考慮車軌垂向耦合福州地鐵振源加速度研究*

鄭國(guó)琛， 祁　皚， 顏學(xué)淵

（1.福州大學(xué)土木工程學(xué)院 福州，350002） （2.福建省地震局福建地震災(zāi)害預(yù)防中心 福州，350003）

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考慮車軌垂向耦合福州地鐵振源加速度研究*

鄭國(guó)琛1，2， 祁皚1， 顏學(xué)淵1

（1.福州大學(xué)土木工程學(xué)院 福州，350002） （2.福建省地震局福建地震災(zāi)害預(yù)防中心 福州，350003）

為了研究福州地鐵振源系統(tǒng)加速度，進(jìn)而可以直觀準(zhǔn)確地分析土層傳播規(guī)律和衰減特性，筆者建立了車軌垂向耦合振動(dòng)模型，應(yīng)用了福州地鐵列車和軌道參數(shù)，計(jì)算了在一定車速下，振源系統(tǒng)各部的垂向加速度，并分析了車速的影響。結(jié)果表明，車體振動(dòng)反映了自身的自振頻率；轉(zhuǎn)向架、輪對(duì)、支承塊和道床有一定的主頻集中區(qū)，且輪對(duì)和支承塊在高頻區(qū)還分別存在一個(gè)高頻赫茲接觸運(yùn)動(dòng)引起的第二主頻。振源系統(tǒng)的軌道扣件和塊下橡膠墊具有較好的減振能力，隨著車速的增加，垂向加速度逐漸增大，同時(shí)減振效果趨于穩(wěn)定。

福州地鐵；垂向耦合；數(shù)值分析；振源加速度；振動(dòng)主頻；減振效果

引 言

近年來(lái)，福州市開(kāi)始興建地鐵工程，地鐵穿越城市中密集的居民區(qū)、商業(yè)中心，而且基本采用淺埋方式。隨著地鐵交通系統(tǒng)規(guī)模不斷擴(kuò)大，地鐵隧道鄰近建筑物的情況越來(lái)越多，同時(shí)地鐵運(yùn)行的總體密度逐步提高，振動(dòng)的影響日益增大［1］。

地鐵振動(dòng)引起的環(huán)境振動(dòng)，本質(zhì)上是由于地鐵列車運(yùn)行時(shí)，車輪與軌道之間由于種種原因產(chǎn)生的相互作用而產(chǎn)生振動(dòng)，即振源。振源加速度是誘發(fā)地面及建筑物振動(dòng)的最主要因素，若能從加速度角度出發(fā)，研究車軌系統(tǒng)傳遞到道床的豎向加速度機(jī)制，對(duì)于進(jìn)而分析土層傳播規(guī)律和衰減特性具有直觀性和準(zhǔn)確性?？v觀國(guó)內(nèi)外現(xiàn)有的研究成果，Chua K H等［2-4］和曹艷梅等［5-6］均從力的角度出發(fā)加以研究，即計(jì)算列車運(yùn)行時(shí)，通過(guò)軌道作用于道床或路基上的動(dòng)力時(shí)程，以該動(dòng)力時(shí)程作為振源激勵(lì)，進(jìn)而研究列車運(yùn)行引起地基或結(jié)構(gòu)物的振動(dòng)，缺乏了對(duì)振源系統(tǒng)加速度和主頻變化的直觀表達(dá)。文獻(xiàn)［7］雖模擬了振源加速度，但是計(jì)算靜力引起的軌道和道床振源加速度，具有一定的片面性。

通過(guò)選擇福州市地鐵工程采用的列車及軌道參數(shù)，建立了具有兩個(gè)轉(zhuǎn)向架的4軸10自由度地鐵列車和彈性支承塊式無(wú)碴軌道垂向耦合的振動(dòng)模型，通過(guò)載入相應(yīng)的軌道不平順樣本，使用MATLAB軟件建立地鐵列車-軌道垂向耦合振動(dòng)分析程序，得到了包括車體、轉(zhuǎn)向架、輪對(duì)、混凝土支承塊和道床這5個(gè)部分的垂向加速度和頻譜。另外，亦分析了列車車速對(duì)垂向加速度的影響，得到了有益的結(jié)論。

1 地鐵列車-軌道垂向耦合振動(dòng)模型和振動(dòng)方程的建立

一般而言，地鐵列車-軌道耦合振動(dòng)可以分為垂向、橫向和縱向三個(gè)方面。由于輪軌滾動(dòng)產(chǎn)生的縱向耦合效應(yīng)較弱，常可視為準(zhǔn)靜態(tài)作用，因此，從動(dòng)力學(xué)角度而言，垂向和橫向振動(dòng)是地鐵列車-軌道耦合振動(dòng)的主要研究?jī)?nèi)容。又因?yàn)閷?duì)于運(yùn)動(dòng)的列車，由于其移動(dòng)軸重對(duì)下部地基的豎向激擾比橫向要大的多［7］，因此，為了突出重點(diǎn)，簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程，建立地鐵列車-軌道垂向系統(tǒng)模型進(jìn)行振動(dòng)分析和計(jì)算。垂向分析模型基本原則可參考文獻(xiàn)［8］。

