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    考慮開槽和高次諧波的永磁同步電機(jī)解析模型*

    2015-11-03 04:00:18馬琮淦左曙光
    振動、測試與診斷 2015年2期
    關(guān)鍵詞:永磁體同步電機(jī)氣隙

    馬琮淦, 左曙光, 孟 姝, 孫 慶

    (同濟(jì)大學(xué)新能源汽車工程中心 上海,201804)

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    考慮開槽和高次諧波的永磁同步電機(jī)解析模型*

    馬琮淦, 左曙光, 孟姝, 孫慶

    (同濟(jì)大學(xué)新能源汽車工程中心 上海,201804)

    永磁同步電機(jī)6i階(i∈N)轉(zhuǎn)矩波動是電機(jī)總成與電動車車身階次振動的主要振源。筆者提出了一種考慮定子開槽與高次諧波的永磁同步電機(jī)解析計(jì)算模型。建模過程基于瞬態(tài)氣隙磁場分布的計(jì)算。當(dāng)不考慮電流諧波時(shí),電磁轉(zhuǎn)矩具有6i階(i∈N)轉(zhuǎn)矩波動特性。最后,通過有限元計(jì)算驗(yàn)證了該解析計(jì)算結(jié)果。文中解析模型揭示了電動車用永磁同步電機(jī)轉(zhuǎn)矩波動非線性的形成機(jī)理。

    開槽;高次諧波;永磁同步電機(jī);電動車;解析模型

    引 言

    永磁同步電機(jī)(permanent magnet synchronous motors,簡稱PMSM)具有高功率密度和寬調(diào)速范圍,被廣泛應(yīng)用于電動汽車的直接驅(qū)動。然而,其6i階(i∈N)轉(zhuǎn)矩波動造成了電機(jī)總成和電動汽車車身的階次振動[1-2]。因此,研究永磁同步電機(jī)轉(zhuǎn)矩波動是十分必要的。

    當(dāng)假設(shè)電樞繞組中通入正弦電流時(shí),主要有兩種因素引起轉(zhuǎn)矩波動[3]:定子開槽和高次諧波。因此,在轉(zhuǎn)矩波動的計(jì)算中應(yīng)當(dāng)考慮定子開槽引起的磁導(dǎo)變化和由永磁體產(chǎn)生的高次諧波。對于轉(zhuǎn)矩波動的分析,Ree等[4]假設(shè)氣隙磁場已知,提出了一種研究表貼式和內(nèi)埋式永磁同步電機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩和電磁轉(zhuǎn)矩波動的方法;Takeo Ishikawa等[5-6]用有限元法分析了齒槽轉(zhuǎn)矩和電磁轉(zhuǎn)矩的總和;文獻(xiàn)[7]提出了一種考慮電磁飽和參數(shù)來減小轉(zhuǎn)矩波動的方法;文獻(xiàn)[8]采用了一種兩步設(shè)計(jì)過程,通過二維有限元分析減小轉(zhuǎn)矩波動;為避免冗長的有限元分析計(jì)算,文獻(xiàn)[9]提出了一種永磁電機(jī)解析建模方法;文獻(xiàn)[10]分析了兩種減小永磁同步電機(jī)伺服驅(qū)動轉(zhuǎn)矩波動的方法。然而,絕大多數(shù)永磁同步電機(jī)控制系統(tǒng)都是基于不考慮開槽、高次諧波的永磁同步電機(jī)線性模型,不能反映電動車用永磁同步電機(jī)轉(zhuǎn)矩波動非線性特性。

    為此,筆者提出了一種考慮定子開槽和高次諧波的永磁同步電機(jī)非線性解析模型。所獲得的轉(zhuǎn)矩波形與二維有限元分析計(jì)算的波形吻合,證明了本解析法的準(zhǔn)確性。

    1 考慮開槽的永磁體磁場分布

    本模型做了如下假設(shè):a.忽略電磁飽和、磁滯和渦流的影響,電機(jī)為線性的磁性條件;b.電機(jī)電流為對稱的三相正弦規(guī)律變化;c.定子開槽,槽是矩形或梯形。

