復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上帶有傳播媒介的SICRS模型研究?

徐璽翔，覃錫忠，洪麗平，傅云瑾

(1.新疆大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，新疆 烏魯木齊830046；2.中國移動通信集團新疆有限公司 新疆 烏魯木齊830063)

0 引言

微博上的虛假信息和謠言等通過因特網(wǎng)進(jìn)行傳播，不僅阻礙著人類社會的網(wǎng)絡(luò)化發(fā)展進(jìn)程，并且對我們社會穩(wěn)定發(fā)展造成很大的影響[1].因此，通過將謠言等在因特網(wǎng)上的擴散過程的具體模型抽象為傳染病在社會群體中的傳播規(guī)律的研究，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)并且設(shè)計出有效的預(yù)防與控制策略對傳染病動力學(xué)領(lǐng)域的研究的工作具有重要的應(yīng)用價值和理論意義[2].

人們研究社會網(wǎng)絡(luò)的主要原因之一是疾病的傳播同謠言在社會網(wǎng)絡(luò)上的傳播特性相似，可以借助對流行病在人群中傳播現(xiàn)象研究謠言在社會網(wǎng)絡(luò)中傳播問題[3].傳染病模型最早于1927年由Kermark和Mekendrick提出；由只考慮單一情況的SI、SIS、SIR模型發(fā)展成考慮多種因素的不同模型[4?6].在考慮存在免疫情況的SIRS傳播模型中，感染個體(I)為傳染的源頭，它通過概率α將傳染病傳染給易感個體(S)；同時，感染個體本身以概率β得以治愈成為暫時具有免疫能力的移除個體(R)[7?8]；處于移除狀態(tài)的個體會以概率γ失去免疫力[9]；該模型中節(jié)點的狀態(tài)可對應(yīng)謠言傳播中的不同種群，S對應(yīng)普通用戶，I對應(yīng)謠言傳播者，R對應(yīng)謠言免疫用戶.陳靜等[10]提出了SICRS模型，該模型提出介于R和I狀態(tài)之間的一個過渡狀態(tài)(C)，而C可以看作被淹沒的微博用戶.現(xiàn)實生活中，謠言不僅能夠通過人與人接觸傳播，還會通過小報、廣播等傳播媒介傳播[11?14].文獻(xiàn)[12]把個體與傳播媒介放在同一網(wǎng)絡(luò)上，建立了帶傳播媒介的SIS模型，得出了傳播媒介不能改變流行病的感染程度，但能夠促進(jìn)流行病傳播等結(jié)論；夏承遺等[15]提出一個帶有直接免疫的SIRS類傳染模型,得出了直接免疫作用可以增大疾病在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上傳播的臨界閾值、降低傳染性疾病的傳播范圍；萬青松等[16]提出一個新的SIRS類傳染病模型，即帶有直接免疫和傳染媒介的SIRS模型.

本文結(jié)合以上兩種因素，提出一類復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上考慮傳播媒介的SICRS模型，并討論該模型的傳播動力學(xué)行為.模型的提出不僅有助于研究謠言等在網(wǎng)絡(luò)中的傳播和控制，也為研究帶有傳播媒介的傳播模型時如何提出高效可行的免疫策略提供了新思路.

1 帶有傳播媒介的SICRS模型的建立

在SICRS模型中，一方面謠言不僅會通過個體之間傳播，還會通過傳播媒介進(jìn)行擴散；另一方面，在現(xiàn)實生活中，存在這樣一種情況，謠言在被轉(zhuǎn)發(fā)初期具有傳播能力，而經(jīng)過一段時間會被其它微博覆蓋成為被淹沒的消息而不再具有傳播能力，并且后期還可能存在再次轉(zhuǎn)發(fā)謠言而重新具備傳播能力的可能.

在每個事件步，普通用戶(S)轉(zhuǎn)變?yōu)橹{言傳播者(I)不僅是因為與謠言傳播者接觸的原因，還可以是因為與謠言傳播媒介的接觸所導(dǎo)致，同時也有可能是因為類似不相信謠言而直接轉(zhuǎn)化為謠言免疫用戶(R)，并具有暫時的免疫力；謠言傳播者會轉(zhuǎn)化為失去傳播能力但是還未具備免疫力的被淹沒用戶(C)；被淹沒用戶此時還沒有完全免疫，也不能再向其它個體傳播謠言，在被淹沒狀態(tài)的個體以一定概率轉(zhuǎn)化到完全謠言免疫狀態(tài)，即獲得暫時免疫力；對于謠言免疫用戶而言，因為失去免疫力，而以一定概率向普通用戶轉(zhuǎn)化；普通媒介(SV)因為接觸謠言傳播者，從而轉(zhuǎn)化為謠言傳播媒介(IV)，而普通用戶會因與謠言傳播媒介的接觸而傳播謠言；謠言傳播媒介同時會以一定的概率轉(zhuǎn)化為普通媒介.同時熱門微博話題以及報紙、電視、雜志等對應(yīng)普通媒介SV和謠言傳播媒介IV，那么本文提出的模型就可以用來描述微博上謠言的擴散過程.模型的傳播機制如圖1所示，圖中S、I、C、R分別表示普通用戶、謠言傳播者、被淹沒用戶、謠言免疫用戶，IV、SV分別表示謠言傳播媒介和普通媒介.