1.1地鐵列車模型

由以上假定可以得出，對(duì)于地鐵列車-軌道垂向系統(tǒng)中的具有兩個(gè)轉(zhuǎn)向架的4軸地鐵列車客車計(jì)算自由度為10。車輛模型如圖1所示［8］。

圖中：Mc，Mt和Mw分別為車體、前后轉(zhuǎn)向架構(gòu)架和輪對(duì)質(zhì)量（kg）；Csz和Cpz分別為列車一系和二系懸掛阻尼（N·s/m）；Kpz和Ksz分別為列車一系和二系懸掛剛度（N/m）；βc和βt1，t2為車體和轉(zhuǎn)向架點(diǎn)頭角位移（rad）；Zt1，t2，Zw1～w4和Zc分別為轉(zhuǎn)向架、輪對(duì)和車體的豎向位移（m）；Jc和Jt為車體和轉(zhuǎn)向架構(gòu)架點(diǎn)頭慣量（kg·m2）；Z01～04為4輪對(duì)下軌道不平順（m）；P1～4為4輪對(duì)的輪軌作用力（N）。

圖1　地鐵列車模型Fig.1 Model of metro train

其中：lc為車輛定距之半（m）；lt為轉(zhuǎn)向架固定軸距之半（m）；pi（t）為單側(cè)車輪的輪軌垂向作用力（i= 1～4）；F0i（t）為各輪對(duì)處激振力函數(shù)（i=1～4）。

1.2軌道模型

在模型中，鋼軌用Euler梁來(lái)模擬，混凝土支承塊簡(jiǎn)化成質(zhì)量塊單元，扣件提供了軌下垂向彈性和阻尼（即Kp和Cp）；支承塊下橡膠墊提供了支承塊下垂向彈性和阻尼（即Kb和Cb），如圖2所示。

圖2　彈性支承塊式無(wú)碴軌道模型Fig.2 Model of low vibration track（LVT）

圖中：mr為單位長(zhǎng)度鋼軌質(zhì)量（kg/m）；EI為鋼軌抗彎剛度（N/m2）；Cp，Cb，Cbw和Cf分別為軌下膠墊、塊下膠墊、道床塊和路基的垂向阻尼（N ·s/m）；Kp，Kb，Kbw和Kf分別為軌下膠墊、塊下膠墊、道床塊和路基的垂向剛度（N/m）；Cpz和Kpz分別為列車一系懸掛阻尼和剛度；Mb和Ms分別為道床塊和支承塊的質(zhì)量（kg）；Zsi和Zr分別為第i號(hào)支承塊和鋼軌的垂向位移（m）；P1～4為輪軌接受四輪對(duì)作用力（N）。

（1）鋼軌的振動(dòng)方程

將鋼軌視為簡(jiǎn)支Euler梁，設(shè)軌道結(jié)構(gòu)的振動(dòng)位移變量為Zr（x，t），鋼軌的彈性模量為E，截面慣性量為I，則其振動(dòng)微分方程為

其中：xi為i號(hào)支承塊的坐標(biāo)，設(shè)支承塊間距為ls，

2 地鐵列車-軌道垂向耦合作用

在垂向平面內(nèi)，車輛子系統(tǒng)與軌道子系統(tǒng)之間的耦合作用，是通過(guò)輪軌垂向接觸而實(shí)現(xiàn)的，具體表現(xiàn)為輪軌之間的垂向相互作用力［9］。而確定兩個(gè)彈性體（車輪和鋼軌）之間作用力的經(jīng)典有效的方法是Hertz非線性彈性接觸模型。故應(yīng)用Hertz非線性彈性接觸理論，可確定輪軌之間的垂向作用力［7］：

式中：G為輪軌接觸常數(shù)（m/N2/3）；δZ（t）為輪軌間的彈性壓縮量（m）。

輪軌間彈性壓縮量包括車輪靜壓縮量在內(nèi)，可由輪軌接觸點(diǎn)處車輪和鋼軌的位移確定：

其中：Zwj（t）為t時(shí)刻第j位車輪的位移（m）；Zr（xwj，t）為t時(shí)刻第j位車輪下軌道結(jié)構(gòu)位移（m）。

為了方便在頻域內(nèi)的求解，可將輪軌接觸彈簧簡(jiǎn)化為線性彈簧?？梢远xHertz接觸剛度［10］為

假定輪軌始終接觸，則式（17）在時(shí)域內(nèi)的表達(dá)可簡(jiǎn)化為

3 福州市地鐵振源加速度分析

3.1參數(shù)取值

依據(jù)《福州市地鐵1號(hào)線工程可行性研究報(bào)告-7車輛》和《福州市地鐵1號(hào)線工程可行性研究報(bào)告-12軌道》可知：福州地鐵使用B型地鐵列車，軌道參數(shù)如表1所示。

