設(shè)置分級(jí)例題，提升教學(xué)成效
——以“網(wǎng)格中的銳角三角函數(shù)”為例

☉江蘇省蘇州市工業(yè)園區(qū)星海實(shí)驗(yàn)中學(xué)　楊　洪

設(shè)置分級(jí)例題，提升教學(xué)成效
——以“網(wǎng)格中的銳角三角函數(shù)”為例

☉江蘇省蘇州市工業(yè)園區(qū)星海實(shí)驗(yàn)中學(xué)楊洪

一、寫在前面

復(fù)習(xí)課因沒有現(xiàn)成的教材，給了教師很大的自主設(shè)計(jì)教學(xué)的空間.一線老師往往會(huì)打破復(fù)習(xí)課的章節(jié)限制，重新整合教學(xué)內(nèi)容，并對(duì)教學(xué)方法和教學(xué)流程進(jìn)行相應(yīng)調(diào)整.復(fù)習(xí)課的設(shè)計(jì)，既要完成前一階段知識(shí)的“繼承”，又要為下一階段的學(xué)習(xí)鋪墊.因此，很多老師特別重視復(fù)習(xí)載體——例題的教學(xué)設(shè)計(jì)，想著法子提高例題的教學(xué)效益.近期，筆者就復(fù)習(xí)課的例題設(shè)計(jì)也進(jìn)行了一番嘗試，用分級(jí)設(shè)置的例題引導(dǎo)學(xué)生展開復(fù)習(xí)，取得了較好的成效.現(xiàn)結(jié)合“網(wǎng)格中的銳角三角函數(shù)”專題復(fù)習(xí)的例題及教學(xué)設(shè)計(jì)談一些個(gè)人的感悟，希望能給您的教學(xué)帶來一些啟示.

二、例題設(shè)計(jì)及分析

1.背景分析

“銳角三角函數(shù)”主要涉及三個(gè)函數(shù)：正弦（sin）、余弦（cos）和正切（tan）.這三個(gè)函數(shù)的定義是本章教學(xué)的重點(diǎn)，我們不僅要讓學(xué)生學(xué)會(huì)求直角三角形中某一銳角的這三個(gè)函數(shù)值，還要讓他們學(xué)會(huì)建構(gòu)直角三角形求函數(shù)值.這節(jié)課的設(shè)計(jì)正是基于這樣的教學(xué)需求，通過一組以“網(wǎng)格”背景的函數(shù)求值題，將所學(xué)的銳角三角函數(shù)作為解題目標(biāo)蘊(yùn)含其中，力求在學(xué)生解答中滲透轉(zhuǎn)化思想和模型思想.

2.例題解析

例1（A級(jí)題）如圖1，在邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，則tanA= _________.

解析：在圖1中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，所以∠ABC=90°.所以.根據(jù)小正方形的邊長(zhǎng)為1，可得AB=3，BC=4，所以tan

圖1

圖2

例2（B級(jí)題）如圖2，方格紙中的每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的正方形，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫格點(diǎn).△ABC的頂點(diǎn)都在方格的格點(diǎn)上，則cosA=______.

解析：如圖2，作CD⊥直線AB，D為垂足（說明：原圖中沒有輔助線和點(diǎn)D，下同）.所以，AD=4，CD=2，由勾股定理得

圖3

例3（C級(jí)題）如圖3，網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，△ABC的每個(gè)頂點(diǎn)都在網(wǎng)格的交點(diǎn)處，則sinA= _______.

