機(jī)電集成電磁蝸桿傳動(dòng)在系統(tǒng)參數(shù)激勵(lì)下的穩(wěn)定性分析

關(guān)雪梅　郝秀紅

燕山大學(xué)，秦皇島，066004

機(jī)電集成電磁蝸桿傳動(dòng)在系統(tǒng)參數(shù)激勵(lì)下的穩(wěn)定性分析

關(guān)雪梅郝秀紅

燕山大學(xué)，秦皇島，066004

考慮到機(jī)電集成電磁蝸桿傳動(dòng)系統(tǒng)的參數(shù)振動(dòng)由外界的激勵(lì)產(chǎn)生，通過(guò)系統(tǒng)內(nèi)參數(shù)的周期性改變間接地實(shí)現(xiàn)，推導(dǎo)出描述參數(shù)振動(dòng)的數(shù)學(xué)模型為周期變系數(shù)的常微分方程；通過(guò)對(duì)系統(tǒng)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量波動(dòng)進(jìn)行分析可知系統(tǒng)是穩(wěn)定的；利用系統(tǒng)參數(shù)剛度矩陣和小參數(shù)導(dǎo)出系統(tǒng)微分方程，將其正則化得到系統(tǒng)微分方程的通解，進(jìn)而得到判斷因子，從而確定系統(tǒng)的動(dòng)力穩(wěn)定狀態(tài)，并用具體算例進(jìn)行了驗(yàn)證。

機(jī)電集成；電磁蝸桿傳動(dòng)；轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；嚙合剛度；穩(wěn)定性分析

0　引言

隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，多學(xué)科之間的交叉與滲透越來(lái)越深入，實(shí)現(xiàn)機(jī)、電與控制有機(jī)結(jié)合的廣義復(fù)合傳動(dòng)機(jī)構(gòu)已成為機(jī)械科學(xué)領(lǐng)域的國(guó)際性前沿課題[1-2]。本文給出了一種機(jī)電集成電磁蝸桿傳動(dòng)機(jī)構(gòu)，該機(jī)構(gòu)是電磁驅(qū)動(dòng)技術(shù)與傳統(tǒng)蝸桿傳動(dòng)技術(shù)相結(jié)合的一種新型傳動(dòng)形式，是一種有源、無(wú)接觸的廣義復(fù)合運(yùn)動(dòng)，它集蝸桿傳動(dòng)和電動(dòng)機(jī)功能于一體，進(jìn)一步增強(qiáng)了蝸輪蝸桿傳動(dòng)的功能，具有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值，可廣泛應(yīng)用于航空航天、軍事、車(chē)輛等要求結(jié)構(gòu)緊湊的領(lǐng)域。

機(jī)電集成電磁蝸桿傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的驅(qū)動(dòng)特點(diǎn)是蝸桿產(chǎn)生的環(huán)面旋轉(zhuǎn)磁場(chǎng)驅(qū)動(dòng)以多個(gè)永磁體為輪齒的蝸輪轉(zhuǎn)動(dòng)，從而帶動(dòng)支撐蝸輪的輸出軸轉(zhuǎn)動(dòng)而實(shí)現(xiàn)低速大扭矩的動(dòng)力輸出。參數(shù)振動(dòng)由外界的激勵(lì)產(chǎn)生，但激勵(lì)不是以外力形式施加于系統(tǒng)，而是通過(guò)系統(tǒng)內(nèi)參數(shù)的周期性改變間接地實(shí)現(xiàn)。由于參數(shù)具有時(shí)變性，所以參數(shù)振動(dòng)系統(tǒng)為非自治系統(tǒng)。描述參數(shù)振動(dòng)的數(shù)學(xué)模型為周期變系數(shù)的常微分方程，對(duì)參數(shù)振動(dòng)的研究歸結(jié)于對(duì)時(shí)變系統(tǒng)常微分方程組零解穩(wěn)定性的研究。

1　轉(zhuǎn)動(dòng)慣量波動(dòng)分析

機(jī)電集成電磁蝸桿傳動(dòng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1所示，該機(jī)構(gòu)由中心環(huán)形蝸桿及裝有永磁齒的蝸輪組成。中心環(huán)面蝸桿上均勻分布著螺旋槽，槽內(nèi)安放電磁線圈。當(dāng)線圈內(nèi)通以三相交流電時(shí)產(chǎn)生交變磁場(chǎng)，磁場(chǎng)力驅(qū)動(dòng)蝸輪轉(zhuǎn)動(dòng)，輸出轉(zhuǎn)矩。傳動(dòng)系統(tǒng)中，蝸輪圍繞其支撐軸旋轉(zhuǎn)，由于存在安裝、制造誤差，蝸輪質(zhì)心不可能恰好位于支撐軸軸心位置，這導(dǎo)致了蝸輪回轉(zhuǎn)中心會(huì)發(fā)生周期性波動(dòng)，從而使得其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量產(chǎn)生周期性波動(dòng)，波動(dòng)幅值ΔMp與蝸輪質(zhì)量以及蝸輪偏心距有關(guān)。波動(dòng)頻率ωr與蝸輪回轉(zhuǎn)速度有關(guān)。圖1中，φv代表蝸桿的齒冠角。

