閉環(huán)雙驅(qū)動混合輸出六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動分析

陳宇航　趙鐵石　耿明超　苑飛虎　李二偉

1.燕山大學(xué)河北省并聯(lián)機(jī)器人與機(jī)電系統(tǒng)實驗室,秦皇島,066004　 2.燕山大學(xué)先進(jìn)鍛壓成形技術(shù)與科學(xué)教育部重點實驗室,秦皇島,066004

閉環(huán)雙驅(qū)動混合輸出六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動分析

陳宇航1,2趙鐵石1,2耿明超1,2苑飛虎1,2李二偉1,2

1.燕山大學(xué)河北省并聯(lián)機(jī)器人與機(jī)電系統(tǒng)實驗室,秦皇島,066004 2.燕山大學(xué)先進(jìn)鍛壓成形技術(shù)與科學(xué)教育部重點實驗室,秦皇島,066004

提出一種分支含閉環(huán)雙驅(qū)動單元、可實現(xiàn)混合輸出的六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)。分析了動平臺混合運(yùn)動時驅(qū)動分支的等效形式，以及獨立位姿運(yùn)動和振動時驅(qū)動分支的等效形式;分析了混合運(yùn)動關(guān)于位姿運(yùn)動輸入和振動輸入的位置反解，對振動輸入的位置反解設(shè)計了基于機(jī)構(gòu)運(yùn)動特點的逐次逼近法；運(yùn)用螺旋理論求得動平臺混合運(yùn)動時關(guān)于全體12個獨立廣義坐標(biāo)的一、二階影響系數(shù)，得到從廣義輸入到動平臺旋量速度、加速度的線性映射；通過數(shù)值算例分別對位姿運(yùn)動輸入和振動輸入的理論分析結(jié)果進(jìn)行了驗證,算例仿真表明,提出的兩種雙驅(qū)動輸入分配計算規(guī)則均能得到確定的混合運(yùn)動輸出。

并聯(lián)機(jī)構(gòu);閉環(huán)雙驅(qū)動;旋量;混合輸出

0　引言

大范圍位姿運(yùn)動與不同頻率振動相疊加的混合運(yùn)動廣泛存在于工程應(yīng)用領(lǐng)域的實際工況，例如衛(wèi)星等航天器上的并聯(lián)精確指向平臺與隔振平臺[1]、多維動力學(xué)環(huán)境模擬實驗系統(tǒng)等。采用單一驅(qū)動器在同一機(jī)構(gòu)中實現(xiàn)這兩種不同性質(zhì)運(yùn)動的混合輸出對驅(qū)動器要求極高，且容易損壞驅(qū)動器。雙重驅(qū)動并聯(lián)機(jī)構(gòu)能將位姿運(yùn)動輸入與振動輸入分離，根據(jù)運(yùn)動性質(zhì)選擇對應(yīng)的驅(qū)動器,通過分支傳動，轉(zhuǎn)化為動平臺的混合輸出。

雙重驅(qū)動的概念最早出現(xiàn)在宏/微雙重驅(qū)動機(jī)器人系統(tǒng)中[2-3],一般由宏動和微動兩部分組成，微動部分附著于宏動部分之上使系統(tǒng)整體頻帶寬度增加，以實現(xiàn)機(jī)器人大工作空間與高精度定位。國內(nèi)外學(xué)者在宏/微雙重驅(qū)動領(lǐng)域做了大量研究工作[4-6]。文獻(xiàn)[7]設(shè)計了一種用于染色體解剖的宏/微雙重驅(qū)動機(jī)器人,宏動部分采用6-PPPS機(jī)構(gòu)，微動部分為6-PSS機(jī)構(gòu);文獻(xiàn)[8]對FAST宏/微雙重驅(qū)動機(jī)構(gòu)進(jìn)行實時運(yùn)動規(guī)劃,實現(xiàn)了末端執(zhí)行器精確軌跡跟蹤的目標(biāo)。

