再看6174

引言：數(shù)學(xué)是科學(xué)與藝術(shù)的結(jié)合.科學(xué)求真，藝術(shù)求美，所以數(shù)學(xué)既求真又求美[1].張奠宙先生將數(shù)學(xué)美分為：對稱美、和諧美、簡潔美、奇異美等[2].在數(shù)字世界里，6147就盡現(xiàn)數(shù)字奇異美，奇異中蘊(yùn)含著奧妙與魅力，奇異中也隱藏著真理與規(guī)律.查閱文獻(xiàn)，關(guān)于6174的文章不算少.大多數(shù)只是簡單介紹它的神奇之處，也有少量揭秘，即給出了數(shù)學(xué)證明的，包括用高等數(shù)學(xué)的變換觀點(diǎn)證明（如文[3]）和計(jì)算機(jī)證明（如文[4]），但這些證明對于有好奇心的中學(xué)生來說，大多數(shù)情況下是理解不了的，自然也滿足不了他們的求知欲.那么，是否存在他們能夠明白的初等數(shù)學(xué)知識的證明呢？

下面我們就來介紹6174的神奇之處，并逐步分析其中原因，即給出了一種初等得數(shù)學(xué)證明方法.

黑洞原本指宇宙空間內(nèi)的一種密度非常大，體積非常小的天體，任何物質(zhì)到黑洞那里，即便是目前已知速度最快的光也會被吸進(jìn)去.在神秘的數(shù)字王國里，6174就是一個(gè)“數(shù)字黑洞”.數(shù)字黑洞，即滿足某種條件的所有數(shù)，通過一種運(yùn)算，經(jīng)過一步或幾步運(yùn)算之后，結(jié)果會掉入一個(gè)“黑洞”，即循環(huán)出現(xiàn).我們來看6174神奇的地方.

任取一個(gè)四位數(shù)（四個(gè)數(shù)字不全相同），按數(shù)字遞減順序排列構(gòu)成最大數(shù)；再按數(shù)字遞增順序排列構(gòu)成最小數(shù)，用最大數(shù)減去最小數(shù)，所得差如不是6174，則按上述方法再作差，至多不過7步就都會得到6174，被稱為Kaprekar常數(shù).

如取四位數(shù)6767，按以上方法作運(yùn)算如下：

7766-6677=1089，

9810-0189=9621，

9621-1269=8352，

8532-2358=6174，

7641-1467=6174，

……

對任意的一個(gè)四位數(shù)（四個(gè)數(shù)字不全相同），經(jīng)過作這種運(yùn)算，在7步之內(nèi)，都會得到6174，這就是6174神奇之處，也是數(shù)學(xué)奇異美的魅力所在.

這到底是為什么呢？數(shù)學(xué)求真，不僅要知其然，還要知其所以然.下面我們就來探索一下：

四位數(shù)共9999-999=9000個(gè)，其中除去四個(gè)數(shù)字全相同的，余下9000-9=8991個(gè)數(shù)字不全相同.設(shè)M是一個(gè)四個(gè)數(shù)字不全相同四位數(shù)，把M的數(shù)字按遞減的次序排列得到的數(shù)記作M大；把M中的數(shù)字按遞增次序排列得到的數(shù)記作M小，作第一次運(yùn)算后得到的數(shù)為M1，作第二次運(yùn)算后得到的數(shù)為M2

設(shè)四位數(shù)M是由數(shù)字a、b、c、d構(gòu)成，不妨設(shè)a≥b≥c≥d（等號不同時(shí)成立），則

M大=1000a+100b+10c+d，

M小=1000d+100c+10b+a，

M1=M大-M小=1000（a-d）+100（b-c）+10（c-b）+d-a=999（a-d）+90（b-c）.

所以，M1只依賴于（a-d）與（b-c），又由a≥b≥c≥d且等號不同時(shí)成立，可知：a-d≥b-c，b-c≥0，a-d>0，這就意味著a-d可以取1，2，…，9九個(gè)值，b-c只能取不大于a-d的值.

若a-d=1，則b-c只能取0，1，此時(shí)，M1只能取值：

999×（1）+90×（0）=0999，

999×（1）+90×（1）=1089，

若a-d=2，則b-c只能取0，1，2，此時(shí)M1只能取1998，2088，2178.

a-d=1，2，…，9的情況下，b-c所可能取值的個(gè)數(shù)加起來：2+3+4+…+10=54.

所以M1只可能取54個(gè)值，又有一部分是數(shù)碼相同僅僅是數(shù)位不同的值，這些數(shù)值在作下一次運(yùn)算時(shí)得到M2是一樣的，我們把它看作是等價(jià)的，剔除這些因數(shù)，在M1的54個(gè)可能值中，只有30個(gè)是不等價(jià)的，它們是：

9990，9981，9972，9963，9954，9810，9711，9621，9531，9441，8820，8730，8721，8640，8622，8550，8532，8442，7731，7641，7632，7551，7533，7443，6642，6552，6543，6444，5553，5544.

對于這30個(gè)數(shù)逐個(gè)地用上述法則把它換成最大與最小數(shù)的差，至多6步就出現(xiàn)6174這個(gè)數(shù).至此，神奇的四位數(shù)6174就被破解了！

參考文獻(xiàn)

[1] 文衛(wèi)星.引導(dǎo)學(xué)生欣賞與發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)美—以極限教學(xué)為例[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2012（21）：56-60.

[2] 張奠宙.數(shù)學(xué)美與課堂教學(xué)[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2001（11）：1-3.

[3] 孫慶虎.奇怪?jǐn)?shù)6174與循環(huán)鏈[J].安徽教育學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），1996（1）：21-23.

[4] 郭繼展.計(jì)算機(jī)證明：數(shù)字黑洞6174[J].電腦，1997，6（15）：66.

作者簡介 彭文強(qiáng)，男，1992年生，四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)教育方向碩士研究生.