圖1　電磁蝸桿傳動(dòng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意圖

設(shè)蝸輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量呈正弦規(guī)律波動(dòng)，則當(dāng)ΔM=ΔMpcosωrt時(shí)，系統(tǒng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)微分方程為[3-4]

(1)

式中，K為系統(tǒng)剛度矩陣；M為質(zhì)量矩陣；x為位移矩陣。

由于轉(zhuǎn)動(dòng)慣量波動(dòng)幅值很小，故可將式(1)正則化后寫(xiě)為

(2)

MN=diag(MN1,1,MN2,2,…,MNi,i,…,MN3m+1,3m+1)

ΔMN=cosωrt·

diag(ΔMN1,1,ΔMN2,2,…,ΔMNi,i,…,ΔMN3m+1,3m+1)

由ΔMN的形式可知，前三項(xiàng)旋轉(zhuǎn)模態(tài)所對(duì)應(yīng)的元素不為零，其他位置元素為零，即蝸輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的波動(dòng)對(duì)蝸輪及蝸桿模態(tài)沒(méi)有影響[5-6]，即

(3)

對(duì)式(3)進(jìn)行簡(jiǎn)化、變形和展開(kāi)處理可得

(4)

設(shè)

(5)

對(duì)式(4)進(jìn)一步化簡(jiǎn)可得

(6)

式(6)為比較典型的擬周期馬蒂厄方程，式(6)的通式可寫(xiě)為

(7)

當(dāng)ε=0時(shí)，為確保線性保守系統(tǒng)的周期解等于π或2π，必須有δ=n2(n=0,1,…)，分別對(duì)應(yīng)于線性無(wú)關(guān)的特解sinnt和cosnt，除n=0時(shí)的周期解為常數(shù)值以外，n為偶數(shù)時(shí)周期為π，n為奇數(shù)時(shí)周期為2π。利用林滋泰德-龐加萊攝動(dòng)法，將式(7)的解x(t)和參數(shù)δ都展開(kāi)成ε的冪級(jí)數(shù)，經(jīng)過(guò)求解可得[7]

(8)

進(jìn)一步計(jì)算可得n取不同值時(shí)δ的表達(dá)式。

由以上討論可得到如下結(jié)論：當(dāng)ωr≈ωi時(shí),δ≈4，在δ>4+11ε2/48+…,δ<4-7ε2/48+…范圍內(nèi)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。當(dāng)ωr≈2ωi時(shí)，δ≈1，在δ>1+ε/2-ε2/32+…,δ<1-ε/2-ε2/32+…范圍內(nèi)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

當(dāng)ωr≈2ωi/3時(shí)，n≈3，此時(shí)的穩(wěn)定邊界線近似為一條線，所以系統(tǒng)始終是穩(wěn)定的，系統(tǒng)穩(wěn)定圖見(jiàn)圖2。

圖2　系統(tǒng)穩(wěn)定圖

由上文分析可知，當(dāng)n逐漸增大時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量參數(shù)激勵(lì)對(duì)系統(tǒng)影響的穩(wěn)定區(qū)域越來(lái)越大，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量參數(shù)激勵(lì)頻率越低，系統(tǒng)越穩(wěn)定。當(dāng)n≥3時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定邊界線近似是一條直線，此時(shí)系統(tǒng)總是穩(wěn)定的。當(dāng)n>7(ωr<75 rad/s)時(shí)，系統(tǒng)總是處于穩(wěn)定的狀態(tài)。

ΔMp是轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)慣量波動(dòng)幅值，其大小決定了小參數(shù)ε的大小。所以考察小參數(shù)ε對(duì)于系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，即可以反映慣量波動(dòng)幅值ΔMp的影響，由圖2可知當(dāng)小參數(shù)ε增大時(shí)，不穩(wěn)定區(qū)域?qū)?huì)增大，系統(tǒng)穩(wěn)定性變差,當(dāng)小參數(shù)ε減小時(shí)，不穩(wěn)定區(qū)域?qū)?huì)減小，系統(tǒng)穩(wěn)定性變好。