圖1 考慮傳播媒介的SICRS模型傳播機制

根據(jù)上述的描述，引入平均場理論后可以建立下列微分方程模型(模型的背景參考均勻網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行描述).圖1中S(t)為種群中普通用戶的數(shù)量、I(t)為種群中謠言傳播者的數(shù)量、C(t)為種群中處于被淹沒狀態(tài)的被淹沒用戶數(shù)、R(t)為種群中處于免疫狀態(tài)的謠言免疫用戶數(shù)、V(t)為種群環(huán)境中處于謠言傳播狀態(tài)的媒介的密度.用λ表示普通用戶同謠言傳播者接觸時的有效傳播率，取λ=λ/γ，其中γ為謠言傳播者向被淹沒狀態(tài)轉(zhuǎn)化的概率，令γ=1(本做法只會對演化時間的尺度造成改變)；α表示普通用戶直接轉(zhuǎn)化為謠言免疫用戶的直接免疫率；δ表示謠言免疫用戶失去免疫力的概率；μ為被淹沒用戶轉(zhuǎn)化為謠言免疫用戶的概率；f為接觸傳播媒介時普通用戶的傳播率；d表示普通媒介接觸謠言傳播者時的傳播率.總用戶為N(t)=S(t)+I(t)+C(t)+R(t)，可以認(rèn)為總用戶N(t)是一個常數(shù)，因此可以假設(shè)N(t)=1，即S(t)+I(t)+C(t)+R(t)=1.

2 模型分析

2.1 均勻網(wǎng)絡(luò)情形

首先我們考慮均勻網(wǎng)絡(luò)情形，均勻網(wǎng)絡(luò)的特點是網(wǎng)絡(luò)節(jié)點的度都為，即每個處于網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點的度近似等于網(wǎng)絡(luò)的平均度，.提出兩個便于研究本模型的假設(shè)：1、均勻混合假設(shè)；2、為避免考慮新用戶的注冊賬號和老用戶注銷賬號，假設(shè)用戶的在網(wǎng)周期遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于謠言傳播的時間尺度.

我們定義有效傳播率為，仍假設(shè)γ=1.在均勻網(wǎng)絡(luò)中存在一個正的傳播閾值λc，如果傳播閾值λc小于有效傳播率λ，謠言將在整個網(wǎng)絡(luò)中傳播并最終使謠言傳播者穩(wěn)定在某一平衡狀態(tài)，這個狀態(tài)也可以稱為地方玻?此處可以理解為謠言會一直存在；如果有效傳播率λ小于傳播閾值λc，那么謠言無法大范圍傳播，且處于謠言傳播狀態(tài)的個體數(shù)量會按照指數(shù)衰減，也就是說在這種情況下，謠言最后會消失.

根據(jù)條件S(t)+I(t)+C(t)+R(t)=1，式(1)轉(zhuǎn)化為如下形式：

證明如下：

簡化式(2)可得方程:

參數(shù)具體數(shù)值如下：

2.2 非均勻網(wǎng)絡(luò)情形

在非均勻網(wǎng)絡(luò)中，無論謠言的傳播性是多么弱，其仍然能夠爆發(fā)并且持續(xù)的存在.非均勻的網(wǎng)絡(luò)特點是一個隨機選取的節(jié)點傾向于同關(guān)鍵節(jié)點或度大的節(jié)點連接，即其度分布滿足冪律分布.因此度大的節(jié)點就較易被感染，然后作為傳播節(jié)點去感染其它節(jié)點，從而導(dǎo)致謠言傳播速度比均勻網(wǎng)絡(luò)上更快.記SK(t)、IK(t)、CK(t)、RK(t)分別為t時刻普通、謠言傳播、被淹沒、謠言免疫狀態(tài)在度為k的所有節(jié)點中的比例，即SK(t)+IK(t)+C(t)+RK(t)=1.從而可以建立如下方程:

令方程(7)右邊等于0，那么有，

將式(8)、式(10)和式(11)帶入式(9)

其中

那么有：

由于Θ(∞)=0是式(15)的平凡解，且F(Θ(∞))是關(guān)于Θ(∞)的連續(xù)、可微上凸函數(shù)，從而式(13)存在非平凡解0<Θ(∞)≤1當(dāng)且僅當(dāng)：

那么有

3 仿真與分析

以均勻網(wǎng)絡(luò)模型進(jìn)行模擬，研究本文中模型傳播時臨界閾值的特性并驗證上述基于平均場理論分析的正確性.

