基于碟形砂輪磨齒的面齒輪齒面主動設(shè)計方法

郭輝，項云飛，趙寧

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基于碟形砂輪磨齒的面齒輪齒面主動設(shè)計方法

郭輝，項云飛，趙寧

(西北工業(yè)大學(xué)機(jī)電學(xué)院，陜西西安，710072)

基于局部綜合法、雙層優(yōu)化法以及碟形砂輪展成磨削原理，提出面齒輪齒面的主動設(shè)計方法。通過砂輪齒廓修形參數(shù)的優(yōu)化獲得預(yù)設(shè)幅值和形狀對稱的傳動誤差函數(shù)；通過對砂輪的多軸數(shù)控運(yùn)動控制獲得預(yù)期的齒向修形模式。研究結(jié)果表明：該方法使設(shè)計人員能夠按照要求的傳動性能來設(shè)計面齒輪齒面的形狀，并可在數(shù)控磨齒機(jī)上進(jìn)行加工；齒面主動設(shè)計能保證面齒輪副的傳動誤差和接觸路徑滿足預(yù)先設(shè)計的要求。

面齒輪；主動設(shè)計；碟形砂輪；磨齒；接觸印痕；傳動誤差

面齒輪傳動具有結(jié)構(gòu)緊湊、安裝調(diào)整方便、傳動比大的優(yōu)點(diǎn)[1]。據(jù)報道，已應(yīng)用于直升機(jī)的主傳動系統(tǒng)與弧齒錐齒輪相比，能顯著降低分扭傳動系統(tǒng)的重力并提高承載能力。在面齒輪傳動的設(shè)計與加工方面，國內(nèi)外已有不少學(xué)者進(jìn)行相關(guān)研究。為了獲得傳動穩(wěn)定性并避免邊緣接觸，Litvin等[2]提出了使用碟形砂輪對直齒面齒輪傳動中的小齒輪進(jìn)行雙冠修形的方法，實(shí)現(xiàn)預(yù)置拋物線傳動誤差，消除齒頂邊緣接觸，同時使接觸軌跡發(fā)生傾斜，增大了重合度，但當(dāng)有安裝誤差時會出現(xiàn)不一致的接觸橢圓和不均勻接觸線移動。Zanzi等[3]研究了通過碟形砂輪對小齒輪進(jìn)行雙冠修形的方法，控制修形因數(shù)和磨齒加工運(yùn)動參數(shù)來改變面齒輪接觸印痕的位置和方向，并獲得拋物線傳動誤差。Tsay等[4]基于鍛造成型技術(shù)對面齒輪齒面進(jìn)行雙向修形，該方法可以靈活地控制接觸印痕的傾斜角度和重合度以及傳動誤差幅值，但不適合于齒輪切削加工。采用碟形砂輪[5?6]磨削面齒輪具有結(jié)構(gòu)簡單、設(shè)計制造方便且不受面齒輪設(shè)計參數(shù)限制的優(yōu)點(diǎn)。郭輝 等[7]在5坐標(biāo)曲面磨床上利用碟形砂輪進(jìn)行了面齒輪的磨削實(shí)驗(yàn)，齒面偏差達(dá)到了21 μm以下。Tang等[8]研究了利用碟形砂輪磨削修形面齒輪的原理，擴(kuò)展了其應(yīng)用。此外，Wang等[9?10]采用了輪齒承載接觸分析的方法來研究面齒輪的嚙合特性。吳訓(xùn)成等[11]提出了基于功能需求的齒面主動設(shè)計方法，可以直接設(shè)計齒面嚙合過程中的接觸跡線、接觸橢圓長軸尺寸及傳動的高階加速度。彭先龍等[12]通過構(gòu)造圓柱齒輪拓?fù)湫扌锡X面的方式對面齒輪傳動進(jìn)行了主動設(shè)計，預(yù)設(shè)了接觸性能。本文提出點(diǎn)嚙合面齒輪的主動設(shè)計方法：以傳動誤差曲線和接觸印痕等指標(biāo)為目標(biāo)，采用雙層優(yōu)化法和局部接觸綜合法，通過對5軸聯(lián)動數(shù)控磨齒機(jī)加工參數(shù)的設(shè)計調(diào)整，保證加工出的齒面在整個嚙合過程中滿足預(yù)置的傳動誤差和接觸印痕要求，從而實(shí)現(xiàn)對齒面嚙合質(zhì)量的全程控制。

