注重整體設計，突出幾何直觀
——青島版義務教育教科書數(shù)學八年級下冊第十章“一次函數(shù)”簡介

☉山東沂南教育局　李樹臣

注重整體設計，突出幾何直觀
——青島版義務教育教科書數(shù)學八年級下冊第十章“一次函數(shù)”簡介

☉山東沂南教育局李樹臣

我們在編寫青島版義務教育教科書數(shù)學時對函數(shù)內(nèi)容采取的是“提前滲透、分層推進、及時穿插、不斷深化”的安排方式，充分體現(xiàn)出“函數(shù)”在課程領域的核心地位.在編排八年級下冊第十章“一次函數(shù)”時，體現(xiàn)了“整體設計，突出直觀”的原則.筆者就本章的編寫和教學研究問題，談以下三點.

一、本章內(nèi)容概述與教學目標

1.知識結構

圖1

2.內(nèi)容概述

本章（含6節(jié)）是在學生對函數(shù)已有感性認識的基礎上，進一步研究形如y=kx+b（k≠0）的一類具體的函數(shù).主要內(nèi)容包括：函數(shù)的圖像、一次函數(shù)的圖像及其性質(zhì)、一次函數(shù)與二元一次方程以及與一元一次不等式的關系、建立一次函數(shù)模型解答實際問題.

第1節(jié)“函數(shù)的圖像”是全章的基礎部分，教科書在學生已有認識的基礎上，用“實驗與探究”欄目給出6個問題，引導學生進行“飲料瓶放水實驗”活動，學生通過記錄數(shù)據(jù)、列表、描點、畫圖等活動，借助于直角坐標系中畫出的曲線感悟曲線能表示出飲料瓶中水面下降高度L與放水時間t之間的函數(shù)關系，目的在于讓學生經(jīng)歷實驗活動過程，積累數(shù)學活動經(jīng)驗，會在直角坐標系中用一條曲線表示出L與t的函數(shù)關系，從而給出表示變量之間函數(shù)關系的圖像法的概念，感受用圖像法表示函數(shù)關系的直觀特點.

第2節(jié)“一次函數(shù)和它的圖像”，采用“課標（2011年版）”倡導的“問題情境—建立模型—求解驗證”的呈現(xiàn)模式，首先以“高鐵列車”問題引導學生思考，從而得到高鐵列車離開上海站的距離s與時間t之間的函數(shù)關系s= 10+300t，結合前面接觸過的幾個具體的函數(shù)表達式，抽象出一次函數(shù)的一般形式.然后在引導學生觀察前面已經(jīng)用描點法畫出的一次函數(shù)圖像的基礎上，概括出一次函數(shù)圖像的特征是一條直線，并引導學生關注直線與兩坐標軸的交點情況，初步體會一次函數(shù)與一元一次方程的聯(lián)系，進而得出畫一次函數(shù)圖像的簡便方法.最后結合例題給出了用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)表達式的過程.

第3節(jié)“一次函數(shù)的性質(zhì)”，用“觀察與思考”欄目中的4個問題引導學生經(jīng)歷畫圖、觀察、思考、歸納、交流等活動，探索一次函數(shù)y=kx+b當k＞0和k＜0時，圖像的變化趨勢，從而總結出一次函數(shù)的性質(zhì).體現(xiàn)了由特殊到一般、由具體到抽象的認識過程.

第4節(jié)“一次函數(shù)與二元一次方程”，用“觀察與思考”欄目中的6個問題引導學生通過思考和操作，探索二元一次方程與一次函數(shù)圖像、二元一次方程組與一次函圖像、方程組的解與對應圖像交點的坐標之間的相互關系，并引入二元一次方程組的圖像解法.這樣的設計體現(xiàn)了數(shù)學的整體性，有利于培養(yǎng)學生的識圖技能，進一步感悟數(shù)形結合以及轉化的數(shù)學思想方法.

第5節(jié)“一次函數(shù)與一元一次不等式”，教科書以直線y=2x+4為例，引導學生通過觀察與交流等活動，發(fā)現(xiàn)一次函數(shù)與一元一次不等式的聯(lián)系.通過一個例題，綜合運用了一元一次方程、一元一次不等式，一次函數(shù)與二元一次方程組的圖像解法等知識，加深學生對上述知識相互關聯(lián)的認識.解題過程借助了幾何直觀的作用，體現(xiàn)了轉化、數(shù)形結合思想的運用.

