偶數(shù)階巴特沃斯高通濾波器優(yōu)化設(shè)計與仿真

張　露，林開武

( 1．銅陵職業(yè)技術(shù)學(xué)院電氣工程系，安徽銅陵244000; 2．銅陵有色股份銅冠信息科技有限責(zé)任公司，安徽銅陵244000)

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偶數(shù)階巴特沃斯高通濾波器優(yōu)化設(shè)計與仿真

張露1，林開武2

( 1．銅陵職業(yè)技術(shù)學(xué)院電氣工程系，安徽銅陵244000; 2．銅陵有色股份銅冠信息科技有限責(zé)任公司，安徽銅陵244000)

摘要:對二階壓控電壓源巴特沃斯高通濾波器的設(shè)計進(jìn)行了理論推導(dǎo)，給出了通用表達(dá)式，并在此基礎(chǔ)上設(shè)計了四階單位增益的高通濾波器;通過Multisim 10仿真軟件對設(shè)計的高通濾波器進(jìn)行了仿真，研究了電路中電容間容值的不同比值k對設(shè)計的高通濾波器幅頻特性的影響，指出不同位置電阻、電容的變化對濾波器特性的影響不同，為不同位置的電阻、電容精度的選擇提供依據(jù)，由此指導(dǎo)偶數(shù)階巴特沃斯高通濾波器的設(shè)計．

關(guān)鍵詞:巴特沃斯;高通濾波器;偶數(shù)階;單位增益

濾波器根據(jù)濾波范圍可將其分為低通、高通、帶通與帶阻4種濾波器，實際使用中只能逼近理想特性．常用的逼近方法有巴特沃斯響應(yīng)和切比雪夫響應(yīng)等［1］，巴特沃斯高通濾波器因具有通帶內(nèi)幅頻響應(yīng)平坦而被廣泛使用，其常見的電路形式主要有無限增益多路反饋式和壓控電壓源式［2］．目前，壓控電壓源式高通濾波器的設(shè)計主要有查表法［3，4］、圖示法［5］和計算法［6］等，但這些方法都存在一些不足，比如有些設(shè)計是先確定電阻，再匹配電容［6］，但特定電容難找，訂制時間長、成本高，且電容精度也較電阻難以保證;一些查表法、圖示法和一些計算法沒有給出必要的理論根據(jù)和計算通式，使用者難以采用［7］．文獻(xiàn)［2］針對上述問題提出了二階壓控電壓源巴特沃斯高通濾波器的優(yōu)化設(shè)計方法，但并未提及二階以上的偶數(shù)階巴特沃斯高通濾波器的優(yōu)化設(shè)計，此處在此基礎(chǔ)上并借鑒文獻(xiàn)［8］，以四階高通濾波器設(shè)計為例說明二階以上偶數(shù)階巴特沃斯高通濾波器的設(shè)計．

1二階高通濾波器設(shè)計

偶數(shù)階高通濾波器可以由二階高通濾波器通過級聯(lián)的方式獲得，所以二階濾波器是設(shè)計高于二階的偶數(shù)階濾波器的基礎(chǔ)．常用的二階高通濾波器的電路形式如圖1所示．

根據(jù)文獻(xiàn)［2］，由圖1可知其傳遞函數(shù)為

圖1二階高通濾波器電路

其中，

二階歸一化高通濾波器傳遞函數(shù)為

假設(shè)電容C1，C2成比例關(guān)系，即C1=kC2，由式( 4) ( 5) ( 6)得到關(guān)系式

式( 7)是關(guān)于R2的二次方程，因為R2是電阻，有實數(shù)，另，k，0，C2均大于0，AF≥1，所以

因此可解得

同理可得

由上述推倒過程可知，若知道電容C1，C2的值，便可根據(jù)( 9) ( 10)式選定R1，R2的值，尤其是單位增益的高通濾波器，因為此時AF=1，即當(dāng)Rr≥Rf，可近似滿足要求．另外為運放負(fù)端提供地回路，同時補(bǔ)償運放失調(diào)，此時Rf‖Rr=R2，又因Rr≥Rf，所以Rf≈R2．這樣二階高通濾波器中的所有電阻、電容都一一確定了．

2四階單位增益巴特沃斯高通濾波器的優(yōu)化設(shè)計

四階巴特沃斯高通濾波器由兩個二階巴特沃斯高通濾波器級聯(lián)得到，且在實際使用中，特別是有關(guān)信號分析的應(yīng)用中經(jīng)常使用的是通帶內(nèi)放大倍數(shù)穩(wěn)定為1的單位增益巴特沃斯高通濾波器［2］，所以以單位增益高通濾波器設(shè)計為例，即AF=1，如果要設(shè)計放大倍數(shù)大于1的高通濾波器，只需改變Rf與Rr的比值就可以了．由此式( 7)變?yōu)椋璳0R2C2+( 1+k)=0，可得

將式( 11)式帶入到式( 6)可得

設(shè)計實例:設(shè)計四階壓控電壓源單位增益巴特沃斯高通濾波器，截止頻率為100 kHz，增益G=1，電路仿真圖如圖2所示:

圖2仿真電路

當(dāng)k=1時，對應(yīng)不同C1值分別為0．1 nF，1 nF，2．2 nF和10 nF時，電路中其他元件參數(shù)如表1所示:

表1　 k=1時不同電容值對應(yīng)的電阻值

不同C1下該濾波器的幅頻特性曲線如圖3所示．由圖3可知，當(dāng)k值為1，取不同的電容值時，得到的濾波器幅頻特性基本重合，即電容的改變對此種情況下的濾波器影響幾乎沒有．并且由這種取值得到的四階巴特沃斯高通濾波器具有較理想的幅頻特性．