1 碟形砂輪磨削面齒輪的原理

1.1 面齒輪磨齒的展成運(yùn)動

碟形砂輪加工面齒輪的磨齒原理如圖1所示。從圖1可見：碟形砂輪在2個不同時刻的位置，其中面齒輪與虛擬小齒輪相嚙合，虛擬小齒輪與碟形砂輪齒形相配合，因此，碟形砂輪能夠與面齒輪正確嚙合。為了應(yīng)用這種加工方法磨削面齒輪，所用碟形砂輪的軸截面齒廓應(yīng)該與虛擬小齒輪的端面齒廓一致。在磨削面齒輪時，緩慢變化砂輪的安裝角并將軸和軸插補(bǔ)，此時砂輪的軸截面齒廓便可看作1個旋轉(zhuǎn)的很薄的小齒輪。與此同時，面齒輪按照傳動比規(guī)律繞其回轉(zhuǎn)軸作相應(yīng)的轉(zhuǎn)動，從而模擬了面齒輪與1個很薄的小齒輪之間的嚙合，即展成運(yùn)動。

圖1 碟形砂輪的磨齒加工原理圖

1.2 磨齒進(jìn)給運(yùn)動

由于所用碟形砂輪的軸截面齒廓與虛擬小齒輪的端面齒廓一致，這樣在某個加工位置，碟形砂輪與虛擬小齒輪之間形成線接觸，而虛擬小齒輪和面齒輪之間也為線接觸，此時碟形砂輪與面齒輪之間為點(diǎn)接觸，接觸點(diǎn)為2條接觸線的交點(diǎn)。

為了實(shí)現(xiàn)對面齒輪整個齒面的包絡(luò)，需要面齒輪在2個方向上進(jìn)行進(jìn)給。本文作者采取的進(jìn)給運(yùn)動為：固定機(jī)床的軸角度，讓砂輪在虛擬小齒輪軸線方向上(圖1所示軸方向)作往復(fù)運(yùn)動，此時砂輪模擬某個時刻處的虛擬小齒輪齒面(若虛擬小齒輪為斜齒輪，在碟形砂輪作平行于機(jī)床軸的運(yùn)動時，砂輪應(yīng)繞機(jī)床軸轉(zhuǎn)動?，面齒輪也應(yīng)做相應(yīng)的補(bǔ)償轉(zhuǎn)動)，碟形砂輪在面齒輪齒寬方向上連續(xù)磨削1次，形成面齒輪齒面上的1個帶狀區(qū)域；然后改變砂輪安裝角度，再次讓砂輪沿面齒輪齒寬方向上連續(xù)磨削，則可以形成一系列帶狀區(qū)域，由這些帶狀區(qū)域構(gòu)成面齒輪的整個齒面。砂輪中心的沿齒寬方向的進(jìn)給運(yùn)動，獨(dú)立于砂輪改變安裝角的展成運(yùn)動。

2 面齒輪的齒面主動設(shè)計

采用碟形砂輪展成加工面齒輪，并進(jìn)行齒面雙向修形，以實(shí)現(xiàn)對面齒輪齒面接觸印痕和傳動誤差的控制。其中，傳遞誤差由對碟形砂輪的齒廓修整來實(shí)現(xiàn)，齒向修形即承載接觸的局部化通過控制碟形砂輪中心的運(yùn)動規(guī)律來實(shí)現(xiàn)。

2.1 碟形砂輪軸截面齒廓的修形

圖2所示為碟形砂輪的軸截面齒廓。碟形砂輪加工面齒輪的工作面是1個旋轉(zhuǎn)曲面，其產(chǎn)形線為軸截面齒廓(如圖2中粗實(shí)線所示)，它與虛擬小齒輪的端面齒廓相同。

圖2 碟形砂輪的軸截面齒廓

圖3所示為碟形砂輪軸截面齒廓的修形。從圖3可見：未修形的碟形砂輪1側(cè)的軸截面齒廓是1條漸開線，記為。在坐標(biāo)系s中其位矢和法矢可表示為

(2)

式中：s和s分別為法截面齒廓上每點(diǎn)的位置矢量及法向量；為漸開線展角參數(shù)；為漸開線初始角；bs為虛擬小齒輪的基圓半徑。

圖3 碟形砂輪軸截面齒廓的修形

圖4所示為砂輪軸截面齒廓的修形拋物線。從圖4可見：對碟形砂輪軸截面的齒廓沿法線方向按拋物線規(guī)律修形，即齒廓上任意點(diǎn)s處的修形量為

其中：sp為上修形參考點(diǎn)的位矢；cs為修形系數(shù)，用于控制修形程度。

修形后碟形砂輪軸向齒廓g的方程為

2.2 修形碟形砂輪齒面方程

圖5所示為砂輪齒面生成坐標(biāo)系。從圖5可見：將前面修形后的砂輪齒廓表示在坐標(biāo)系f下，再將其繞d軸旋轉(zhuǎn)則可以得到砂輪的齒面。坐標(biāo)系d與砂輪固聯(lián)，坐標(biāo)系c和s與虛擬小齒輪固聯(lián)，f為輔助坐標(biāo)系，為砂輪齒面旋轉(zhuǎn)參數(shù)。