第6節(jié)“一次函數(shù)的應用”，通過現(xiàn)實生活中的一些實例介紹了一次函數(shù)的應用.目的是讓學生體會一次函數(shù)是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關系的模型.在利用一次函數(shù)解決簡單實際問題的過程中，感悟數(shù)形結合、轉化和建模的思想，增強應用意識，提高分析問題和解決問題的能力.

3.教學目標

（1）結合實例，體會表示函數(shù)關系的圖像法以及用描點法畫函數(shù)圖像的步驟，能結合圖像對簡單實際問題中的函數(shù)關系進行分析.

（2）結合具體情境體會一次函數(shù)的意義，能根據(jù)已知條件確定一次函數(shù)的表達式.

（3）會利用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的表達式.

（4）能畫出一次函數(shù)的圖像，根據(jù)圖像和表達式y(tǒng)= kx+b（k≠0），探索并理解k＞0和k＜0時圖像的變化情況.

（5）理解正比例函數(shù).

（6）體會一次函數(shù)與二元一次方程（組）以及一元一次不等式的關系，從運動變化的角度，用函數(shù)的觀點加深對方程、不等式的認識，理解數(shù)學知識之間的實質(zhì)性聯(lián)系，感悟數(shù)學知識的整體性和數(shù)學方法的一般性.

（7）能運用一次函數(shù)解決簡單的實際問題.進一步體會建立數(shù)學模型的方法與作用，提高綜合運用函數(shù)知識分析和解決實際問題的能力.

（8）通過本章的學習，感悟分類、轉化、數(shù)形結合以及模型思想，發(fā)展幾何直觀，感悟數(shù)學的應用價值.

二、編寫時重點考慮的三個問題

1.統(tǒng)籌安排，整體規(guī)劃，體現(xiàn)螺旋上升的原則

為了分散難點，幫助學生通過一段較長時期的學習，逐步形成并加深對函數(shù)概念的理解，我們在青島版教材中對函數(shù)內(nèi)容是分三個階段呈現(xiàn)的.

第一階段安排在七（上），學生在學習求代數(shù)式的值后，通過一些具體例子，已經(jīng)感受到當代數(shù)式中字母的取值發(fā)生變化時，這個代數(shù)式的值也相應發(fā)生變化.在此基礎上給出了變量與函數(shù)的概念，這樣安排，學生可及早獲得對函數(shù)的初步認識，能用函數(shù)的觀點去看代數(shù)式，并為將來學習方程根的估計、分式和二次根式中字母可以取值的范圍等內(nèi)容埋下伏筆.

第二階段安排在八（下），當學生學過實數(shù)以及有序?qū)崝?shù)對與坐標平面上的點的一一對應關系后，及時安排一次函數(shù)的有關內(nèi)容.通過一次函數(shù)的學習，學生可初次經(jīng)歷用初等方法研究函數(shù)的過程，如用描點法畫函數(shù)圖像，以及通過圖像研究函數(shù)的性質(zhì)，同時使學生進一步感受數(shù)形結合思想，并體會一次函數(shù)與二元一次方程、一元一次不等式的聯(lián)系，從而對函數(shù)有進一步的認識.

第三階段安排在九（下），學生將在已有認識的基礎上，從函數(shù)的自變量的取值范圍和對應這兩個要素深化對函數(shù)概念的認識.這里再次給出的函數(shù)定義比七（上）給出的定義進了一步，更加接近函數(shù)的近代定義.學生還將再次利用初等方法研究反比例函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系，使學生能夠一般性地了解函數(shù)的概念，進一步獲取用初等方法研究函數(shù)的體驗，為高中階段繼續(xù)學習函數(shù)打下必要的基礎.

2.遵循“從特殊到一般”的認識規(guī)律

人們認識事物往往經(jīng)歷“從特殊到一般”的過程，“一次函數(shù)和它的圖像”是本章的重點內(nèi)容，在設計、安排時就是按照這樣的過程展現(xiàn)的，主要體現(xiàn)在以下兩個地方.

（1）形成一次函數(shù)概念.