根據(jù)以上理論分析，下面計(jì)算當(dāng)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)慣量激勵(lì)頻率ωr≈2ω1時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。當(dāng)ωr為300 rad/s、600 rad/s、1120 rad/s，ΔMNi,i/MNi,i=0.1時(shí)，系統(tǒng)3階旋轉(zhuǎn)模態(tài)固有圓頻率分別為295 rad/s、518.5 rad/s、1125.3 rad/s。將上面數(shù)據(jù)代入式(5)得參數(shù)值如表1所示。將表1的數(shù)據(jù)代入相應(yīng)公式可得當(dāng)ωr為300 rad/s、600 rad/s、1120 rad/s時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定狀態(tài)值在不同固有圓頻率范圍內(nèi)的取值，見(jiàn)表2。

表1　算例系統(tǒng)方程的參數(shù)δ和ε

表2　算例系統(tǒng)穩(wěn)定性參數(shù)δi,j和εi,j

由表1和表2各參數(shù)可知，當(dāng)ωr=2ω1時(shí)系統(tǒng)各頻率對(duì)應(yīng)的狀態(tài)點(diǎn)均處于穩(wěn)定區(qū)域內(nèi)。系統(tǒng)的穩(wěn)定圖見(jiàn)圖3，可以看出此時(shí)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

2　嚙合剛度波動(dòng)的穩(wěn)定性分析

(a)ωr=300 rad/s

(b)ωr=600 rad/s

(c)ωr=1120 rad/s圖3　轉(zhuǎn)子慣量波動(dòng)激勵(lì)下機(jī)械系統(tǒng)穩(wěn)定圖

電磁蝸桿傳動(dòng)系統(tǒng)中蝸輪運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)與蝸桿間的嚙合齒對(duì)數(shù)呈周期性變化，蝸輪其他方向的支撐剛度不發(fā)生變化，同時(shí)由于安放電磁線圈的蝸桿被約束，不發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)，因此除蝸輪扭轉(zhuǎn)振動(dòng)外，本文不考慮蝸桿及蝸輪其他方向的振動(dòng)情況，且假設(shè)蝸桿與蝸輪間的包角為90°，蝸輪與蝸桿間嚙合輪齒對(duì)數(shù)的變化如圖4所示[8]，其中，k為嚙合剛度，θ為包角。

圖4　蝸輪與蝸桿間嚙合輪齒對(duì)數(shù)的變化圖

由圖4可知，蝸輪與蝸桿嚙合剛度呈方波形式變化，嚙合剛度函數(shù)可表示為如下的方波形式:

(9)

當(dāng)蝸輪旋轉(zhuǎn)角-5°<θp≤5°時(shí)，蝸輪扭轉(zhuǎn)振動(dòng)運(yùn)動(dòng)微分方程為

(10)

式中，Mp為系統(tǒng)主質(zhì)量矩陣。

將式(10)整理可得

(11)

式(11)的通解為

u1=Asinω1t+Bcosω1t

(12)

當(dāng)蝸輪旋轉(zhuǎn)角5°≤θp≤40°或-40°≤θp≤-5°時(shí)，蝸輪扭轉(zhuǎn)振動(dòng)運(yùn)動(dòng)微分方程為

(13)

將式(13)整理可得

(14)

式中，γ為蝸輪與蝸桿接觸點(diǎn)的導(dǎo)程角。

式(14)的通解為

u2=Csinω2t+Dcosω2t

(15)

積分常數(shù)A、B、C、D滿足解的連續(xù)性及正規(guī)解條件：

(16)

將式(12)和式(15)代入式(16)可得

(17)

從A、B、C、D的非零解條件導(dǎo)出σ應(yīng)滿足的本征方程如下：

σ2-2aσ+1=0

(18)

從式(18)解出本征值為

下面分幾種情況進(jìn)行討論：

(1)當(dāng)|a|>1時(shí)，σ1、σ2中肯定有一個(gè)根的值大于1，其對(duì)應(yīng)的解是無(wú)界的，且系統(tǒng)零解不穩(wěn)定。

(2)當(dāng)|a|<1時(shí)，σ1、σ2為共軛復(fù)根，由于σ1·σ2=1，因此共軛復(fù)根的?？隙ǖ扔?，方程的基本解是有界的，且系統(tǒng)零解穩(wěn)定。

(3)當(dāng)|a|=1時(shí)，σ1=σ2=±1為重根，其解是以T或2T為周期的周期解，是介于穩(wěn)定與不穩(wěn)定之間的臨界情形。

代入樣機(jī)系統(tǒng)參數(shù)就可得到剛度呈方波變化的系統(tǒng)微分方程，將其正則化得到如式(11)和式(16)所示的系統(tǒng)微分方程的通解，代入式(18)進(jìn)而得判斷因子|a|，從而確定系統(tǒng)的動(dòng)力穩(wěn)定狀態(tài)[9]。

