基于改進(jìn)PSO算法的數(shù)控機(jī)床主軸優(yōu)化設(shè)計(jì)

朱成實(shí)　勾延生　李鐵軍　李尚帥

沈陽化工大學(xué),沈陽,110142

基于改進(jìn)PSO算法的數(shù)控機(jī)床主軸優(yōu)化設(shè)計(jì)

朱成實(shí)勾延生李鐵軍李尚帥

沈陽化工大學(xué),沈陽,110142

通過分析主軸結(jié)構(gòu)和加工過程中受載變形情況, 建立了主軸優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型。根據(jù)鄧克萊法計(jì)算得到的一階固有頻率近似值，引入動(dòng)態(tài)約束條件 。針對(duì)傳統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法在解決主軸優(yōu)化設(shè)計(jì)中出現(xiàn)的問題，引入粒子群優(yōu)化 (PSO) 算法，并提出了一種慣性權(quán)重值適應(yīng)性遞減的粒子群(ADW)算法。將ADW算法用于數(shù)控機(jī)床主軸優(yōu)化實(shí)例中，得到主軸結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化組合。研究結(jié)果表明，運(yùn)用所建立的主軸優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型及改進(jìn)粒子群算法可以得到主軸結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化組合，充分顯示了該研究方法的有效性。

數(shù)控機(jī)床主軸;數(shù)學(xué)模型;粒子群算法;慣性權(quán)重;優(yōu)化設(shè)計(jì)

0　引言

機(jī)床主軸是機(jī)床的重要部件,它直接參與機(jī)床加工，其性能直接影響生產(chǎn)率、表面粗糙度和加工精度，是決定機(jī)床性能的重要因素[1-3]。主軸的結(jié)構(gòu)參數(shù)是影響主軸性能的關(guān)鍵指標(biāo)，因而對(duì)主軸結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)是十分必要的[4-5]。傳統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法存在求解過程復(fù)雜和尋優(yōu)過程困難的問題[6]，而粒子群算法是一種容易實(shí)現(xiàn)、調(diào)整參數(shù)不多且其本身沒有復(fù)雜數(shù)學(xué)操作的優(yōu)化算法[7-8]。本文采用一種新型的粒子群算法對(duì)主軸結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì),使優(yōu)化過程得到簡化,取得了較好的效果。

1　改進(jìn)粒子群算法

粒子群優(yōu)化(particle swarm optimization,PSO)算法是由Kennedy等[9]在1995年基于鳥群覓食行為提出的一種隨機(jī)優(yōu)化算法。后來Shi等[10]引入慣性權(quán)重w來更好地平衡探索(exploration)和收斂(convergence),形成了現(xiàn)有的標(biāo)準(zhǔn)PSO算法。粒子群算法首先初始化一群隨機(jī)粒子,然后通過迭代找到最優(yōu)解。在每一次迭代中,粒子根據(jù)下式來更新自己的速度和位置:

vi,k+1=wvi,k+c1r1(pi-zi,k)+c2r2(pg-zi,k)

zi,k+1=zi+vi,k+1

其中,zi表示第i個(gè)粒子的位置，pi為粒子當(dāng)前找到的個(gè)體最優(yōu)位置;pg為整個(gè)種群當(dāng)前找到的最優(yōu)位置;k是當(dāng)前迭代次數(shù)；r1和r2為[0,1]之間的隨機(jī)數(shù)字；c1和c2被稱作習(xí)因子。vmax和vmin是常數(shù),用來限制速度。w是慣性權(quán)重,它決定了先前速度對(duì)當(dāng)前速度的影響程度，因此可以平衡全局收斂能力和局部收斂能力的比例關(guān)系?，F(xiàn)有算法中,Shi等[10]提出的慣性權(quán)重值線性遞減(linearly decreasing weight,LDW)PSO算法在優(yōu)化性能方面有顯著的效果,但是這種慣性權(quán)重值w遞減的策略也有其缺點(diǎn):一方面,如果早期已找到全局最優(yōu)點(diǎn),則過大的權(quán)重值可能會(huì)使粒子跳出這個(gè)最優(yōu)點(diǎn)，因此不能在其附近搜索，從而降低最優(yōu)點(diǎn)的搜索能力;另一方面,如果在初期無法搜索到最優(yōu)點(diǎn)，隨著后期w的逐漸減小，算法的局部收斂能力加強(qiáng)，使算法容易陷入局部最優(yōu)[11-13]。綜上,本文提出一種慣性權(quán)重值適應(yīng)性遞減(adaptively decreasing weight,ADW)的粒子群算法，簡稱ADW算法。在該算法中，慣性權(quán)重值不僅隨迭代次數(shù)的增加而遞減,而且會(huì)隨著粒子群進(jìn)化而適應(yīng)性改變。