(a) 碟形砂輪截面圖；(b) 截面旋轉(zhuǎn)運(yùn)動關(guān)系圖

前面修形砂輪齒廓在坐標(biāo)系S下的方程為

式中：cs為從坐標(biāo)系s到坐標(biāo)系c的坐標(biāo)變換矩陣，為半個齒距角。

砂輪齒面方程可表示為

式中：dc為從輔助坐標(biāo)系c到碟形砂輪坐標(biāo)系d的坐標(biāo)變換矩陣。

2.3 砂輪包絡(luò)面齒輪的坐標(biāo)系統(tǒng)

砂輪加工面齒輪的坐標(biāo)系統(tǒng)如圖6所示。從圖6可見：2與面齒輪固聯(lián)；d與碟形砂輪固聯(lián)；t與虛擬小齒輪固聯(lián)；m，a和g為輔助坐標(biāo)系；m和a與機(jī)架固聯(lián)；和分別為碟形砂輪和面齒輪的轉(zhuǎn)角，，2s為給定的傳動比；0為面齒輪坐標(biāo)系原點(diǎn)2到虛擬小齒輪坐標(biāo)系原點(diǎn)t的距離；g為碟形砂輪中心的齒向位置參數(shù)(即進(jìn)給運(yùn)動參數(shù))；d為砂輪中心到虛擬小齒輪中心的距離；?與?分別為砂輪在進(jìn)給運(yùn)動時，砂輪中心在砂輪固聯(lián)坐標(biāo)系d的d軸和d軸方向作拋物線補(bǔ)償運(yùn)動的進(jìn)給量。

(a) 產(chǎn)形齒輪與面齒輪之間的坐標(biāo)關(guān)系；(b) 砂輪的運(yùn)動坐標(biāo)系

2.4 無齒向修形的面齒輪齒面

若不考慮齒向修形，即在砂輪作進(jìn)給運(yùn)動時砂輪中心在d軸和d軸方向不作拋物線補(bǔ)償運(yùn)動，通過砂輪雙參數(shù)包絡(luò)的面齒輪齒面記為。在坐標(biāo)系2中碟形砂輪齒面的曲面族可表示為

式中：2d為d到2的坐標(biāo)變換矩陣；和為砂輪齒面參數(shù)；g為砂輪沿小齒輪軸向運(yùn)動參數(shù)；為砂輪轉(zhuǎn)動角度參數(shù)。

砂輪與面齒輪間的嚙合點(diǎn)必須同時滿足下面的嚙合方程：

(9)

2.5 齒面主動設(shè)計與砂輪運(yùn)動控制

圖7所示為面齒輪齒面旋轉(zhuǎn)投影。從圖7可見：將齒向未修形面齒輪齒面旋轉(zhuǎn)投影在1個通過面齒輪軸線2的平面上，并在齒面上預(yù)置1點(diǎn)來控制接觸路徑的位置。點(diǎn)可以由以下2個條件確定：1)點(diǎn)位于面齒輪齒寬中點(diǎn)；2) 在齒面包絡(luò)過程中點(diǎn)與砂輪修形參考點(diǎn)相嚙合。以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立投影坐標(biāo)系g，則面齒輪齒面上任意1點(diǎn)在g中的投影坐標(biāo)為

式中：2，2和2為齒面上任意一點(diǎn)在2中的坐標(biāo)，2m，2m和2m為點(diǎn)在2中的坐標(biāo)。

圖7 面齒輪齒面旋轉(zhuǎn)投影

Fig. 7 Face gear profile for coordinate system

根據(jù)Litvin等[13]提出的局部接觸綜合法，可以通過預(yù)置的位置及接觸路徑的方向，確定1條完整的接觸路徑，并通過調(diào)整機(jī)床加工參數(shù)，改善嚙合和接觸的狀態(tài)。這里引入傾斜角參數(shù)控制接觸路徑的方向，則接觸路徑上任1點(diǎn)M滿足

從圖7還可見：在瞬時接觸線L上另取1點(diǎn)K，使K距M的距離為F，F為預(yù)置接觸橢圓長軸長度。用與M同樣的方法求出點(diǎn)，再獲得K點(diǎn)處的面齒輪齒面法向量，表示在砂輪固聯(lián)坐標(biāo)系d下為，表示砂輪與面齒輪在K相接觸時對應(yīng)砂輪齒面的法向量。

