”，上一個教學(xué)片斷中的經(jīng)驗得到延續(xù).學(xué)生從“一個頂點，多個角”的問題展開思考，通過表示一些具有公共頂點的角，將剛剛獲得的經(jīng)驗進(jìn)一步應(yīng)用.“這樣表示行嗎”，一句簡單的追問，讓前一片斷中的經(jīng)驗在辨析交流中進(jìn)一步延伸.新知得到了鞏固，經(jīng)驗被不斷強化，隨著幾何學(xué)習(xí)的深入，這節(jié)課上的經(jīng)驗將會逐漸被“固化”，融入學(xué)生的知識網(wǎng)絡(luò)之中.

4.再獲新知，用探究積淀經(jīng)驗

教師：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了用大寫字母表示角的方法，猜一猜，我們有沒有其他方法表示角呢？

學(xué)生28：應(yīng)該還可以用小寫字母表示吧！

教師：是的！不過為了與“線”的表示方法略有區(qū)別，我們這里用希臘字母來表示角，如圖2中的∠AOB，我們還可以表示為∠α.（投影圖2中的弧線及字母“α”）

教師：剛剛我們猜想可以用三種方法表示角，猜想一下，有沒有比用希臘字母表示角還容易的方法？

學(xué)生29：用數(shù)字表示.

教師：何以見得？

學(xué)生30：數(shù)字比字母更容易寫，而且不受數(shù)量限制.

教師：非常棒！你的猜想符合規(guī)律，這個角還可以表示為∠1.（投影：將圖2中的字母“α”隱去，投影數(shù)字“1”），像圖3中的∠AOC也可以表示為∠2.（投影）

教師：下面，我們一起來小結(jié)一下角的表示方法.

學(xué)生31：可以用大寫字母表示.

學(xué)生32：不僅可以用希臘字母表示，還可以用數(shù)字表示.

教師：剛才的學(xué)習(xí)給了你什么啟示？

學(xué)生33：表示角的方法很多，我覺得用數(shù)字表示角最簡單.

學(xué)生34：如果頂點處只有一個字母，可以用表示頂點的字母表示這個角.

教師：很好！今后，在解決幾何問題時，用什么樣的方式去表示角，應(yīng)取決于問題所處的圖形情境.靈活應(yīng)用三種表示方法，將簡化你的解題過程！

簡析：片斷1中用小寫字母表示“線”的經(jīng)驗，在這則片斷中得到了很好的延續(xù).師生對話，有效點燃了學(xué)生用“小寫字母”表示角的熱情.這一經(jīng)驗延續(xù)，對后續(xù)幾何內(nèi)容的學(xué)習(xí)十分重要.此外，“有沒有比用字母表示角還要容易的方法”，激活了學(xué)生求簡的經(jīng)驗，能想到用數(shù)字來表示實屬不易.暫不考慮該生是如何發(fā)現(xiàn)這一方法的，最起碼他陳述的數(shù)字表示角的優(yōu)越性確實令人信服.“簡便，不受個數(shù)限制”，個體經(jīng)驗的放大，引發(fā)了其他同學(xué)的深層思考.豐富的生成隨著經(jīng)驗的延續(xù)自然呈現(xiàn)，令人欣慰！

二、教后反思

歷經(jīng)這次基于經(jīng)驗自然延伸的數(shù)學(xué)教學(xué)，筆者感慨良多，經(jīng)驗是蘊藏于人的認(rèn)知網(wǎng)絡(luò)深處的知識，它是隱性的，只在特定時點上才能發(fā)揮其價值.因此，我們必須正視學(xué)生的經(jīng)驗并運用好這些經(jīng)驗.