為使慣性權(quán)重值在遞減的同時(shí)具有適應(yīng)性，引入進(jìn)化率的概率[14]:個(gè)體最優(yōu)值決定全局最優(yōu)值的變化,同時(shí)也反映了粒子的運(yùn)動(dòng)效果,在迭代過程中，當(dāng)前迭代的個(gè)體最優(yōu)值總要優(yōu)于或至少等于上次迭代的個(gè)體最優(yōu)值。因此，可以比較當(dāng)前迭代的個(gè)體最優(yōu)值與上次迭代的個(gè)體最優(yōu)值，從而判斷粒子是否向全局最優(yōu)位置進(jìn)化。以尋找極小值問題為例,用s(i,k)判斷粒子是否進(jìn)化，即

其中,pi,k表示到第k次迭代所找到的個(gè)體最優(yōu)位置;F()為優(yōu)化函數(shù),當(dāng)F(pi,k)

其中,npp為種群粒子個(gè)數(shù),Ps(k)是[0,1]之間的一個(gè)值。較大的進(jìn)化率值表示種群中大多數(shù)粒子發(fā)生進(jìn)化,說明種群距全局最優(yōu)位置較遠(yuǎn),需要相對(duì)較大的速度去尋找最優(yōu)位置;而較小的進(jìn)化率值表明粒子群在全局最優(yōu)位置附近，不需要較大的速度去搜索。

綜上所述,可以通過進(jìn)化率的大小來調(diào)節(jié)慣性權(quán)重值,使其在遞減的同時(shí)具有適應(yīng)性。慣性權(quán)重值w可表示為

其中,kmax是最大迭代次數(shù)。這樣可以保證粒子具有較強(qiáng)的前期搜索能力和后期收斂能力,并有效避免了粒子早期跳出全局最優(yōu)和后期陷入局部最優(yōu)。

2　機(jī)床主軸優(yōu)化數(shù)學(xué)模型的建立

數(shù)控機(jī)床主軸一般為多支撐的空心階梯軸,為便于使用材料力學(xué)公式進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析,通常將階梯軸簡化為一當(dāng)量直徑表示的等截面軸。圖1所示是一個(gè)已經(jīng)簡化的機(jī)床主軸。

圖1　機(jī)床主軸變形簡圖

2.1確定設(shè)計(jì)變量

以主軸外直徑D、內(nèi)直徑d和軸上各段長L作為設(shè)計(jì)變量。即

X=[d∑Di∑Li]T

2.2建立目標(biāo)函數(shù)

以主軸體積最小和剛度最大為設(shè)計(jì)目標(biāo),其中剛度可用伸出端C點(diǎn)的撓度來表征。F1(x)為主軸撓度目標(biāo)函數(shù),F2(x)為主軸體積目標(biāo)函數(shù),則優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)為

(1)

式中,λ1、λ2為加權(quán)因子,反映各分目標(biāo)函數(shù)的重要程度;kA、kB分別為前后支承剛度,N/m;F為切削力;E為材料的彈性模量,Pa；I為主軸慣性矩，m4。

2.3約束條件

(1)強(qiáng)度約束。由于切削應(yīng)力強(qiáng)度限制,建立強(qiáng)度約束:g1(x)=s-[τT]≤0。給定輸入功率和轉(zhuǎn)速的情況下,有