改變蝸輪與蝸桿的包角，蝸輪與蝸桿嚙合過(guò)程中嚙合齒對(duì)數(shù)及嚙合時(shí)間會(huì)發(fā)生變化。假設(shè)蝸輪與蝸桿之間的包角為φv。蝸輪上安裝有z個(gè)齒，系統(tǒng)設(shè)計(jì)需要φv>360°/z，這里先假定φv<720°/z，即嚙合過(guò)程中是單對(duì)齒與雙對(duì)齒的嚙合，則傳動(dòng)過(guò)程中嚙合剛度變化情況為

(19)

由上述分析可知，式(11)和式(14)中積分常數(shù)A、B、C、D滿足解的連續(xù)性及正規(guī)解條件，即

(20)

將式(12)和式(15)代入式(20)可得

從A、B、C、D的非零解條件導(dǎo)出σ應(yīng)滿足的本征方程如下：

σ2-2aσ+1=0

以蝸輪永磁體個(gè)數(shù)取8為例，改變包角φv大小，此時(shí)判斷因子a的變化情況如圖5所示。

(a)z=6

(b)z=8

(c)z=10

(d)z=12圖5　判斷因子a的變化圖

由圖5可知，當(dāng)蝸輪上安裝有6、8、10、12個(gè)磁極，且蝸輪與蝸桿間的包角在π/4到π/2之間變化時(shí)，判斷因子a的絕對(duì)值小于1，因此系統(tǒng)始終是穩(wěn)定的。其中，當(dāng)蝸輪齒數(shù)為10時(shí)判斷因子a的絕對(duì)值較大，接近于1，其他蝸輪齒數(shù)分別為6、8、12時(shí)判斷因子a的值較小。

判斷因子a的絕對(duì)值小于1時(shí)，其值越小，系統(tǒng)穩(wěn)定性越好，相反則系統(tǒng)穩(wěn)定性越差。根據(jù)上述推導(dǎo)的公式及其變化規(guī)律，可進(jìn)行系統(tǒng)穩(wěn)定性判斷和優(yōu)化參數(shù)的選取。

3　結(jié)語(yǔ)

機(jī)電集成電磁蝸桿傳動(dòng)系統(tǒng)內(nèi)參數(shù)的周期性改變是由外界的激勵(lì)產(chǎn)生的，描述參數(shù)振動(dòng)的數(shù)學(xué)模型為周期變系數(shù)的常微分方程，對(duì)參數(shù)振動(dòng)的研究歸結(jié)于對(duì)時(shí)變系統(tǒng)常微分方程組零解穩(wěn)定性的研究。通過(guò)對(duì)系統(tǒng)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量波動(dòng)分析可知系統(tǒng)是穩(wěn)定的；利用系統(tǒng)參數(shù)剛度矩陣和小參數(shù)導(dǎo)出系統(tǒng)微分方程，將其正則化得到系統(tǒng)微分方程的通解，進(jìn)而得到判斷因子，從而確定系統(tǒng)的動(dòng)力穩(wěn)定狀態(tài)，并用具體算例進(jìn)行了驗(yàn)證。

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(編輯王艷麗)

Stability Analysis for Electromechanical Integrated Electromagnetic Worm Drive under Parameter Excitation

Guan XuemeiHao Xiuhong

Yanshan University，Qinhuangdao，Hebei，066004

The parametric vibration of electromechanical integrated electromagnetic worm drive was caused by external excitation,and indirectly realized through the system internal parameters of periodic changes. The mathematical model describing parameter vibration was an ordinary differential equation of periodic variable coefficient. The system was stable through the rotational inertia fluctuation analysis.The system differential equation was derived by using system parameters of stiffness matrix and a small parameter,and the general solution was obtained by regularization,the determine factors were obtained, the dynamic stability status of the system was confirmed and verified by an example.

electromechanical integration; electromagnetism worm drive; rotational inertia; meshing stiffness; stability analysis

2013-07-25

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51075350)；秦皇島市科技支撐計(jì)劃資助項(xiàng)目(2012021A055)

TH113.1DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2015.05.017

關(guān)雪梅，女，1971年生。燕山大學(xué)車(chē)輛與能源學(xué)院高級(jí)工程師、博士。研究方向?yàn)榇帕C(jī)械。發(fā)表論文6篇。郝秀紅，女，1979年生。燕山大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院副教授、博士。