1.重現(xiàn)認(rèn)知情境能有效喚醒學(xué)生的已有經(jīng)驗

經(jīng)驗的隱性特征決定了其教學(xué)應(yīng)用中的價值較難發(fā)揮.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，要為學(xué)生創(chuàng)設(shè)出合適的情境，尤其是最初學(xué)生能夠積累下這一經(jīng)驗的情境，這樣的設(shè)置極易帶領(lǐng)學(xué)生重回舊境，喚醒他們的固有經(jīng)驗，服務(wù)于新知的學(xué)習(xí).以本文所述片斷為例，“點的表示”、“‘線’的表示”均是“從‘無名’走向‘有名’”，“從無法走向有法”，這樣的過程是一致的.在教學(xué)中，教者讓學(xué)生重回知識建構(gòu)的原情境，知識回顧的過程實則也恰到好處地激活了學(xué)生獲取知識積累下的“用字母表示幾何圖形”（點、線）的經(jīng)驗.情境的重現(xiàn)，讓學(xué)生浮想聯(lián)翩，喚醒了諸多共性經(jīng)驗，如，“只能用一個大寫字母表示點”，“直線AB和直線BA是同一條直線”；也不乏一些個性化的經(jīng)驗，如，“公平”的經(jīng)驗等.這些數(shù)學(xué)認(rèn)知活動中的經(jīng)驗和生活中的經(jīng)驗，對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是十分有效的.從教學(xué)效果看，后面三則片斷幾乎都沿用了片斷1中梳理出的經(jīng)驗.由此可見，認(rèn)知情境的再現(xiàn)，對喚醒學(xué)生固有經(jīng)驗的作用是巨大的.

2.順勢而為是經(jīng)驗得以延伸的基本保證

學(xué)生的認(rèn)知是有規(guī)律的，只有符合個體需求的知識才能進(jìn)入其知識網(wǎng)絡(luò).此外，我們還應(yīng)保證進(jìn)入的方式必須是學(xué)生主體最適宜接受的，否則，對今后的生活作用再大的知識也不一定會融入已有的結(jié)構(gòu).所以，引導(dǎo)學(xué)生獲得新知的方式就顯得很重要了！筆者認(rèn)為，在已有知識和經(jīng)驗之上的“順勢而為”是一種有效的手段，有利于學(xué)生從已有的認(rèn)知網(wǎng)絡(luò)中捕捉到新知的“生長點”.教師的引導(dǎo)是這種順勢而為的“推手”，學(xué)生在一個個追問下自然會順勢生成符合教學(xué)要求的新知.基于經(jīng)驗喚醒下的數(shù)學(xué)活動，學(xué)生的探究，有舊知（知識與經(jīng)驗）的鋪墊，加之學(xué)生的主動參與，教師只需順著學(xué)生的交流進(jìn)行適度矯正，固有的經(jīng)驗便會得到自然延伸，新知的生成自然會十分順利了.以上面的片斷為例，在學(xué)習(xí)“角的表示”前，學(xué)生已經(jīng)具備了“用字母表示點和‘線’的經(jīng)驗”，這些是“新鮮”的，沿著新鮮的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，老師的順勢而導(dǎo)，學(xué)生在猜想與驗證中獲取了本節(jié)課應(yīng)得的新知，并同步實現(xiàn)了經(jīng)驗的積累和能力的提升.

三、寫在最后

經(jīng)驗不僅存在于學(xué)生生活中，還存在于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，作為一種隱性的知識，無論是生活中的經(jīng)驗，還是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的經(jīng)驗，抑或是其他學(xué)科認(rèn)知活動中的經(jīng)驗，都可以成為學(xué)生獲取新知的起點.在教學(xué)中，筆者就是利用這些固有經(jīng)驗，讓他們在學(xué)生的認(rèn)知活動中延伸疊加，不斷充實學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，讓更多的數(shù)學(xué)知識有序地融入到知識網(wǎng)絡(luò)中去.如此一來，學(xué)生的數(shù)學(xué)探究會隨著經(jīng)驗不斷應(yīng)用與疊加漸行漸遠(yuǎn)，讓他們的數(shù)學(xué)知識網(wǎng)絡(luò)日益豐滿充實.