雙重驅(qū)動并聯(lián)機(jī)構(gòu)和一般的宏/微雙重驅(qū)動機(jī)構(gòu)有所不同,它是在并聯(lián)機(jī)構(gòu)的每個驅(qū)動分支中增加一個驅(qū)動副,使機(jī)構(gòu)自由度變?yōu)樵瓉淼?倍，但輸出自由度不變。如果這兩個驅(qū)動分別采用宏動與微動量級驅(qū)動器，則稱為宏/微雙重驅(qū)動并聯(lián)機(jī)構(gòu)。文獻(xiàn)[9]采用壓電驅(qū)動器與柔性鉸鏈設(shè)計了一種3-PUPU宏/微雙重驅(qū)動并聯(lián)機(jī)構(gòu),該機(jī)構(gòu)可進(jìn)行微米級的位置調(diào)節(jié)并有較好的振動抑制效果;文獻(xiàn)[10]分別采用壓電電機(jī)和壓電陶瓷作為宏動與微動驅(qū)動，機(jī)構(gòu)采用6-PUPU形式，達(dá)到厘米級的工作空間和納米級的定位精度；文獻(xiàn)[11-13]在Stewart平臺的P副上串聯(lián)宏/微兩重驅(qū)動(可理解為一種6-UPPS機(jī)構(gòu))，通過振動主動控制使各自由度上的擾動顯著衰減；文獻(xiàn)[14]提出了4-PSPS/PRPUR五自由度宏/微雙重驅(qū)動并聯(lián)載物臺定位機(jī)構(gòu)；文獻(xiàn)[15-17]分別對四自由度、五自由度雙重驅(qū)動并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行型綜合，豐富了雙重驅(qū)動并聯(lián)機(jī)構(gòu)構(gòu)型。將宏/微雙驅(qū)動的概念拓展，雙重驅(qū)動并聯(lián)機(jī)構(gòu)可應(yīng)用于更多需要兩種不同性質(zhì)運(yùn)動混合輸出的工況。上述各機(jī)構(gòu)，雙重驅(qū)動連接于同一串聯(lián)運(yùn)動鏈，增加了運(yùn)動鏈長度，且二級驅(qū)動一般不與機(jī)架相連，增大了一級驅(qū)動的負(fù)載，降低了機(jī)構(gòu)動力學(xué)性能。

本文設(shè)計一種分支帶閉環(huán)雙驅(qū)動單元的，可實現(xiàn)位姿運(yùn)動與振動混合輸出的六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)。雙驅(qū)動單元中兩驅(qū)動器均連接于基座，降低了驅(qū)動分支慣量，提高了機(jī)構(gòu)的動特性。機(jī)構(gòu)將位姿運(yùn)動與振動的輸入分離，合理分配雙驅(qū)動輸入量，可得到指定的混合輸出。

1　機(jī)構(gòu)特征與雙驅(qū)動分支等效形式

1.1閉環(huán)雙驅(qū)動并聯(lián)機(jī)構(gòu)特征

機(jī)構(gòu)由動平臺、基座及6條結(jié)構(gòu)相同的雙驅(qū)動分支構(gòu)成,分支以兩兩一組的形式沿圓周均布于基座上。驅(qū)動分支為(PRRPR)US機(jī)構(gòu),其中(PRRPR)為閉環(huán)雙驅(qū)動單元,以兩個P副作為驅(qū)動輸入，靠外側(cè)的驅(qū)動為第一驅(qū)動，靠內(nèi)側(cè)的驅(qū)動為第二驅(qū)動。第一驅(qū)動下端通過R副與基座鉸接于點ei(i=1,2,…,6),第二驅(qū)動沿豎直方向,設(shè)其軸線與基座交點為fi，所有ei和fi在同一水平面內(nèi)。分支上端通過S副與動平臺鉸接于點bi。機(jī)構(gòu)三維造型如圖1所示。

動平臺的位姿運(yùn)動輸出由第一驅(qū)動實現(xiàn)，振動輸出由第二驅(qū)動實現(xiàn)。通過雙驅(qū)動不同形式輸入組合，可實現(xiàn)動平臺位姿運(yùn)動與振動的混合輸出。