    定子開槽會導(dǎo)致磁路中磁導(dǎo)的變化,磁導(dǎo)會影響永磁體磁場的分布。開槽磁導(dǎo)依賴于轉(zhuǎn)子位置,磁場波形也是隨著轉(zhuǎn)子位置變化的。為了獲得氣隙內(nèi)永磁體磁場分布,筆者采用了與文獻(xiàn)[11]中相似的方法。據(jù)文獻(xiàn)[11]作者的觀點(diǎn),氣隙內(nèi)永磁體徑向磁場分布可通過忽略定子開槽時(shí)永磁體磁場與氣隙開槽時(shí)相對磁導(dǎo)的乘積求得:

    其中:BPM-less(θ1)為不開槽定子的磁場分布函數(shù);α為轉(zhuǎn)子表面的角度;θ為轉(zhuǎn)子位移角;θ1為相對于轉(zhuǎn)子的角度;λ(α)為開槽氣隙區(qū)域的相對磁導(dǎo)函數(shù)。

    不開槽定子瞬態(tài)磁場分布函數(shù)BPM-less(θ1)的計(jì)算見文獻(xiàn)[12]。在極坐標(biāo)下通過求解氣隙磁場的泊松方程組,當(dāng)時(shí),氣隙內(nèi)永磁體徑向磁場分布為

    其中:Br為永磁體材料的剩磁,αp為極弧系數(shù);p為極對數(shù);Rm為永磁體圓弧半徑;Rr為轉(zhuǎn)子鐵心圓弧半徑;Rs為定子鐵心圓弧半徑;r=Rs+g/2;μr為永磁體相對磁導(dǎo)率;B2i-1為磁場第(2i-1)次諧波幅值。

    開槽以兩種方式影響磁場。首先,減少了每極磁通,通常通過引入卡特系數(shù)kc計(jì)算此效應(yīng)。其次,影響永磁體和氣隙內(nèi)的磁場分布。筆者采用文獻(xiàn)[11]中開槽氣隙區(qū)域的二維模型相對磁導(dǎo)函數(shù)λ(α)來計(jì)算,可推得:

    其中:y1為繞組節(jié)距;Qs為槽數(shù)。

    Λμ的推導(dǎo)如下:

    其中:b0為槽寬度。

    卡特系數(shù)kc近似為

    其中:g為氣隙長度,hm為永磁體厚度。

    β(r)可通過保角變換獲得:

    其中,各參數(shù)可通過如下方程確定:

    式(8)是一個(gè)包含對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和反三角函數(shù)的超越方程。筆者提出了通過牛頓下山法解此超越方程。首先假設(shè):

    其次,求得f(v)的導(dǎo)數(shù):

    根據(jù)牛頓下山法,式(8)的迭代解vk+1計(jì)算如下:

    因此,式(1)中氣隙內(nèi)永磁體徑向磁場分布的解析解如下:

    2 定子的總磁鏈

    根據(jù)電機(jī)學(xué),定子總磁鏈由兩個(gè)部分組成。一部分是永磁體磁場產(chǎn)生的磁鏈;另一部分是電樞磁

    場產(chǎn)生的磁鏈。可表示如下:

    其中:Ψtotal,dq為定子總磁鏈矩陣;Ψmagnet,dq為由永磁體磁場產(chǎn)生的磁鏈矩陣;Ψarmature,dq為電樞磁場產(chǎn)生的磁鏈矩陣。

    2.1永磁體磁場產(chǎn)生的磁鏈

    為計(jì)算永磁體磁場在a相繞組中的磁鏈,用到磁鏈標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算式:

    其中:ψ為磁鏈;B為磁場分布;s為面積。

    因此,永磁體磁場在a相繞組中產(chǎn)生的磁鏈為

    其中:ψm,a(θ)為永磁體磁場在a相中產(chǎn)生的磁鏈;kd(2i-1)為繞組第(2i-1)次諧波分布系數(shù);Nc為一相繞組串聯(lián)匝數(shù);αj為繞組節(jié)距角;ls為定子長度。

    假設(shè)[13]:

    其中:q為每極每相槽數(shù);m為相數(shù);b為一個(gè)整數(shù);c/d為一個(gè)不可約真分?jǐn)?shù)。

    因此,根據(jù)文獻(xiàn)[13],可得到適用于整數(shù)槽繞組和分?jǐn)?shù)槽繞組的第(2i-1)次諧波分布系數(shù)kd(2i-1):