在歸納、概括出一次函數(shù)概念之前，教科書引導學生從分析實際問題得到高鐵列車行駛距離s與時間t之間的函數(shù)關系s=10+300t后，讓學生分析該函數(shù)表達式以及y=x-1、y=-x、y=2x-1、y=2x有哪些共同特征，之后給出一次函數(shù)的定義：形如y=kx+b（k≠0）的函數(shù)叫做x的一次函數(shù).特別地，當k≠0、b=0時，函數(shù)y=kx也是一次函數(shù)，叫正比例函數(shù).

（2）歸納一次函數(shù)圖像的性質(zhì).

為了概括一次函數(shù)圖像的特征，教科書首先用“觀察與思考”欄目引導學生觀察圖2和圖3的特點，然后觀察前面學過的函數(shù)表達式y(tǒng)=-x+2、y=-2x、y=-3x-1、y=2x和圖像，相互交流自己的發(fā)現(xiàn).在學生觀察交流之后，概括出一次函數(shù)y=kx+b的圖像是一條直線.最后，教科書又討論了用簡單方法畫一次函數(shù)y=-2x+4的圖像的方法，從而得到由兩點確定直線y=kx+b的一般方法.這樣的設計向我們展示了解決問題的一種基本策略，即“先特殊化、簡單化，再一般化、復雜化”的方法.教科書第2、3節(jié)給出的通過函數(shù)表達式用描點法畫出函數(shù)的圖像，再利用函數(shù)圖像研究函數(shù)性質(zhì)的方法具有一般性.這樣的設計有利于學生積累數(shù)學活動經(jīng)驗，感悟數(shù)形結合、分類、轉化等數(shù)學思想，為今后學習其他函數(shù)的性質(zhì)，提供研究方法上的準備.

圖3

3.注重培養(yǎng)學生的幾何直觀

“幾何直觀”是“課標（2011年版）”首次提出的一個核心概念，其本質(zhì)就是依托、利用圖形進行數(shù)學思考和想象.在傳統(tǒng)的教科書和教學中，較為強調(diào)其“數(shù)”的特征，表現(xiàn)為重視對函數(shù)的表達式的學習，而相對弱化其“形”的特性.導致學生缺乏識圖、用圖能力，數(shù)形結合的意識較為薄弱.為改變這一現(xiàn)象，本章中設計了“一次函數(shù)與二元一次方程”“一次函數(shù)與一元一次不等式”等內(nèi)容，使學生從變量的觀點去認識二元一次方程和一元一次不等式，并讓學生通過在同一直角坐標系中作出兩個一次函數(shù)的圖像，由它們的交點坐標求二元一次方程組的解，由二元一次方程組的解確定兩個一次函數(shù)的圖像的交點坐標，以充分體現(xiàn)出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系.這種設計體現(xiàn)出函數(shù)的重要性，反映了函數(shù)概念對相關內(nèi)容的統(tǒng)率作用.有助于學生理解“數(shù)與代數(shù)”中核心內(nèi)容的實質(zhì)性關聯(lián)，感悟數(shù)形結合思想，加大對已經(jīng)學過的相關內(nèi)容之間的整體認識，加強知識間橫縱向的融會貫通，提高靈活分析問題和解決問題的能力.并為今后繼續(xù)研究方程、不等式與函數(shù)，學習解析幾何等后繼知識作必要的鋪墊.

三、教學建議

1.借助實際問題，引導學生認識函數(shù)；通過函數(shù)應用，強化數(shù)學建模思想

“課標（2011年版）”指出，教學“素材的選用應當充分考慮學生的認知水平和活動經(jīng)驗.這些素材應當在反映數(shù)學本質(zhì)的前提下盡可能地貼近學生的現(xiàn)實，以利于他們經(jīng)歷從現(xiàn)實情境中抽象出數(shù)學知識與方法的過程.”在現(xiàn)實中存在著大量的涉及簡單函數(shù)關系的變量，其中許多問題中的數(shù)量關系是一次的，這為學習一次函數(shù)提供了大量的現(xiàn)實素材.

（1）引入函數(shù)圖像及一次函數(shù)等概念.