表1　地鐵軌道計(jì)算參數(shù)Tab.1 Design Conditions of Metro Track

福州地鐵大部擬采用DTⅥ2型扣件，其剛度和阻尼系數(shù)為

3.2垂向耦合系統(tǒng)隨機(jī)振動(dòng)加速度特征分析

根據(jù)前文介紹的垂向振動(dòng)理論，采用福州地鐵所使用的車廂參數(shù)和軌道參數(shù)，選用美國(guó)第六級(jí)軌道不平順功率譜。在80 km/h的車輛最高持續(xù)運(yùn)行速度下，根據(jù)功率譜求出頻譜的幅值和隨機(jī)相位，然后通過(guò)傅里葉逆變換（IFFT）得到軌道不平順的時(shí)域模擬樣本，參與計(jì)算后得到以下各振動(dòng)響應(yīng)時(shí)程曲線，而后通過(guò)傅里葉變換（FFT）得出與時(shí)域相對(duì)應(yīng)的頻域（頻譜）。時(shí)域內(nèi)分析加速度振級(jí)的變化，頻域內(nèi)分析加速度的頻率分布［11-12］。

由于考慮到鋼軌的計(jì)算范圍和車廂長(zhǎng)度的限制，在列車運(yùn)行1 s左右后各部分振動(dòng)才可以達(dá)到穩(wěn)定，因此在選擇了地鐵運(yùn)行1～10 s這一段相對(duì)穩(wěn)定的時(shí)間給出地鐵列車車體、構(gòu)架和輪對(duì)垂向加速度時(shí)域和頻譜曲線，如圖3～5；由于地鐵列車編組通過(guò)時(shí)，對(duì)于每個(gè)單位荷載，支承塊具有大致相同的加速度激勵(lì)反應(yīng)，為了凸顯加速度激勵(lì)過(guò)程，因此給出了單位荷載通過(guò)時(shí)的支承塊和道床振動(dòng)加速度的時(shí)域曲線，如圖6～7。

圖3　車體垂向加速度反應(yīng)曲線（80 km/h）Fig.3 Vertical acceleration response of carriages（80 km/ h）

圖4　轉(zhuǎn)向架垂向加速度反應(yīng)曲線（80 km/h）Fig.4 Vertical acceleration response of bogies（80 km/h）

從圖中可以得到以下結(jié)論：

（1）從圖3中看出，車體垂向振動(dòng)加速度最大值約為0.2 m/s2，通過(guò)時(shí)域轉(zhuǎn)化成頻譜分析，車體垂向振動(dòng)主頻峰值1.05 Hz，與車體的自振頻率相同。

（2）從圖4～5中看出，轉(zhuǎn)向架和輪對(duì)垂向振動(dòng)加速度最大值約為1.4和5.62 m/s2，兩者主頻集中分布在30 Hz左右，均以低頻振動(dòng)為主；在1 Hz左右兩者均存在一個(gè)低頻起跳處，是由于車體振動(dòng)激勵(lì)所引起的；轉(zhuǎn)向架高頻振動(dòng)不明顯，而輪對(duì)高頻振動(dòng)更為強(qiáng)烈，在高頻區(qū)（300～600 Hz）存在一個(gè)振動(dòng)的反彈區(qū)，這是由于輪軌高頻赫茲接觸運(yùn)動(dòng)引起的，

（3）從圖6中看出，混凝土支承塊在列車車廂通過(guò)時(shí)有強(qiáng)烈的豎向振動(dòng)，垂向振動(dòng)加速度最大值為1.56 m/s2，和輪對(duì)的垂向振動(dòng)加速度比，下降了2. 5倍，這說(shuō)明采用的DTⅥ2扣件具有較好的減振效果。通過(guò)頻譜分析，支承塊的振動(dòng)主頻集中在32～80 Hz之間，在250～500 Hz的高頻區(qū)段亦存在輪軌局部變形的赫茲接觸高頻振動(dòng)，1 Hz左右的低頻起跳區(qū)已經(jīng)消失，即車體振動(dòng)已經(jīng)被過(guò)濾。

（4）從圖7中看出，混凝土支承塊下方的道床延續(xù)了列車車廂通過(guò)時(shí)的豎向振動(dòng)，垂向振動(dòng)加速度最大值為1.31 m/s2，較支承塊垂向振動(dòng)加速度下降了15.0％，是由于具有一定的減振能力的塊下膠墊所致。通過(guò)頻譜分析，道床的振動(dòng)主頻集中在30～100 Hz，高頻區(qū)段不存在反彈區(qū)，應(yīng)當(dāng)是輪軌局部變形的赫茲接觸高頻振動(dòng)被塊下橡膠墊過(guò)濾所致。

