一道“偽拋物線”考題的思路解析與命題導向

☉江蘇省蘇州市高新區(qū)實驗初級中學李樹平

一道“偽拋物線”考題的思路解析與命題導向

☉江蘇省蘇州市高新區(qū)實驗初級中學李樹平

近讀《中學數(shù)學》（下）2015年第5期，陳海宏老師在文1中從一道“偽坐標系”考題說起，列舉了不少“坐標系搭臺，平面幾何唱戲”的考題，筆者十分欣賞作者的成文視角，并鏈接式閱讀了文1中提及的“參考文獻”（見文2～6），也感動于《中學數(shù)學》近一段時間密集刊發(fā)命題商榷文章，這對當前命題過程中的跟風、迎合、抄襲等不良現(xiàn)象起到有效的批判，也促進了有命題興趣的同行深入研討命題.作為一種實踐跟進，本文以近期關注到的蘇州市某區(qū)一道中考模擬卷的把關題為例，給出思路解析并給出命題商榷，就教于大家.

一、?？碱}解析與解后反思

?？碱}（2015年蘇州市某區(qū)中考模擬卷第29題）如圖1，拋物線10與x軸的一個交點為A，與y軸的交點為B.過點B作BC//x軸，交拋物線于點C，連接AC.動點P、Q分別從O、C兩點同時出發(fā)，動點P以每秒4個單位的速度沿OA向終點A移動，動點Q以每秒1個單位的速度沿CB向點B移動，當點P停止運動時，點Q也同時停止運動.線段PQ與OC的交點為D，過點D作DE//x軸，交AC于點E，射線QE交x軸于點F.設點P、Q移動的時間為t（單位：秒）.

（1）直接寫出點A、B的坐標.

（2）在點P、Q移動的過程中.

①當四邊形CEDQ為平行四邊形時，求出t的值；

②當△PQF為等腰三角形時，求出t的值.

圖1

思路簡析：（1）A（18，0），B（0，-10）.

（2）①容易發(fā)現(xiàn)四邊形CAPQ和四邊形CEDQ都是平行四邊形，此時有PA=QC=DE.由PA=18-4t，QC=t，可得方程18-4t=t，解得，問題獲解.

因為△QDC∽△PDO，△QEC∽△FEA，所以QC PO=，所以PO=FA，所以PF= PA+FA=PA+PO=OA=18.（注意：求出PF的值為定值是很關鍵的，這涉及后續(xù)用含t的式子表示其他線段）

圖2

因為QC=t，PO=4t，PF=18，QG=10，所以在Rt△PQG和Rt△FQG中，有PQ2=PG2+GQ2=（4t-8+t）2+102=（5t-8）2+ 102；FQ2=FG2+GQ2=（18+4t-8+t）2+102=（5t+10）2+102.（注意：這里的運算量較大，而且線段PQ、FQ的平方不宜匆忙展開，將影響后面所列一元二次方程的簡化求解）

解后反思：排除無關信息或線條的干擾，可以將“?？碱}”的圖1重新畫成圖3，就是在直角梯形AOBC中，BC=8，OB=10，OA=18，其余運動方式及生成圖形同“?？碱}”表述.

圖3

這時是否發(fā)現(xiàn)“?？碱}”題干中那條拋物線沒有了！可憐的拋物線雖然出現(xiàn)在題干中，然而卻過早的“死去”，整個問題的難點設計只是在一個幾何題上.想來，將這類問題稱之為“偽拋物線”問題應該是恰當?shù)?

二、?？碱}溯源

作為一個有著多年畢業(yè)班教學經(jīng)歷的筆者，在獨立演算“?？碱}”之后，總是有“似曾相識燕歸來”的感覺，辦公室同事用手機拍題軟件迅速檢索到幾十道同類考題，在百度上也很方便地就檢索出大量同類考題，不妨列舉幾個有代表性的高度相似題：

例1（2009年湖南省懷化市中考題）如圖4，在直角梯形OABC中，OA//CB，A、B兩點的坐標分別為（15，0），（10，12），動點P、Q分別從O、B兩點出發(fā)，……（限于篇幅，略去部分運動的題干描述）設動點P、Q運動時間為t（單位：秒）.