    給出一相繞組串聯(lián)匝數(shù)Nc:其中:C1為繞組層數(shù);Nk為每槽每層導(dǎo)體數(shù);a1為并聯(lián)支路數(shù)。

    將式(21,22)代入式(17),得式(17)的解析解為

    其中:當(dāng)時(shí)(2i-1)p-μQs≠0時(shí),

    當(dāng)時(shí)(2i-1)p-μQs=0時(shí),

    因此,永磁體在a,b,c相中產(chǎn)生的磁鏈矩陣Ψm,abc為

    故,dq坐標(biāo)系下永磁體產(chǎn)生的磁鏈矩陣Ψmagnet,dq可通過Blondel-Park變換矩陣Tdq,abc求得:

    2.2電樞磁場產(chǎn)生的磁鏈

    電樞磁場產(chǎn)生的磁鏈矩陣Ψarmature,dq可由下式求得:

    其中:Ld為d軸電感;Lq為q軸電感;id為d軸電流;iq為q軸電流。

    假設(shè)相電流矩陣為

    其中:ia,ib,ic分別為a,b,c相電流;imax為電流幅值;φ為內(nèi)功率因數(shù)角。

    因此,可得id和iq:

    2.3定子總磁鏈

    定子總磁鏈可由永磁體磁場產(chǎn)生的磁鏈與電樞磁場產(chǎn)生的磁鏈求和求得。式(15)的解析解為

    其中:ψ1,ψ(6i-1)和ψ(6i+1)可由式(24,25)確定。

    3 計(jì)算電壓

    定子相電壓用矩陣的形式可表示為

    其中:rs為相電阻,ψabc為a,b,c相繞組的總磁鏈矩陣。

    注意到通過Blondel-Park變換矩陣Tdq,abc可以將相向量轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的dq坐標(biāo)系下的向量。因此,式(30)兩邊同時(shí)乘以Tdq,abc,可轉(zhuǎn)換為

    在一些繁復(fù)的推導(dǎo)后,式(33)可表達(dá)為

    其中:ωr為轉(zhuǎn)子電角速度。式(34)的解析解變?yōu)?/p>

    因此,可得感應(yīng)電動勢Edq:

    4 6i階轉(zhuǎn)矩波動計(jì)算與頻率分析

    4.16i階轉(zhuǎn)矩波動計(jì)算

    電磁功率Pem用矩陣形式可表達(dá)為

    可得電磁轉(zhuǎn)矩:

    其中:ωm為轉(zhuǎn)子機(jī)械角速度。

    電磁轉(zhuǎn)矩的解析解為

    機(jī)械運(yùn)動方程表達(dá)如下其中:J為轉(zhuǎn)子總的轉(zhuǎn)動慣量;TL為負(fù)載轉(zhuǎn)矩;B為摩擦系數(shù)。

    4.2波動頻率分析

    根據(jù)式(39),當(dāng)假設(shè)電樞繞組通入正弦電流時(shí),電磁轉(zhuǎn)矩波動由兩部分6i階波動項(xiàng)組成均由永磁體磁場諧波產(chǎn)生。因此,轉(zhuǎn)矩波動頻率為

    其中:nm為轉(zhuǎn)速;t為時(shí)間。

    結(jié)果表明:電磁轉(zhuǎn)矩具有6i階波動特性。這從理論上解釋了永磁同步電機(jī)總成和電動汽車車身的階次振動。在設(shè)計(jì)電動汽車時(shí),為避免共振,電機(jī)總成與車身的結(jié)構(gòu)模態(tài)頻率應(yīng)當(dāng)遠(yuǎn)離6i階轉(zhuǎn)矩波動頻率。因此,筆者為電動汽車的模態(tài)頻率規(guī)劃提供了理論基礎(chǔ)。

    5 永磁同步電機(jī)動態(tài)模型

    綜上所述,考慮定子開槽和高次諧波的永磁同步電機(jī)的動態(tài)模型可由以下3個(gè)方程表示:

    其中:當(dāng)(2i-1)p-μQs≠0時(shí),

    當(dāng)(2i-1)p-μQs=0時(shí),

    6 解析計(jì)算結(jié)果與有限元分析結(jié)果的比較

    筆者基于以上解析模型,編制計(jì)算機(jī)軟件[14],應(yīng)用該軟件對解析模型和有限元模型進(jìn)行了比較。計(jì)算實(shí)例選擇了用在電動車上的三相20極27槽雙層繞組永磁同步電機(jī)。該電機(jī)的主要參數(shù)見表1,電機(jī)模型見圖1。在計(jì)算前,運(yùn)用本解析模型可以預(yù)測轉(zhuǎn)矩諧波頻率為

    表1 計(jì)算實(shí)例電機(jī)的主要參數(shù)Tab.1 Main parameters of the prototype SPMSM

    圖1 計(jì)算實(shí)例電機(jī)橫截面Fig.1 Cross-section of the SPMSM

    圖2 氣隙磁密對比Fig.2 Comparison with FEA for permanent magnet field in the air gap

    解析模型和有限元法計(jì)算出的氣隙磁密如圖2所示,氣隙磁密諧波幅值如圖3所示。根據(jù)圖3,除了第17階的磁通諧波B17之外,解析模型結(jié)果能較好吻合有限元模型結(jié)果。根據(jù)式(24)和(25),上述差異會導(dǎo)致解析模型和有限元模型的17階磁鏈Ψ17存在差異。再根據(jù)式(39),其后果是:本解析模型與有限元模型中,第3階轉(zhuǎn)矩諧波Tem-3將存在一定的差異。

    圖3 氣隙磁密諧波階次特性對比Fig.3 Comparison with FEA for the amplitude-order characteristic of permanent magnet field in the air gap

    從圖4、圖5可以看出,除了第3階轉(zhuǎn)矩諧波之外,通過解析模型計(jì)算出的轉(zhuǎn)矩諧波頻率與幅值和用有限元方法計(jì)算出的結(jié)果基本一致。原因是解析模型與有限元模型的第17階磁密諧波計(jì)算差異造成的第17階磁鏈偏差。然而,第3階轉(zhuǎn)矩諧波比第1階轉(zhuǎn)矩諧波要小很多,因此,解析模型的精度仍舊較高。從上面的分析可以看出,該解析模型的準(zhǔn)確性主要取決于氣隙磁密的計(jì)算精度。

    圖4 轉(zhuǎn)矩波動對比Fig.4 Comparison with FEA for the torque ripple

    圖5 轉(zhuǎn)矩諧波幅頻特性對比Fig.5 Comparison with FEA for frequencies and amplitudes of torque harmonics

    7 結(jié)束語

    筆者提出了一種考慮定子開槽和高次諧波的永磁同步電機(jī)6i轉(zhuǎn)矩波動非線性解析模型。用這個(gè)解析模型,預(yù)測了6i階轉(zhuǎn)矩波動并分析了波動頻率。這從理論上解釋了電機(jī)總成與電動車車身階次振動的振源特性。

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    U461.4;TB533

    10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2015.02.001

    馬琮淦,男,1987年5月生,博士生。主要研究方向?yàn)槠囅到y(tǒng)動力學(xué)、機(jī)械結(jié)構(gòu)振動與噪聲控制。曾發(fā)表《聲子晶體與輪邊驅(qū)動電動汽車振動噪聲控制》(《材料導(dǎo)報(bào)》2011年第25卷第8期)等論文。

    E-mail:maconggan@163.com。

    簡介:左曙光,男,1967年6月生,博士、教授、博士生導(dǎo)師。主要研究方向?yàn)槠囅到y(tǒng)動力學(xué)、機(jī)械結(jié)構(gòu)振動與噪聲控制。曾發(fā)表“燃料電池轎車驅(qū)動電機(jī)懸置的優(yōu)化設(shè)計(jì)”(《振動、測試與診斷》2008年第28卷第1期)等論文。

    E-mail:sgzuo@#com。

    *國家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展計(jì)劃(973計(jì)劃)資助項(xiàng)目(2011CB711201);國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51075302)

    2013-01-17;

    2013-03-15

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