本章內(nèi)容是從研究函數(shù)的圖像開始的，在學生認識到用函數(shù)的圖像表示函數(shù)后，開始學習一次函數(shù)并利用一次函數(shù)知識研究有關問題.函數(shù)的圖像包括認識函數(shù)的圖像與畫出簡單的函數(shù)圖像.為了學習函數(shù)的圖像，可組織學生親自操作教科書設計的“飲水瓶放水實驗”，按每4人一組進行，分別負責計時、控制鐵夾、觀察水面高度、記錄數(shù)據(jù).實驗結束后，每人根據(jù)數(shù)據(jù)填表、在坐標系中描點、連接曲線.在實驗基礎上，給出圖像法的定義，并讓學生思考圖像法的優(yōu)點.通過高鐵運行問題引入一次函數(shù)，通過金屬銅的問題認識正比例函數(shù)等，這樣教學的目的是借助現(xiàn)實的、具體的問題為理解抽象的內(nèi)容服務，符合“課標（2011年版）”提出的“結合具體情境體會一次函數(shù)的意義”的要求.

（2）體現(xiàn)一次函數(shù)模型的應用.

在本章的教學中，要充分利用現(xiàn)實背景，不斷加強對函數(shù)是解決現(xiàn)實問題的一種重要數(shù)學模型的認識，實現(xiàn)“課標（2011年版）”提出的“能用一次函數(shù)解決簡單實際問題”的目的，從而再一次感悟數(shù)學模型思想的重要性.例如，10.2節(jié)例2中的彈簧長度問題、汽車行駛問題、飲料的利潤問題；10.6節(jié)中的溫度計問題、購買樹苗問題、購買籃球和排球問題等，它們都能體現(xiàn)數(shù)學建模思想，反映了函數(shù)的廣泛應用性.通過這樣的教學，能使學生認識到函數(shù)是從實際問題抽象得到的，又能回到解決實際問題中去，進而加深對“數(shù)學來源于生活，又服務于生活”的理解和認識.

2.鼓勵學生獨立思考、自主探索與合作交流

“課標（2011年版）”提出“數(shù)學教學應根據(jù)具體的教學內(nèi)容，注意使學生在獲得間接經(jīng)驗的同時也能夠有機會獲得直接經(jīng)驗，即從學生實際出發(fā)，創(chuàng)設有助于學生自主學習的問題情境，引導學生通過實踐、思考、探索、交流等，獲得數(shù)學的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗，促使學生主動地、富有個性地學習，不斷提高發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力、分析問題和解決問題的能力.”本章需要學生進行較多的數(shù)學活動，如觀察、實驗、列表、畫圖、探究、交流等.在函數(shù)的圖像、描點法作圖、一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)以及一次函數(shù)與二元一次方程、一元一次不等式的關系等學習過程中，教師應根據(jù)“課標（2011年版）”提出的上述建議，設法引導學生積極主動地參與各項數(shù)學活動，以豐富數(shù)學活動經(jīng)驗，感悟數(shù)學思想，從而使學生不僅能主動地獲取知識，而且學會探索，學會學習.

案例1：判定一次函數(shù)關系的過程.

判定某個函數(shù)是一次函數(shù)，是教學中的難點.為幫助學生學會這種方法，可用教科書提供的下列問題，引導學生進行思考、探究、交流等活動.

我們知道，世界各國溫度之間的計量單位尚不統(tǒng)一，常用的有攝氏溫度（℃）和華氏溫度（°F）兩種.它們之間的關系如下表所示：

攝氏溫度/℃…-10 0 10 20 30…華氏溫度/°F…14 32 50 68 86…

（1）觀察上表，如果把表中的攝氏溫度與華氏溫度都看作變量，那么它們之間的函數(shù)關系是一次函數(shù)嗎？你是如何探索得到的？

（2）你能利用（1）中的圖像，寫出y與x的函數(shù)表達式嗎？

（3）你能通過分析上表中兩個變量間的數(shù)量關系，判定它們之間是一次函數(shù)關系嗎？

（4）你能求出華氏溫度為0度（即0°F）時，攝氏溫度是多少度嗎？

（5）華氏溫度的值與對應的攝氏溫度的值有相等的可能嗎？你會用哪幾種方法解決這個問題？與同學交流.【設計意圖】本問題是在學生已經(jīng)學習了一次函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì)的基礎上設計的，學生能利用已有的知識，根據(jù)已有經(jīng)驗以表中每一對（x，y）的值作為點的坐標，在直角坐標系中描出表中相應的點，畫出圖4所示的圖像，通過觀察可發(fā)現(xiàn)這些點都在同一條直線上，于是利用待定系數(shù)法確定出一次函數(shù)表達式.