（1）當t為何值時，四邊形PABQ是等腰梯形，請寫出推理過程；

（2）當t=2秒時，求梯形OFBC的面積；

（3）當t為何值時，△PQF是等腰三角形？請寫出推理過程.

圖4

例2（2010～2011學年廣東省珠海一中高三（下）第一次調(diào)研數(shù)學試卷（理科）第17題）題干、圖形及標注字母與“模考題”完全相同.設問如下：

（1）求A，B，C三點的坐標和拋物線的頂點坐標.

（2）當t為何值時，四邊形PQCA為平行四邊形？請寫出計算過程.

（4）當t為何值時，△PQF為等腰三角形？請寫出解答過程.

例3 （2012年湖北省谷城縣中考適應性考試第26題）題干、圖形及標注字母與“?？碱}”完全相同.設問如下：

（1）（2）同“例2”；（3）同“例2”第（4）問.

三、命題導向之思

通過上面的解析、反思與溯源，不難發(fā)現(xiàn)，“?？碱}”只是一道復制后簡單改變設問的“拿來主義”，并不是一道有原創(chuàng)或深度改編的把關題，結(jié)合考題溯源，早在2009年中考卷就曾有類似的動態(tài)幾何問題出現(xiàn)，而到了一份高三模擬卷中，卻融入所謂的拋物線背景，拼湊式試題出現(xiàn)了，接著在2012年湖北省谷城縣繼續(xù)傳播這類考題，時光到了2015年，經(jīng)濟發(fā)達的蘇州市某區(qū)在中考模擬考卷的最后一題，仍然在傳播.以下再圍繞這道“?？碱}”給出兩點命題導向之思考.

1.重視地區(qū)?？济}，指明復習備考方向

我們知道，地級市中考統(tǒng)一命題是當下的主流形式，然而作為應考的一種專業(yè)指導，地級市所轄的縣區(qū)常常在中考前兩個月左右會組織相應的高仿真模擬考試，根據(jù)這樣的模考，廣大備考師生會重新思考自己的復習策略.所以各縣區(qū)中考模考命題工作就顯得十分重要，務必為廣大備考師生指明復習備考方向，真正診斷出考生的問題，查漏補缺，既要重視課標的剛性要求，又要貼近本地區(qū)的中考試題風格.切記不能直接拿來，復制粘貼或者簡單改編（像上文中“模考題”這樣的圖形、字母、數(shù)據(jù)都不改動，而且還是6年前就曾有過的中考原題），這樣下來，只會把廣大備考師生引向題海，多做、多練就會碰到原題、高仿題或同類題，復習備考的導向走偏已不可避免.

2.思辨?zhèn)巫鴺讼祮栴}，追求題干充滿活力

就“?？碱}”來說，所謂的拋物線只是為了給出幾個點的坐標，其余問題探究則與拋物線無關，只是在繁雜線條上增加了干擾，這種拼湊式的命題取向已被很多有識之士批判多次.因為無論從數(shù)學的本質(zhì)追求簡潔（比如美籍華人數(shù)學家丘成桐先生就曾指出“好的數(shù)學是簡潔的”），還是從“好的題目”應該追求簡潔呈現(xiàn)、自然生長、漸次展開、易進難出等特點（章建躍語），而且對于一道綜合題，題干能否充滿活力也應該成為一種命題追求.

1.陳海宏.一道“偽坐標系”考題引發(fā)的思考［J］.中學數(shù)學（下），2015（5）.

2.鄔吉利.一類“偽坐標系”考題的評析與商榷［J］.中學數(shù)學（下），2014（8）.

3.嚴冬梅.命題到底該怎樣考查概念——以七年級上學期一些習題為例［J］.中學數(shù)學（下），2015（3）.

4.仲進東.例談客觀題型中“把關題”的呈現(xiàn)方式［J］.中學數(shù)學（下），2015（3）.

5.閆守范.新定義題破題策略與命題商榷［J］.中學數(shù)學（下），2015（3）.

6.王文清，邢成云.中考命題需謹慎一石三鳥當思量——以2014年濱州市中考數(shù)學試題為例［J］.中學數(shù)學（下），2015（3）.

7.賀信淳.從多角度審視一道中考試題說開去——談對初中數(shù)學教育現(xiàn)狀之惑［J］.數(shù)學通報，2013（12）.