解析：如圖3，作AD⊥BC于點(diǎn)D，CE⊥AB于點(diǎn)E，由勾股定理得.根據(jù)“面積法”易得BC·AD=AB·CE.所以

簡(jiǎn)析：本節(jié)課的復(fù)習(xí)主題是“網(wǎng)格中的銳角三角函數(shù)”，這是近幾年中考中常見的試題.為了幫助學(xué)生形成解題策略，教者圍繞這一主題，共設(shè)計(jì)了三道例題.例1是一道“看看就能給出答案”的題目，難度較小，適合所有同學(xué)解答，所以設(shè)為“A級(jí)題”；例2，需要建構(gòu)直角三角形，為了求∠A的余弦，還需先應(yīng)用勾股定理求出AC的長(zhǎng)，難度較例1有所增加，適合班級(jí)中等及以上學(xué)生解答，所以設(shè)為“B級(jí)題”；例3的考點(diǎn)明顯增加，在正確添加輔助線后，解題還要用到勾股定理和三角形的面積公式等知識(shí)，難度較大，適合班級(jí)中學(xué)有余力的同學(xué)解答，設(shè)為“C級(jí)題”.這三道例題，梯度清晰，不同的難度適合不同的學(xué)生解答.教師設(shè)計(jì)例題時(shí)，不僅按照難度遞增呈現(xiàn)例題，還將適做人群在題號(hào)后的括號(hào)內(nèi)進(jìn)行了標(biāo)注，這樣的設(shè)計(jì)是人性化的，給學(xué)生的自主選擇提供了極大的便利.

3.教學(xué)設(shè)計(jì)

學(xué)生通讀三道例題，在理清題目條件和結(jié)論的基礎(chǔ)上，按照“就高不就低”的原則（“高”指難度較大的例題，下同）從中選擇一道解答，完成后分別到課前已經(jīng)劃定的A級(jí)題、B級(jí)題和C級(jí)題交流區(qū)域交流，要求不僅要交流解題的結(jié)果，還要交流解題思路獲得的過程，以及用到的數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法.在完成同級(jí)交流后，再回到原來的學(xué)習(xí)小組進(jìn)行“異級(jí)交流”，主要是由解答“高位題”的同學(xué)進(jìn)行“低位題”的思路分析及過程指導(dǎo).最后，教師組織全班交流，主要交流“建構(gòu)（應(yīng)用）直角三角形求解”的共性解法和B、C級(jí)題求解時(shí)用到的轉(zhuǎn)化思想.

簡(jiǎn)析：教者設(shè)計(jì)的教學(xué)流程，緊貼學(xué)生的認(rèn)知需求，在個(gè)性學(xué)習(xí)上做足了文章.首先是審題，這是學(xué)生解題的基本能力，我們平常教學(xué)就應(yīng)該高度重視.在這節(jié)復(fù)習(xí)課上，給學(xué)生一段時(shí)間單獨(dú)審題，既符合常態(tài)教學(xué)需求，也是教者后續(xù)教學(xué)活動(dòng)的基礎(chǔ).在這一時(shí)段內(nèi)，學(xué)生可以詳細(xì)解讀每一題的條件與結(jié)論，并努力在腦海中初步搭建條件與結(jié)論關(guān)聯(lián)的通道，形成預(yù)估“解題報(bào)告”，為下面的選題提供“理論支撐”.這種多道同類題的同步解讀，不僅訓(xùn)練了學(xué)生的審題技能，還培養(yǎng)了學(xué)生分析問題的能力.接下來就是選題，教者預(yù)設(shè)了“就高不就低”的選題原則，意在逼著學(xué)生選擇難度較大的例題解答.我們相信，每一名學(xué)生都會(huì)站在自己所能達(dá)到的高度上認(rèn)真審視給出的這幾道例題，理性地做出選擇.事實(shí)上，學(xué)生最終做出的選擇是“正態(tài)”分布的，絕大多數(shù)同學(xué)會(huì)選擇B級(jí)題，選擇A級(jí)題的是班級(jí)中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生，而選擇C級(jí)題的正是班級(jí)中那些“高手”.有了這種選題的經(jīng)歷，很多學(xué)生都能較為順利地給出問題的答案，所以，接下來的自主解答顯得十分順利，耗時(shí)很少.在學(xué)生解題結(jié)束后，教者通過互動(dòng)交流的方式讓學(xué)生展示了自己的結(jié)果和獲得結(jié)果的過程.整個(gè)交流分三個(gè)層次，“同級(jí)交流”是第一層次，重在結(jié)果與思路的交流；“異級(jí)交流”是第二層次，意在釋疑解惑和共同進(jìn)步；最后是教師引導(dǎo)下的“全班交流”，突出了例題的共性解法的建構(gòu)和數(shù)學(xué)思想方法的提取.就整個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)來看，學(xué)生始終是教學(xué)的主體，教師幾乎沒有一絲干擾，預(yù)設(shè)的例題和流程很好地引導(dǎo)學(xué)生展開了課堂學(xué)習(xí)，知識(shí)的獲得與應(yīng)用在這樣一種極其自然的狀態(tài)下進(jìn)行，取得較好的教學(xué)效果也就在情理之中了.