式中,D為主軸平均直徑;P為主軸傳遞功率,kW;n為主軸轉(zhuǎn)速,r/min;[τT]為主軸許用切削應(yīng)力,Pa。

(2)撓度約束。由于主軸外伸端的撓度y不得超過許用值y0,建立剛度約束:g2(x)=y-y0≤0。即

式中,η為傳動(dòng)效率;v為主軸線速度。

(4)扭轉(zhuǎn)變形約束。軸的扭轉(zhuǎn)變形條件為φ≤[φ],建立扭轉(zhuǎn)變形約束:g4(x)=φ-[φ]≤0。給定轉(zhuǎn)矩時(shí),φ=5.73×104T/(GIp),則

式中,T為主軸的工作轉(zhuǎn)矩,N·m;G為剪切彈性模量,Pa；Ip為主軸極慣性矩,m4。

(5)轉(zhuǎn)角約束。軸的偏轉(zhuǎn)角θ應(yīng)小于許用值[θ],建立轉(zhuǎn)角約束:g5(x)=θ-[θ]≤0,給定外力時(shí),θ=FaL/(2EI),則

式中,[θ]為許用偏轉(zhuǎn)角,rad/m。

(6)動(dòng)態(tài)性能約束。機(jī)床主軸具有一定靜剛度要求的基礎(chǔ)上,要保證主軸結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性。主要考慮主軸一階固有頻率f的約束,要求一階固有頻率不低于f0=1400 Hz,建立一階固有頻率約束：g6(x)=f0-f≤0,由鄧克萊法[15]計(jì)算可得到一階固有頻率近似值f,則

g6(x)=1400-

式中,g為重力加速度;m為圖1中主軸AB段的質(zhì)量。

(7)設(shè)計(jì)變量邊界約束。由主軸各邊界尺寸,建立主軸尺寸邊界約束:

2.4基于粒子群算法構(gòu)造適應(yīng)度函數(shù)

根據(jù)優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)及約束條件,可將問題轉(zhuǎn)化為在滿足gj(x)≤0(i=1,2,…,n)條件下求可行域內(nèi)目標(biāo)函數(shù)F(x)的極小值問題。采用罰函數(shù)法,實(shí)現(xiàn)約束優(yōu)化問題向無約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化,則適應(yīng)度函數(shù)fitness(x)=F(x)+p(x),其中,p(x)為懲罰函數(shù)。采用動(dòng)態(tài)罰函數(shù)法得到數(shù)控機(jī)床主軸的適應(yīng)度函數(shù)：

其中,通常取c=0.5,α=β=2。

3　主軸優(yōu)化設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)

3.1優(yōu)化設(shè)計(jì)實(shí)例

以沈陽機(jī)床集團(tuán)生產(chǎn)的SSCK40-750型機(jī)床主軸部件為例，進(jìn)行基于ADW算法的機(jī)床主軸優(yōu)化設(shè)計(jì)。最低轉(zhuǎn)速nmin=30 r/min,主電機(jī)功率P=7.5 kW,轉(zhuǎn)矩T=700 kN·mm,切削力F=3500 N,彈性模量E=160 GPa,剪切彈性模量G=80 GPa,密度ρ=7.4×10-6kg/mm3。該機(jī)床主軸結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2　主軸結(jié)構(gòu)簡圖

由式(1),主軸的優(yōu)化設(shè)計(jì)變量為

X=[dD1D2D3D4D6L1L2…L5]T

構(gòu)造適應(yīng)度函數(shù)：

fitness(x)=F(x)+p(x)=

其中,gj(x)為約束函數(shù)。且L=L4+L5,a=L1+L2+L3。

3.2結(jié)果分析

為了證明ADW算法的有效性，分別采用ADW算法和LDW算法對(duì)主軸適應(yīng)度函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。主軸設(shè)計(jì)變量有11個(gè),取粒子維數(shù)為11,每一維的范圍根據(jù)約束條件確定，種群粒子個(gè)數(shù)為20,最大迭代次數(shù)為300,c1=1.8,c2=1.8，wmax=0.9,wmin=0.4，vmax=1,vmin=-1,λ1=0.8,λ2=0.2,得到優(yōu)化曲線如圖3所示。

圖3　優(yōu)化過程圖

由圖3可知:ADW算法在收斂速度方面要優(yōu)于LDW算法，ADW算法經(jīng)過12次迭代后收斂,而LDW算法則經(jīng)過25次迭代后收斂。在收斂精度方面,ADW算法也找到了較LDW算法更優(yōu)的主軸適應(yīng)度函數(shù)值。優(yōu)化結(jié)果見表1。