圖4

根據(jù)表中給定的兩個變量之間的數(shù)量關系判定這兩個變量之間是否為一次函數(shù)是比較困難的，可引導學生從計算兩個變量對應數(shù)值之差的比入手.學生通過計算將會發(fā)現(xiàn)這個比是一個常數(shù)，如，….特別地，對于固定點（0，32）來說，同樣有.如果設攝氏溫度為x，相應的華氏溫度為y，則有，整理得y=1.8x+32，因此，y是x的一次函數(shù).有了這個結果，問題（4）（5）便可迎刃而解.

學生的學習過程與科學家的研究過程在本質(zhì)上是一致的.因此，在教學中應引導學生像“小科學家”一樣通過研究活動去發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題直至解決問題.學生在探究的過程中除了能獲取知識、發(fā)展技能、形成能力外，還能受到科學價值觀和科學方法的教育，并發(fā)展自己的個性.

3.重視數(shù)形結合的研究方法

數(shù)學思想方法是以數(shù)學知識為載體來體現(xiàn)的，通過具體知識的學習獲取、感悟數(shù)學思想方法往往需要一個較長的過程.本章所討論的對象是一次函數(shù)，函數(shù)的表示法之一是圖像法，即通過直角坐標系中的曲線上點的坐標反映變量之間的對應關系.這種表示方法具有直觀、形象的特點，學生能通過觀察圖像獲取有關的信息，進而數(shù)形結合地解決有關問題，這種方法在數(shù)學發(fā)展過程中具有重要的價值.無論是函數(shù)圖像的學習，還是一次函數(shù)性質(zhì)的探究過程，以及借助于一次函數(shù)的圖像研究方程、不等式的有關問題等，都離不開數(shù)形結合.因此，教學中要結合具體的內(nèi)容使學生加深對數(shù)形結合的理解，并靈活運用，充分發(fā)揮它在分析問題、解決問題過程中所表現(xiàn)出的“數(shù)”和“形”兩個方面的共同優(yōu)勢.

案例2：直線為何總經(jīng)過一個點？

圖5

4.處理好新、舊知識之間的聯(lián)系，促進學生新的認知結構的構建

“課標（2011年版）”指出“數(shù)學知識的教學，應注重學生對所學知識的理解，體會數(shù)學知識之間的關聯(lián)”.在本章教學中，不僅應注意各節(jié)內(nèi)容和思想方法之間的密切聯(lián)系，還要注意揭示本章知識與學生已經(jīng)學過的知識的聯(lián)系，幫助學生從整體上理解數(shù)學.例如，正比例函數(shù)y=kx，第二學段學習成正比例的量時，比例系數(shù)k只能取正有理數(shù)，但在本章中，k可以取不為0的實數(shù)，即不僅可取正有理數(shù)，也可取正無理數(shù)、負有理數(shù)、負無理數(shù).因此，正比例函數(shù)是上一學段正比例關系的推廣和發(fā)展.這樣通過橫、縱兩個方面的聯(lián)系，就能突出函數(shù)在發(fā)展和構建學生認知結構時所起的“統(tǒng)帥”作用.

1.李樹臣.深入研究教材，學好函數(shù)概念［J］.中學數(shù)學（下），2009（9）.

2.李樹臣.關于教好函數(shù)知識的幾個問題［J］.中國數(shù)學教育，2012（3）.

3.李樹臣.精心設計問題情境，引導學生自主發(fā)展——青島版《義務教育教科書·數(shù)學》中問題情境的類型及設計意圖［J］.中學數(shù)學教學參考（中），2013（10）.

4.李樹臣.深入研究課程課標2011年版，精心選擇課程內(nèi)容——青島版《義務教育教科書·數(shù)學》中課程內(nèi)容選取的主要原則［J］.中學數(shù)學雜志，2014（2）.

5.李樹臣，等.整體把握函數(shù)內(nèi)容，宏觀設計教學策略——以青島版義務教育教科書·數(shù)學對“函數(shù)”的設計為例［J］.中學數(shù)學（下），2014（8）.

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