3不同k情況下的幅頻特性

上述的取值方法最簡單，并且電容值的變化對濾波器的幅頻特性也幾乎沒有影響，另外電容C1=C2= C3=C4，電容元件的規(guī)格就一種，訂貨和裝配都比較方便，成本也可以降低．但這種取值的幅頻特性曲線是不是最好的一種，還需研究．取兩級k值相同，不同k值對應(yīng)的電阻、電容如表2所示．

表2不同k時電路中其他電阻取值

R3，R7阻值很大，均取值為1 MΩ，R2=R4，R6=R8，這樣仿真電路中的所有元器件的參數(shù)均已獲得，得到的幅頻特性如圖4所示．

圖3 k=1時不同電容下的幅頻特性

圖4不同k值下的幅頻特性

由圖4可知，k的取值大于1時幅頻特性曲線變得平坦，而且k值越大越平坦，截止頻率越大，選頻特性越差．當(dāng)k的取值小于1時，幅頻特性變得陡峭，但是截止頻率變小，隨著k的取值越小，曲線越陡峭，截止頻率越小，也越不符合設(shè)計截止頻率為100 kHz的要求．只有當(dāng)k的取值為1時最理想，最符合要求．由此可推廣為設(shè)計高于二階的偶數(shù)階高通濾波器時，每個二階濾波器的k值應(yīng)均取值為1．

4元件數(shù)值變化對幅頻特性的影響

為了突出電路中各元件數(shù)值變化對設(shè)計的高通濾波器幅頻特性的影響，考察電路中各電容、電阻按+20%和－20%變化的情況．由于電阻R3，R7為大值電阻，這里不考慮這兩個電阻阻值的變化，并且所有取值是在k為1時所得．得到的幅頻特性曲線如圖5，圖6所示．

圖5各電容值減小20%

圖6各電容值增加20%

由圖5和圖6可知，當(dāng)電容值減小和增加時，其幅頻特性曲線較好，只是電容C3，C4值減小20%和C1，C2增加20%時其增益略小于1，其他兩種情況電容值的變化對幅頻特性的影響很小，所以在選擇電容時應(yīng)注意電容值的變化方向，即比標(biāo)準(zhǔn)所需值增大還是減?。?/p>

由圖7可知，當(dāng)電路中的電阻減小時，其幅頻特性的增益都減小，并且R6的影響最大，此時增益已經(jīng)減小到0．75左右．而由圖8可知，當(dāng)電阻阻值增加時，幅頻特性較好，增益也維持在1附近，同樣只是R6增加時影響最大，所以在選擇電阻時，要特別注意R6，選擇精度高的電阻．其他電阻的選擇應(yīng)向電阻值變大的方向選擇，以減少由于電阻的變化對設(shè)計的高通濾波器性能的影響．

圖7各電阻值減小20%

圖8各電阻值增加20%

5　結(jié)束語

將高于二階的偶數(shù)階高通濾波器優(yōu)化設(shè)計歸結(jié)為n個二階高通濾波器的優(yōu)化設(shè)計方案，不僅計算簡單、元件規(guī)格少、成本低，且具有穩(wěn)定的優(yōu)點．此處設(shè)計了一個四階單位增益巴特沃斯高通濾波器，通過Multisim 10對設(shè)計的濾波器進(jìn)行了仿真，研究了不同k值情況下的濾波器幅頻特性，還仿真分析了電路中電阻、電容值的變化對高通濾波器幅頻特性的影響，發(fā)現(xiàn)電阻變化對性能影響較電容明顯，所以在元器件選擇時需要注意．該方法對偶數(shù)階高通濾波器的實際應(yīng)用具有一定的參考價值．

參考文獻(xiàn):

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［8］林開司，張露．巴特沃斯低通濾波器優(yōu)化設(shè)計與仿真研究［J］．重慶工商大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，2014，31( 6) : 58-62

Optimal Design and Simulation of Even-order Butterworth High-pass Filter

ZHANG Lu1，LIN Kai-wu2

( 1．Department of Electrical Engineering，Tongling Vocation and Technical College，Tongling 244000，China; 2．Tongling Nonferrous Tongguan Information and Technology Company Limited，Tongling 244000，China)

Abstract:The design of Butterworth high-pass filter of second-order voltage-controlled voltage source is derived theoretically and a common expression is given．On the basis of the design the forth order unity-gain low-pass filter is designed．The high-pass filter is simulated by Multisim10 simulation software．Influence of the ratio k between the capacitance in the circuit on amplitude-frequency characteristics of the high-pass filter is studied．It is indicated that changes of resistance and capacitance in different positions influence filter’s characteristics differently．

That is a basis for precision selection of resistors and capacitors in different positions to guide the design of even-order Butterworth high-pass filter．

Key words:Butterworth; high-pass filter; even-order; unity-gain

作者簡介:張露( 1983-)，女，廣西桂平人，講師，碩士，從事電子測控技術(shù)、數(shù)字圖像處理技術(shù)研究．

*基金項目:安徽省高等學(xué)校省級自然科學(xué)研究項目( KJ2011B187)．

收稿日期:2014-08-30;修回日期: 2014-10-10．

doi:10．16055/j．issn．1672－058X．2015．0005．0021

中圖分類號:TN713．4

文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A

文章編號:1672－058X( 2015) 05－0089－05