二維連續(xù)型隨機(jī)變量變換的概率分布*

陶 寶，袁德美

(重慶工商大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶400067)

設(shè)(X，Y)是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，聯(lián)合概率密度已知，若存在二元函數(shù)u=g(x，y)，稱U=g(X，Y)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X，Y)的函數(shù).文獻(xiàn)［1］和［2］討論了U=g(X，Y)的概率密度公式及計(jì)算.若還存在二元函數(shù)v=h(x，y)，稱)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量 (X，Y)的變換.如何求二維隨機(jī)變量(U，V)的聯(lián)合概率密度，文獻(xiàn)［3-5］進(jìn)行了簡(jiǎn)單的討論.基于文獻(xiàn)［5］此處研究了二維連續(xù)型隨機(jī)變量在平面R2上的一對(duì)一變換的概率分布，還研究了若平面R2被分成若干區(qū)域，分區(qū)域成一對(duì)一變換時(shí)的概率分布.

定理1 設(shè)(X，Y)的聯(lián)合概率密度為 fX，Y(x ，y)，變換

設(shè) U=g(X，Y)，V=h(X，Y)，則(U，V)的聯(lián)合概率密度為

證明 (U，V)的聯(lián)合分布函數(shù):

作積分變換(1)得

對(duì)式(2)兩邊關(guān)于s，t求二階混合偏導(dǎo)數(shù)，得 (U，V)的聯(lián)合概率密度(將s，t分別改為u，v)為

由定理1容易得到以下推論.

推論 1 設(shè)(X，Y)的聯(lián)合概率密度為 fX，Y(x，y)，若 U=aX+b，V=cY+d，其中 a，c為非零常數(shù)，則(U，V)的聯(lián)合概率密度為

定理1只考慮了整個(gè)平面R2上的一對(duì)一變換，若平面R2被分成若干區(qū)域，下面討論當(dāng)分區(qū)域成一對(duì)一變換時(shí)的變量變換法.

定理 2 設(shè)(X，Y)的聯(lián)合概率密度為 fX，Y(x，y)，A0，A1，A2，…，An是 R2的一個(gè)劃分，且 A0滿足 P((X，Y)∈A0)=0(A0可能是空集)，若變換

在每個(gè)區(qū)域Ai上有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且存在唯一的逆變換

證明 (U，V)的聯(lián)合分布函數(shù)

式(6)兩邊關(guān)于s，t求混合二階偏導(dǎo)，并將s，t分別改記為u，v，就得到式(4).注意，如果每個(gè)區(qū)域Ai上逆變換相同，那么B1，B2，…，Bn兩兩互不相交，從而定理2回到定理1.

關(guān)于相互獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量的和、差、積的概率分布，大學(xué)概率統(tǒng)計(jì)教材討論了很多，而相互獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量的商的概率分布可以利用定理2求得，下面只討論標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量的情形.

定理3 若隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立同標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記U=X/Y，則U服從柯西分布，即相互獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量之商是柯西隨機(jī)變量.

由于點(diǎn)(x，y)和(－x，－y)映射至同一點(diǎn)(u，v)，所以該變換不是一對(duì)一變換，而是多對(duì)一變換.

記 A0={(x，y):y=0}，A1={(x，y):y＞0}，A2={(x，y):y＜0}，顯然 A0，A1，A2是 R2的一個(gè)劃分，并且P((X，Y)∈A0)=P(Y=0)=0.

即U服從柯西分布.

［1］劉平兵.二維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的密度公式及計(jì)算［J］.數(shù)學(xué)理論與應(yīng)用，2005，25(4):94-96

［2］袁德美，安軍，陶寶.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)［M］.北京:高等教育出版社，2011

［3］張洪川，盛克敏，馬麗瓊.一維與二維連續(xù)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布［J］.西南民族大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2005，31(6):995-997

［4］余本國(guó).一般二維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)分布的討論［J］.華北工學(xué)院學(xué)報(bào)，2004，25(2):94-96

［5］茆詩(shī)松，程依明，濮曉龍.概率論與與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程［M］.北京:高等教育出版社，2011