1.2雙驅(qū)動分支等效形式

分支中含(PRRPR)雙驅(qū)動的閉環(huán)機(jī)構(gòu),可應(yīng)用約束螺旋理論將其轉(zhuǎn)化成等效廣義運(yùn)動副[18]。

圖2　分支機(jī)構(gòu)簡圖

將圖2中閉環(huán)機(jī)構(gòu)視為具有兩個分支的并聯(lián)機(jī)構(gòu)，fiai為第一分支,eidi為第二分支。其中分支fiai的運(yùn)動螺旋為

(1)

根據(jù)$°$r=0[18]得分支fiai約束螺旋系：

(2)

同理,分支eidi的運(yùn)動螺旋系為

(3)

坐標(biāo)變量中沒有上標(biāo)i的表示常量,數(shù)值在各{i}系中相同。分支eidi約束螺旋系為

(4)

由式(2)、式(4)得閉環(huán)機(jī)構(gòu)的約束螺旋系為

(5)

則閉環(huán)單元的運(yùn)動螺旋為

(6)

注意到式(5)、式(6)數(shù)值上分別與式(2)、式(1)相同，由式(6)可知，閉環(huán)雙驅(qū)動單元等效為由一個移動副P和一個轉(zhuǎn)動副R組成的復(fù)合運(yùn)動副。分支i等效為[PR]US支鏈,對動平臺沒有約束作用。機(jī)構(gòu)桿件數(shù)n=20,運(yùn)動副數(shù)g=24,由修正的Grübler-Kutzbach公式計算機(jī)構(gòu)自由度為12,6條雙驅(qū)動分支剛好提供12個輸入,保證機(jī)構(gòu)有確定的運(yùn)動輸出。

動平臺混合運(yùn)動由位姿運(yùn)動和振動組成，根據(jù)兩種運(yùn)動的幅值分別求對應(yīng)驅(qū)動量。分析任一驅(qū)動時，另一驅(qū)動視為鎖定。單驅(qū)動瞬時閉環(huán)單元的等效形式如圖3所示。

(a)位姿運(yùn)動　(b)振動圖3　閉環(huán)雙驅(qū)動單元瞬時等效形式

圖3a所示為實現(xiàn)動平臺位姿運(yùn)動時閉環(huán)雙驅(qū)動單元的等效形式，顯然此時可等效為一個R副,分支變?yōu)镽US分支;圖3b所示為實現(xiàn)動平臺振動時閉環(huán)雙驅(qū)動單元的等效形式。式(4)變?yōu)?/p>

(7)

由式(2)、式(7)得閉環(huán)單元的約束螺旋系為

(8)

求式(8)的反螺旋，得閉環(huán)單元運(yùn)動螺旋為

(9)

可知閉環(huán)單元仍可等效為一個R副。

2　機(jī)構(gòu)混合輸出位置反解

機(jī)構(gòu)位置反解是實現(xiàn)運(yùn)動控制的基礎(chǔ)。任一瞬時，動平臺的混合運(yùn)動可分解為位姿運(yùn)動和振動兩部分。

2.1位姿運(yùn)動位置反解

以ei和fi所在平面中心為原點,建立參考坐標(biāo)系oxyz,記為{o}系,x軸與f1f2平行,z軸豎直向上;以bi所在圓的圓心為原點建立運(yùn)動坐標(biāo)系pxpypzp,記為{p}系,xp軸與b1b2平行,zp軸垂直動平臺向上。初始位置時,{p}系與{o}系對應(yīng)坐標(biāo)軸平行，如圖1所示。

bi在{o}系與{i}系的坐標(biāo)分別為

(10)

(11)

(12)

2.2振動位置反解

(13)

(14)