三、幾點(diǎn)感悟

1.以考點(diǎn)整合為抓手，實(shí)現(xiàn)教學(xué)例題真分級(jí)

例題的分層、分級(jí)設(shè)置是一件好事，很多老師都想去做，而且一直在努力找到例題設(shè)置的一些策略.在對(duì)例題分級(jí)進(jìn)行了一段時(shí)間的嘗試后，筆者發(fā)現(xiàn)知識(shí)點(diǎn)的適度增減，可以調(diào)整例題的難度.據(jù)此，在例題分級(jí)的過程中，我們可以以考點(diǎn)整合為抓手，實(shí)現(xiàn)教學(xué)例題真分級(jí).具體做法是先選擇一道較為成熟的試題作為分級(jí)例題的“原型”，然后深入剖析“原型”所涉及的知識(shí)點(diǎn)，這里所說的知識(shí)點(diǎn)既包含一些顯性知識(shí)，如解題所需要的數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，也包括隱含在題目或解題過程中的隱性知識(shí)，如滲透于題目中的數(shù)學(xué)思想和解題所必備的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).通過對(duì)這些知識(shí)點(diǎn)的適度增減形成新的選題目標(biāo)或改題方向，最終形成以“原型”為中心（即B級(jí)題）的三級(jí)題目.要說明的是，知識(shí)點(diǎn)的增減不應(yīng)是數(shù)學(xué)上的加減，應(yīng)是在原有知識(shí)點(diǎn)基礎(chǔ)上的有效滲透或適度刪除，要讓學(xué)生審題與解題看不出人為設(shè)置的痕跡.以本文中的三道題目為例，例2是筆者進(jìn)行分級(jí)的“原型”，網(wǎng)格中的三角形是一個(gè)普通三角形，其中一條邊恰好是網(wǎng)格中水平方向的“格點(diǎn)線段”（說明：在教學(xué)中，我們把以格點(diǎn)為端點(diǎn)與網(wǎng)格水平線平行或垂直的線段叫做格點(diǎn)線段），另兩條邊則不是“格點(diǎn)線段”，所以本題不僅要建構(gòu)直角三角形，還要用勾股定理求出直角三角形的邊長(zhǎng)，以上是對(duì)原型的分析，既包含了知識(shí)點(diǎn)的分析，也包含了解題思路和解題方法的分析.接下來，我們可以通過增加或減少“格點(diǎn)線段”來調(diào)整題目的難度，從而讓例題自然分級(jí).比如，例1中“格點(diǎn)線段”有兩條，所求的正切值只與這兩條線段有關(guān)，所以難度降了下來；例3中沒有了“格點(diǎn)線段”，不僅要建構(gòu)直角三角形，還要想辦法求出與所要求的正弦值有關(guān)的兩條線段的長(zhǎng)度，三角形面積公式的引入讓題目難度增加了不少，將這道題編排為C級(jí)題是合乎情理的.

2.以分級(jí)例題為載體，推進(jìn)分層教學(xué)輕著陸

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》提出：數(shù)學(xué)課程“要面向全體學(xué)生，適應(yīng)學(xué)生個(gè)性發(fā)展”，這就要求我們的教學(xué)不僅要讓每一名學(xué)生都學(xué)有所獲，還要讓“不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同發(fā)展”.因此，我們的課堂教學(xué)不僅要“求同”，還要“存異”.當(dāng)所有學(xué)生“齊步走”的時(shí)候，我們還應(yīng)關(guān)注那些學(xué)有余力的同學(xué)，要為他們準(zhǔn)備一些難度稍大的學(xué)習(xí)資料，讓他們既能“吃得了”，又能“吃得飽”.分層教學(xué)，正是基于這樣的教學(xué)主張之上生成的教學(xué)方式，本文所述的例題分級(jí)及教學(xué)應(yīng)用，恰到好處地將分層教學(xué)的理念轉(zhuǎn)化成了教學(xué)行為.因此，課前，我們要圍繞教學(xué)主線設(shè)計(jì)好分級(jí)例題，將課時(shí)核心有機(jī)滲透到題組中；課上，我們可以通過學(xué)生的自主選擇與解答這些分級(jí)例題，讓教學(xué)自然分層；課后，我們還可以為學(xué)生設(shè)計(jì)分層練習(xí)，讓分級(jí)例題的教學(xué)效應(yīng)進(jìn)一步延續(xù).通過分級(jí)例題的有效應(yīng)用，分層教學(xué)也就會(huì)“落地生根”，真正落在實(shí)處.在筆者設(shè)計(jì)的“網(wǎng)格中的銳角三角函數(shù)”專題復(fù)習(xí)課上，正是有了課前的精心設(shè)計(jì)和課上的精準(zhǔn)實(shí)施，加之與例題配套的練習(xí)的設(shè)置，學(xué)生真正開展了“有差異地學(xué)習(xí)”，幾乎每一名學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性都被調(diào)動(dòng)起來，學(xué)習(xí)成效十分顯著，他們?cè)谡n上能自主選擇并進(jìn)行解答，交流氣氛熱烈，交流成果豐碩，在課后能準(zhǔn)確地選擇自己能夠解答的“高”級(jí)練習(xí)，作業(yè)的正確率很高.