仿真中，網(wǎng)絡(luò)規(guī)模N=10000，平均度=8，直接免疫率α=0.15，免疫力喪失率δ=0.2，普通用戶接觸傳播媒介時的傳播率f=0.15，謠言傳播者接觸普通媒介時的傳播率d=0.25，謠言傳播者轉(zhuǎn)化為謠言免疫用戶的概率μ=0.5，t=0時， 網(wǎng)絡(luò)中I(t)、R(t)、C(t)和V(t)初始狀態(tài)為0.2，0.25,0.2和0.15.

首先取λ>λc進(jìn)行仿真分析.

λ=0.35時，λ>λc，仿真結(jié)果如圖2所示.

圖2 λ>λc時，I(t)、C(t)、R(t)和V(t)變化曲線

從圖2可看出:當(dāng)有效傳播率大于傳播閾值時，謠言傳播者密度先有一個較快的下降，然后緩慢上升，之后趨于平穩(wěn)并穩(wěn)定在某一個接近于零的穩(wěn)定值.被淹沒用戶密度先有一個較快的上升，接著是一個較快的下降，最終穩(wěn)定與一個接近于零的值.謠言免疫用戶的密度開始上升較快，之后上升速度逐漸放緩，并最終穩(wěn)定于某一個較大的值.謠言傳播媒介密度有一個較快的下降，之后保持平穩(wěn)并趨于一個接近于零的穩(wěn)定值.可見在這種情形下，謠言、謠言傳播者和謠言傳播媒介并沒有隨時間的推移而消失.謠言不會消失.

取λ<λc進(jìn)行仿真分析.

λ=0.15時，λ<λc，仿真結(jié)果如圖3所示.

圖3 λ<λc時，I(t)、C(t)、R(t)和V(t)變化曲線

圖4 傳播閾值λc與傳播媒介系數(shù)d和f的關(guān)系

從圖3中可看出:當(dāng)傳播閾值大于有效傳播率時，謠言傳播媒介密度和謠言傳播者密度均會在傳播開始后呈現(xiàn)出下降較快的趨勢，并最終趨于零.被淹沒用戶密度先有一個較快的上升，接著是一個較快的下降，最終穩(wěn)定與一個接近于零的值.謠言免疫用戶的密度，先是有一個較快的上升的過程，然后緩慢下降，并趨于某一個穩(wěn)定值.說明在此種情形下，隨著時間的推移，謠言、謠言傳播者和謠言傳播媒介最終會消失，即有效傳播率較小時，謠言最終會消失.

感染媒介系數(shù)d和f與傳播閾值λc的關(guān)系.根據(jù)再將仿真時各個參數(shù)的數(shù)值代入，可得f和d對λc的影響如圖4所示.

從圖4中可看出，傳播媒介的存在會使傳播閾值下降，df與傳播閾值λc成反比關(guān)系.λc值會隨著df值的增加而降低.當(dāng)df=0，即不考慮傳播媒介的作用時，可得:λc=0.219.而當(dāng)考慮傳播媒介的影響時，如df=0.5時，λc=0.156.可見傳播媒介的存在會導(dǎo)致疾病的加速傳播，即正確的使用如公共媒體的媒介可以有效的遏制謠言的傳播；反之，則會加速謠言在網(wǎng)絡(luò)上的傳播.

4 結(jié)束語

本文綜合考慮實際情況下謠言會通過傳播媒介進(jìn)行擴散且傳播過程中個體言論還存在被淹沒的特性，改進(jìn)了SIS以及SIR模型，并提出考慮傳播媒介的SICRS模型.研究并且仿真了SICRS傳播模型在均勻網(wǎng)絡(luò)上的傳播規(guī)律以及不同參數(shù)在非均勻網(wǎng)絡(luò)中對傳播閾值的影響.實驗結(jié)果表明：在均勻網(wǎng)絡(luò)中，當(dāng)λ<λc時，謠言信息將會消失.當(dāng)λ>λc時，經(jīng)過一段時間的傳播后，謠言會存在于一小部分用戶中；另外在均勻網(wǎng)絡(luò)中引入傳播媒介后會加速謠言的傳播，即正確的使用公共媒體可以減慢甚至阻止謠言的傳播，而對于度不相關(guān)網(wǎng)絡(luò)而言，在考慮極限情況下，傳播閾值也趨于零.這一結(jié)果與經(jīng)典結(jié)果相似.模型中的各個狀態(tài)可以抽象為網(wǎng)絡(luò)中處于不同狀態(tài)的微博用戶，傳播媒介也有相對應(yīng)的媒體，因此模型的提出不僅有助于研究謠言等在網(wǎng)絡(luò)中的傳播和控制，也為研究帶有傳播媒介的傳播模型時如何提出高效可行的免疫策略提供了新思路.