計算機(jī)求解式(14)速度較慢,且多數(shù)控制器一般不具有直接求解高次方程的函數(shù)，所以該方法不適用于實時伺服運(yùn)動控制。根據(jù)分支機(jī)構(gòu)運(yùn)動特點，本文設(shè)計了一種逐次逼近求解法[19]。

(15)

圖4　ci點軌跡關(guān)系圖

經(jīng)過測算,該方法效率較高。當(dāng)精度ε=0.0001 mm時,對于工作空間內(nèi)的任意位姿,最多循環(huán)25次即可得到結(jié)果,平均用時0.8 ms，滿足實時伺服控制要求。所用計算機(jī)相關(guān)配置為CPUInteli5-4570 3.2GHz,內(nèi)存2G。

3　廣義坐標(biāo)到動平臺速度和加速度的映射

任意時刻,將動平臺混合運(yùn)動的速度、加速度分解為對應(yīng)于位姿運(yùn)動和振動的兩部分

(16)

式中,VC、AC為動平臺混合運(yùn)動旋量速度、加速度；VG、AG為動平臺位姿運(yùn)動旋量速度、加速度;VV、AV為動平臺振動旋量速度、加速度。

圖5　逐次逼近法求解流程

3.1位姿運(yùn)動速度與加速度

當(dāng)動平臺處于任意位姿(Rip,ip)時,可得分支i各鉸鏈點坐標(biāo)，分支內(nèi)各運(yùn)動副螺旋可以確定，動平臺旋量速度對應(yīng)位姿運(yùn)動的部分為[20-21]

(17)

由文獻(xiàn)[22]中的推導(dǎo)可得

(18)

根據(jù)閉環(huán)輸入單元的幾何關(guān)系，可得等效驅(qū)動速度與廣義速度的關(guān)系:

(19)

將式(19)寫成矩陣形式：

(20)

將式(20)代入式(18),得到位姿運(yùn)動時廣義速度向動平臺旋量速度的線性映射:

(21)

對式(17)求導(dǎo),并根據(jù)文獻(xiàn)[22]對Hessian矩陣的推導(dǎo),得

(22)

由文獻(xiàn)[22]得

(23)

式(19)對時間求導(dǎo)得

(24)

將式(24)寫成矩陣形式

(25)

i,j=1,2,…,6

將式(20)、式(25)代入式(23)并整理得位姿運(yùn)動時廣義加速度向動平臺旋量加速度的映射:

(26)

3.2振動速度與加速度

此時等效R副輸入速度向動平臺振動部分旋量速度的線性映射關(guān)系式為

(27)

(28)

式(28)對時間求導(dǎo)得

(29)

(a)瞬時等效R副與虛設(shè)桿件(b)瞬時等效四桿機(jī)構(gòu)圖6　振動驅(qū)動閉環(huán)單元瞬時等效機(jī)構(gòu)簡圖

將式(29)寫成矩陣形式,有

(30)

將式(30)代入式(27),得振動廣義速度向動平臺振動旋量速度的線性映射為

(31)

與位姿運(yùn)動推導(dǎo)相似，動平臺振動旋量加速度映射關(guān)系為

(32)

(33)

將式(33)寫成矩陣形式得

(34)

將式(30)、式(34)代入式(32)并整理得振動廣義坐標(biāo)向動平臺振動旋量加速度的映射為

(35)

3.3混合運(yùn)動速度與加速度

將式(21)、式(26)、式(31)、式(35)代入式(16)并整理得系統(tǒng)廣義坐標(biāo)與動平臺混合運(yùn)動旋量速度、加速度的映射關(guān)系式:

(36)

4　數(shù)值算例與仿真

給定機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)如下：動平臺鉸鏈點所在圓直徑950 mm，第一驅(qū)動鉸鏈點中心所在圓直徑1103.68 mm,第二驅(qū)動鉸鏈點中心所在圓直徑805.07 mm,lac=460 mm,lbc=751 mm,{p}系相對{o}系的初始高度為700 mm。