通過沿面齒輪齒面上的瞬時接觸線L方向?qū)X面進(jìn)行齒向修形。以M點(diǎn)為拋物線修形頂點(diǎn)，取K處的法向修形量為，這里取GLEASON公司推薦值0.007 62 mm[4]。為了達(dá)到修形效果，在砂輪沿齒向進(jìn)給運(yùn)動過程中，令砂輪中心在砂輪固聯(lián)坐標(biāo)系d的d軸和d軸方向作拋物線補(bǔ)償運(yùn)動來實(shí)現(xiàn)。

引入碟形砂輪中心的補(bǔ)償運(yùn)動可表示為

式中：f為齒向修形拋物線系數(shù)；為修形方向參數(shù)；g0為拋物線頂點(diǎn)位置參數(shù)。

已知K點(diǎn)處的法向修形量為，將其分解到齒面上該點(diǎn)法向量dki的各個方向上。則有

其中：gki與gmi分別是K點(diǎn)和M點(diǎn)對應(yīng)的砂輪齒向運(yùn)動參數(shù)；dkix與dkiz是砂輪與面齒輪在K點(diǎn)接觸時砂輪齒面的法向量分量。

則可以確定3個拋物線運(yùn)動參數(shù)

根據(jù)上述3個參數(shù)控制砂輪中心的運(yùn)動軌跡，可以將砂輪擺角為時對應(yīng)的面齒輪齒面上瞬時接觸線L以M點(diǎn)對稱修形。依次變化砂輪安裝角度，控制砂輪進(jìn)給并在和軸上作補(bǔ)償修形運(yùn)動，則可實(shí)現(xiàn)預(yù)期方式的齒向修形，得到齒向修形后面齒輪齒面。

3 優(yōu)化傳動誤差

3.1 輪齒接觸分析

輪齒接觸分析是將2個連續(xù)嚙合齒面的嚙合過程進(jìn)行計算機(jī)模擬，以獲得2齒輪的嚙合性能。圖8所示為齒面接觸分析坐標(biāo)系統(tǒng)。圖8中：1和2分別與標(biāo)準(zhǔn)小齒輪和面齒輪固聯(lián)；f為整體固定坐標(biāo)系；a和b為兩輔助坐標(biāo)系；?為面齒輪的軸向安裝誤差；?為偏置誤差；為軸交角誤差。

(a) 坐標(biāo)系S1與Sf；(b) 坐標(biāo)系S2與Sa； (c) 坐標(biāo)系Sa與Sb；(d) 坐標(biāo)系Sb與Sf

通過坐標(biāo)變換將修形面齒輪和小斜齒輪變換到坐標(biāo)系f下，則有

根據(jù)齒輪嚙合原理[14]，修形面齒輪和圓柱齒輪進(jìn)行點(diǎn)嚙合傳動，在嚙合傳動過程中滿足以下方程：

(16)

在上述的方程中，可以通過分解得到包含7個方程的非線性方程組，通過給定一系列，代入方程組(16)進(jìn)行求解，則可以得到每1個相對應(yīng)的和。

3.2 傳動誤差曲線優(yōu)化

由于實(shí)際傳動誤差曲線一般為2次以上(含高階項，如3次項、4次項)曲線，因此，難以通過雙參數(shù)控制實(shí)際傳動誤差與預(yù)置傳動誤差曲線的吻合，本文通過雙層優(yōu)化法對傳動誤差曲線進(jìn)行優(yōu)化。在內(nèi)層優(yōu)化中，使傳動誤差曲線2側(cè)幅值盡可能相等，因而建立幅值對稱度目標(biāo)函數(shù)：

圖9 傳動誤差曲線優(yōu)化

Fig. 9 Optimization for transmission errors curve

在外層優(yōu)化中，令傳動誤差曲線最大幅值等于預(yù)設(shè)值，可通過拋物線形狀優(yōu)化參數(shù)來調(diào)節(jié)傳遞誤差曲線的幅值。建立幅值吻合度目標(biāo)函數(shù)：

在每1層優(yōu)化計算中都只有1個優(yōu)化設(shè)計變量，因此，使用一維優(yōu)化計算程序即可求解式(18)及式(19)。

4 算例分析

由本文作者方法對某一直齒面齒輪齒面進(jìn)行設(shè)計，與標(biāo)準(zhǔn)小齒輪進(jìn)行輪齒接觸分析，其齒輪副的設(shè)計參數(shù)如表1所示。