圖5　輪對(duì)垂向加速度反應(yīng)曲線（80 km/h）Fig.5 Vertical Acceleration Response of Wheelset（80 km/h）

圖6　支承塊垂向加速度反應(yīng)曲線（80 km/h）Fig.6 Vertical Acceleration Response of Supporting Blocks（80 km/h）

圖7　道床垂向加速度反應(yīng)曲線（80 km/h）Fig.7 Vertical acceleration response of track Bed（80 km/h）

3.3地鐵列車車速影響分析

為了了解福州地鐵列車車速對(duì)各個(gè)部位垂向加速度的影響，在最高車速為80 km/h的限制下，文中選取了20，40，60 km/h和80 km/h四種車速，分別計(jì)算在車體、轉(zhuǎn)向架、輪對(duì)、支承塊和道床的垂向加速度最大值，計(jì)算的結(jié)果如圖8所示，為了凸顯輪軌扣件和塊下橡膠墊的減振效果，支承塊和道床的垂向加速度和減振效果如表2所示。

圖8　不同車速的垂向加速度最大值反應(yīng)曲線Fig.8 Maximum vertical acceleration under different speed

表2　支承塊和道床減振效果Tab.2 Damping effect of supporting blocks and track bed

（1）從圖8中看出，車體、轉(zhuǎn)向架、輪對(duì)、支承塊和道床的垂向加速度隨著地鐵列車車速的增加而增大，增加幅度逐漸變緩；輪對(duì)的垂向加速度最大，說(shuō)明在不同車速下，軌道扣件和塊下膠墊均具有較好的減振效果；車體的垂向加速度最小，且隨著車速增加幅度不明顯，說(shuō)明車體的減振能力較強(qiáng)，乘坐的舒適型能得到保證。

（2）從表2和圖8中看出，當(dāng)車速較低時(shí)（車速≤20 km/h），輪對(duì)和支承塊的垂向加速度基本一致，減振效果不明顯；隨著車速的提高，支承塊的垂向加速度較輪對(duì)有明顯的降低，扣件的減振效果逐漸提高，當(dāng)車速≥40 km/h后，減振效果穩(wěn)定在72％左右。

（3）從表2和圖8中看出，塊下膠墊在不同的車速下均有良好的減振效果，較低車速時(shí)，減振效果能達(dá)到50％左右；隨著車速增大，減振效果呈逐漸減小態(tài)勢(shì)，當(dāng)車速≥60 km/h后，減振效果穩(wěn)定在15％左右。

（4）從圖3～7及表2中看出，影響振源系統(tǒng)減振效果的關(guān)鍵參數(shù)為軌道扣件和塊下膠墊，隨著車速的增加，軌道扣件的減振效果逐漸增加，而塊下膠墊的減振效果逐漸減小，形成互補(bǔ)；若采用高彈性減振扣件（例如科隆蛋等）或優(yōu)化塊下膠墊的阻尼和剛度，減振效果會(huì)有一定幅度的提升空間。

4 結(jié) 論

1）車體垂向加速度頻譜反應(yīng)了車體的自振頻率；轉(zhuǎn)向架和輪對(duì)的低頻主頻集中在30 Hz左右，輪對(duì)在300～600 Hz的高頻區(qū)存在一個(gè)輪軌高頻赫茲接觸運(yùn)動(dòng)引起的第二主頻；混凝土支承塊由于軌道扣件的減振效果，垂向振動(dòng)加速度最大值較輪對(duì)下降了2.4倍，其振動(dòng)主頻集中在32～80 Hz和250～500 Hz，高頻區(qū)段亦存在輪軌局部變形的赫茲接觸高頻振動(dòng)；道床的振動(dòng)主頻集中在30～100 Hz之間，赫茲接觸高頻振動(dòng)已被濾過(guò)。

2）車體、轉(zhuǎn)向架、輪對(duì)、支承塊和道床的垂向加速度隨著地鐵列車車速的增加而增大，隨著車速的增長(zhǎng)，支承塊、道床的垂向加速度的減振效果逐漸穩(wěn)定在72％和15％左右。

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U260.11+1

10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2015.02.005

鄭國(guó)琛，男，1981年12月生，博士生，工程師。主要研究方向?yàn)榈罔F及結(jié)構(gòu)的減隔振控制。曾發(fā)表《福建省農(nóng)村民居抗震能力現(xiàn)狀調(diào)查與分析》《地震工程與工程振動(dòng)》2014年第34卷（第3期）等論文。

Email：44138911@qq.com

*國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（51108092）

2013-02-24；

2013-06-27