4.1位姿運(yùn)動算例

Ryg=20°sinπt

ωyg=20°πcosπt

εyg=-20°π2sinπt

理論推導(dǎo)所得為動平臺旋量速度、旋量加速度與輸入的映射關(guān)系，所以要將動平臺運(yùn)動轉(zhuǎn)化為旋量形式。通過MATLAB計算得各分支位姿輸入的位移、速度和加速度隨時間變化曲線如圖7所示。圖7曲線表明，動平臺繞yp軸做±20°大范圍位姿運(yùn)動時，輸入的位移、速度和加速度變化平滑，變化范圍滿足常見的驅(qū)動器技術(shù)參數(shù)指標(biāo)要求，機(jī)構(gòu)具有良好的運(yùn)動特性。同時,機(jī)構(gòu)具有以較小輸入獲得較大輸出的特點。動平臺在其他自由度方向的位姿運(yùn)動也有相似的結(jié)果，篇幅所限不一一列舉。

(a)位姿輸入位移

(b)位姿輸入速度

(c)位姿輸入加速度圖7　位姿輸入規(guī)律

4.2振動算例

運(yùn)用2.2節(jié)設(shè)計的逐次逼近法計算振動位置反解,并由式(31)和式(35)計算振動輸入速度和加速度，結(jié)果如圖8所示。當(dāng)動平臺以±10°的振幅和5 Hz振動頻率繞yp軸做角振動時,振動輸入位移變化范圍為64.91 mm,最大速度為963.26 mm/s,最大加速度約為4.5g,在1個振動周期內(nèi)輸入變化較平穩(wěn),振動驅(qū)動器能夠達(dá)到這樣的指標(biāo)。在實際應(yīng)用中，一般不會出現(xiàn)±10°這樣大振幅的振動，可見該機(jī)構(gòu)在振動方面應(yīng)用空間比較廣闊。

(a)振動輸入位移

(b)掁動輸入速度

(c)振動輸入加速度圖8　振動輸入規(guī)律

4.3混合運(yùn)動算例仿真

由于機(jī)構(gòu)自由度大于輸出自由度,所以對于動平臺的任意位姿，輸入有無窮多解。為了得到唯一解，需設(shè)定求解規(guī)則。本文設(shè)定兩種求解規(guī)則，具體如下。

規(guī)則1優(yōu)先計算位姿輸入，以每一時刻位姿驅(qū)動伸長為結(jié)構(gòu)參數(shù)計算對應(yīng)時刻的振動輸入。該規(guī)則適用于振動輸入頻率高于位姿輸入頻率，且位姿驅(qū)動伸長量更容易實時獲取的場合。

以動平臺繞yp軸轉(zhuǎn)動的混合運(yùn)動為例，位姿運(yùn)動、振動和混合運(yùn)動如下(位姿運(yùn)動頻率0.5 Hz,振動頻率5 Hz)：

圖9　規(guī)則1振動輸入位移

圖10　規(guī)則1機(jī)構(gòu)混合輸出

位姿輸入如圖7a所示，對應(yīng)振動輸入如圖9所示。通過ADAMS仿真得到機(jī)構(gòu)混合運(yùn)動輸出,如圖10所示?？梢姺抡孑敵銮€與理論曲線幾乎完全重合，說明按規(guī)則1求解雙驅(qū)動匹配輸入量能夠得到指定的混合運(yùn)動輸出。

規(guī)則2優(yōu)先計算振動輸入，以每一時刻振動驅(qū)動伸長為結(jié)構(gòu)參數(shù)，計算對應(yīng)時刻位姿輸入。該規(guī)則適用于振動輸入頻率低于位姿輸入頻率，且振動驅(qū)動伸長量更容易實時獲取的場合。

給定動平臺繞yp軸轉(zhuǎn)動的運(yùn)動規(guī)律，位姿運(yùn)動、振動和混合運(yùn)動分別如下(位姿運(yùn)動頻率0.5 Hz，振動頻率0.1 Hz)：