表1 面齒輪副設(shè)計參數(shù)

通過預(yù)置傳動誤差幅值和接觸痕跡進(jìn)行面齒輪齒面的主動設(shè)計，進(jìn)行齒輪接觸分析(TCA)，分析結(jié)果如圖10和圖11所示。從圖10可以看出：其設(shè)計結(jié)果中的接觸印痕位置和方向基本達(dá)到預(yù)置要求，該主動設(shè)計方法實(shí)現(xiàn)了對接觸痕跡的控制。從圖11可以看出：3種不同情況下的傳遞誤差曲線左右兩側(cè)幅值基本相等，非常接近預(yù)設(shè)值10″。由此可見，該主動設(shè)計方法實(shí)現(xiàn)了對傳動誤差曲線的主動設(shè)計。

(a) μ=30°, Fa=4 mm; (b) μ=45°, Fa=3 mm; (c) μ=45°, Fa=4 mm; (d) μ=45°, Fa=5 mm; (e) μ=60°, Fa=4 mm.

(a) μ=30°, Fa=4 mm; (b) μ=45°, Fa=4 mm; (c) μ=60°, Fa=4 mm.

為了研究和分析該設(shè)計方法對安裝誤差的敏感性，取=30°，a=4 mm，將上述修形后的面齒輪與標(biāo)準(zhǔn)小圓柱齒輪進(jìn)行有安裝誤差的TCA分析。令面齒輪軸向安裝誤差?=0.2 mm，偏置距安裝誤差?=0.05 mm，軸交角安裝誤差?=0.05°，其嚙合印痕及安裝誤差如圖12所示。由圖12可知：經(jīng)修形后的面齒輪傳動避免安裝誤差下的邊緣接觸，且嚙合印痕的位置和方向?qū)Π惭b誤差的敏感性很??；由于安裝誤差引入了線性的傳動誤差，會導(dǎo)致傳動誤差曲線幅值一側(cè)增加，一側(cè)減小。

(a) 嚙合印痕；(b) 傳動誤差曲線.

5 結(jié)論

1)基于局部綜合法和雙層優(yōu)化法建立了面齒輪的主動設(shè)計方法。通過對碟形砂輪軸截面齒廓修形量的優(yōu)化，使面齒輪傳動誤差滿足設(shè)計要求；通過齒向的修形優(yōu)化，使接觸印痕的位置和傾斜方向達(dá)到預(yù)定要求，重合度也得到提高。

2) 主動設(shè)計的面齒輪傳動避免了邊緣接觸，且接觸印痕對安裝誤差的敏感性較小，傳動誤差能夠吸收安裝誤差引起的線性誤差。

3) 對面齒輪進(jìn)行主動設(shè)計，達(dá)到齒面嚙合質(zhì)量的全程控制，對于高速和重載傳動場合具有重要的意義。

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Tooth surface function-oriented design of face gear based on grinding disk

GUO Hui, XIANG Yunfei, ZHAO Ning

(School of Mechatronics, Northwestern Polytechnical University, Xi’an 710072, China)

A function-oriented design method for face geartooth surface was proposed based onlocalsynthesis method, double-optimization method and the disk wheel generating grinding principle. A predesigned symmetrical parabolic function of transmission errors with given amplitude was obtained by optimization of modification parametersfor thegrinding wheeltooth profile, and a desiredmodificationmode in longitudinal direction was obtained bycontrolling computer numerical control (CNC) multi-axismotions. The results show that this methodenables designers to designthe tooth surface oftheface gearaccording to performance requirements, and to finish processing of face gears on a CNC grinding machine. The function-oriented designmethod canmake thetransmission errorsandtooth contact paths satisfythe design requirements.

face gear; function-oriented design; disk wheel; tooth grinding; contact mode; transmission error

10.11817/j.issn.1672-7207.2015.07.011

TH132.41

A

1672?7207(2015)07?2459?08

2014?06?18；

2014?08?08

國家自然科學(xué)基金資助項目(51105307，51075328)；陜西省自然科學(xué)基金資助項目(2014JM7242)；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項資金資助項目(3108251511333)；高等學(xué)校學(xué)科創(chuàng)新引智計劃項目(B13044) (Projects(51105307, 51075328) supported by the National Science Foundation of China; Project(2014JM7242) supported by the Natural Science Foundation of Shaanxi Province; Project(3108251511333) supported by the Fundamental Research Funds for the Central Universities; Project(B13044) supported by the 111 Project)

郭輝，博士，副教授，從事機(jī)械動力學(xué)及齒輪幾何等研究；E-mail: guohui502@nwpu.edu.cn

(編輯 羅金花)