3.以教學(xué)適用為目標(biāo)，確保分層設(shè)例不偏向

分層教學(xué)，分層是教學(xué)的一種輔助形式，我們最終實(shí)施的是教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)對(duì)象適度分級(jí)的教學(xué).所以，設(shè)計(jì)的例題都應(yīng)以教學(xué)適用為前提.例題的分級(jí)設(shè)置，應(yīng)遵循人人受益的原則.我們的分級(jí)絕不是建立在“盲目地選擇高難度的題目，或者是無休止地降低例題的難度”基礎(chǔ)之上的.分級(jí)例題的設(shè)置，不僅要保證不同級(jí)別之間例題的梯度，還要保證選出的或者改編的例題緊扣本節(jié)課的課堂教學(xué)主線，切實(shí)為教師的教和學(xué)生的學(xué)服務(wù).為了能讓學(xué)生“有差異地學(xué)習(xí)”，我們?cè)O(shè)計(jì)的例題必須是難易適中，能讓學(xué)生開展數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).難度過大的例題，不僅基礎(chǔ)薄弱的同學(xué)不能解答，有時(shí)甚至連成績(jī)優(yōu)秀的同學(xué)同樣不能求解，這樣的例題編排使得每一名學(xué)生都沒有收獲，顯然是不適宜的；例題過于容易，也是不妥的，三級(jí)例題之間差距不大，一方面學(xué)生選擇困難，不利于培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心，另一方面，題目過于容易，不太容易調(diào)動(dòng)優(yōu)秀學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，不利于培養(yǎng)其思維的深刻性.因此，想要讓分級(jí)例題適用于教學(xué)，我們就應(yīng)充分關(guān)注學(xué)情，將學(xué)情分析與目標(biāo)設(shè)定和例題設(shè)計(jì)同步，力求例題設(shè)計(jì)符合學(xué)情，符合目標(biāo)要求.以本文中的三道例題為例，在設(shè)計(jì)之初，筆者詳細(xì)分析了近幾年的中考現(xiàn)狀和本單元的教學(xué)目標(biāo)制定了教學(xué)目標(biāo)，與此同步，筆者還對(duì)本班學(xué)生這一版塊知識(shí)的掌握與應(yīng)用情況進(jìn)行了分析，摸清了基礎(chǔ)薄弱學(xué)生和優(yōu)秀學(xué)生的認(rèn)知現(xiàn)狀.有了這樣的基礎(chǔ)，筆者選擇了一道中等難度的試題作為例題原型，通過疊加和刪減知識(shí)點(diǎn)，在教學(xué)主線之上合理地滲透進(jìn)一些與本單元關(guān)聯(lián)較大的知識(shí)，讓例題的難度有效增減，實(shí)現(xiàn)了緊貼教學(xué)目標(biāo)和學(xué)情的有效分層.接下來的教學(xué)應(yīng)用中，教者更是以適用為目標(biāo)，對(duì)學(xué)生中出現(xiàn)的符合本課教學(xué)目標(biāo)的生成進(jìn)行了積極處理，而那些與本節(jié)課關(guān)聯(lián)不大的問題則淡化處理，關(guān)注的是課時(shí)核心，成就的是方法積累和素養(yǎng)提升！

1.陳開金.網(wǎng)格上的問題［J］.上海中學(xué)數(shù)學(xué)，2007（5）.

2.中華人民共和國(guó)教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.