振動輸入規(guī)律如圖11所示，對應(yīng)的位姿輸入規(guī)律如圖12所示。在ADAMS中,依據(jù)所得雙驅(qū)動輸入規(guī)律進(jìn)行仿真，得機(jī)構(gòu)混合運(yùn)動輸出曲線如圖13所示。仿真曲線仍與理論曲線重合，證明按規(guī)則2求解雙驅(qū)動輸入量同樣可以得到確定的混合運(yùn)動輸出。

圖11　規(guī)則2振動輸入

圖12　規(guī)則2位姿輸入

圖13　規(guī)則2機(jī)構(gòu)混合輸出

5　結(jié)論

①面向工程應(yīng)用領(lǐng)域?qū)Σ煌匦赃\(yùn)動混合輸出的需求，設(shè)計了分支帶閉環(huán)雙驅(qū)動單元的混合輸出六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)。②將混合運(yùn)動分離，運(yùn)用約束螺旋理論分別得到對應(yīng)位姿運(yùn)動與振動的驅(qū)動分支等效形式。③得到動平臺混合運(yùn)動關(guān)于位姿運(yùn)動和振動的位置反解關(guān)系，針對振動位置反解設(shè)計了一種逐次逼近求解法，其計算結(jié)果滿足求解精度及實時性要求，避免了求解高次方程的復(fù)雜過程。④推導(dǎo)出機(jī)構(gòu)關(guān)于12個獨立廣義坐標(biāo)的一、二階影響系數(shù)，得到廣義坐標(biāo)到動平臺混合運(yùn)動旋量速度、加速度的線性映射。為多輸入少輸出系統(tǒng)的運(yùn)動學(xué)求解提供參考。⑤數(shù)值算例證明，機(jī)構(gòu)在實現(xiàn)獨立的位姿輸出和振動輸出時，驅(qū)動特性良好，主要驅(qū)動參數(shù)滿足常規(guī)驅(qū)動器技術(shù)指標(biāo)；提出兩種雙驅(qū)動輸入分配計算規(guī)則，仿真表明兩種規(guī)則均能得到確定的混合運(yùn)動輸出。

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(編輯蘇衛(wèi)國)

Kinematic Analysis of a 6-DOF Parallel Mechanism with Closed Loop Dual-drive and Composite Output

Chen Yuhang1,2Zhao Tieshi1,2Geng Mingchao1,2Yuan Feihu1,2Li Erwei1,2

1.Hebei Provincial Key Laboratory of Parallel Robot and Mechatronic System， Yanshan University,Qinhuangdao,Hebei,066004 2.Key Laboratory of Advanced Forging & Stamping Technology and Science of Ministry of Education of China,Yanshan University,Qinhuangdao,Hebei,066004

A parallel mechanism that can accomplish 6 dimensional composite output was proposed,each leg of it had a closed-loop dual-drive unit.The equivalent form of one leg was analysed when the moving platform was under composite motion,so as the equivalent form of one leg corresponding to independent position and orientation motion and vibration.The inverse position solution about position and orientation drive and vibration drive were analysed,for inverse position solution of vibration drive,a kind of successive approximation method was designed based on the motional features of mechanism.Using screw theory the first and second order influence coefficients of all the 12 general coordinates were obtained, so the linear mapping from general inputs to screw velocity and acceleration of moving platform was obtained.Theoretical analyses of position and orientation motion drive and vibration drive were verified by numerical examples,it is indicated by the numerical simulation that composite output can accomplish through the two rules presented for dual-drive distribution.

parallel mechanism;closed-loop dual-drive;screw;composite output

2014-10-21

國家自然科學(xué)基金資助項目(51375420)

TP24；V19DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2015.20.017

陳宇航,男，1986年生。燕山大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院博士研究生。研究方向為并聯(lián)機(jī)器人技術(shù)。趙鐵石(通信作者),男,1963年生。燕山大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院教授、博士研究生導(dǎo)師。耿明超,男,1984年生。燕山大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院博士研究生。苑飛虎，男,1986年生。燕山大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院博士研究生。李二偉,男,1987年生。燕山大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院博士研究生。