對(duì)表1中優(yōu)化前后的主軸參數(shù)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析比較：

(1)LDW算法結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化結(jié)果為

L=L4+L5=291 mm

主軸剛度提高率為

主軸體積減小率為

(2)ADW算法結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化結(jié)果為

L=L4+L5=292 mm

a=L1+L2+L3=135 mm

主軸剛度提高率為

主軸體積減小率為

從分析結(jié)果中可得:在主軸體積優(yōu)化方面,ADW算法得到的主軸結(jié)構(gòu)參數(shù)使得主軸體積較原有體積減小9.7%,而LDW算法使得主軸體積減小8.4%,優(yōu)化結(jié)果相差1.3%,因此,ADW算法優(yōu)化效果要優(yōu)于LDW算法。在主軸剛度方面,ADW算法得到的主軸結(jié)構(gòu)參數(shù)使主軸剛度較原有剛度提高3.5%,而LDW算法使主軸剛度提高2.9%,優(yōu)化結(jié)果相差0.6%。

4　結(jié)論

(1)本文提出了一種適應(yīng)性遞減的新型粒子群算法,引入Ps來衡量種群粒子的進(jìn)化度,并將其作為慣性權(quán)重w的變量,使w具有適應(yīng)性遞減的特性,從而改進(jìn)算法性能,與LDW算法相比,ADW算法在收斂速度和收斂精度方面都體現(xiàn)了較好的效果。

(2)建立了主軸優(yōu)化數(shù)學(xué)模型,以主軸剛度和體積為優(yōu)化目標(biāo),在約束條件中,考慮動(dòng)態(tài)約束條件——固有頻率的影響,同時(shí)引入強(qiáng)度約束、撓度約束、切削力約束、扭轉(zhuǎn)變形約束、轉(zhuǎn)角約束、設(shè)計(jì)變量邊界約束，使用鄧克萊法計(jì)算得到主軸一階固有頻率的近似值，加入動(dòng)態(tài)性能約束，從而實(shí)現(xiàn)數(shù)控機(jī)床主軸優(yōu)化數(shù)學(xué)模型的表達(dá)。

(3)主軸優(yōu)化設(shè)計(jì)實(shí)例分析結(jié)果表明，應(yīng)用ADW算法對(duì)主軸進(jìn)行優(yōu)化，能夠保證優(yōu)化進(jìn)程收斂，并且優(yōu)化效果明顯，其中主軸剛度提高9.7%,主軸體積減小3.5%。

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(編輯陳勇)

Optimization Design of CNC Machine Tool Spindle Based on Improved PSO Algorithm

Zhu ChengshiGou YanshengLi TiejunLi Shangshuai

Shenyang University of Chemical Technology,Shenyang,110142

A mathematical model of CNC machine tool spindle optimization design was established by analyzing the spindle’s structure and the deformation under load under the working situations.A dynamic constraint was applied according to approximate value of first natural frequency calculated by Dunkerley.The PSO algorithm was applied to solve the problems of the traditional optimization design and a particle swarm algorithm with adaptively decreasing inertia weight(ADW) was presented.ADW algorithm was used to the example of CNC machine tool spindle’s optimization. The results show that the spindle structure parameter optimization can get from the mathematical model of CNC machine tool spindle optimization design and the improved PSO algorithm,the effectiveness of this method is demonstrated.

CNC machine tool spindle;mathematical model;particle swarm optimization(PSO) algorithm;inertia weight;optimization design

2015-01-16

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51375081)

TH133.2DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2015.20.015

朱成實(shí)，男，1962年生。沈陽化工大學(xué)工業(yè)與藝術(shù)設(shè)計(jì)系教授。研究方向?yàn)闄C(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)、機(jī)械設(shè)備智能故障診斷。發(fā)表論文30篇。勾延生,男,1990年生。沈陽化工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院碩士研究生。李鐵軍,男,1978年生。沈陽化工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院講師。李尚帥,男,1990年生。沈陽化工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院碩士研究生。