用單位圓妙解三角題

華騰飛

求值

例1 ?已知[sinα+sinβ=m，cosα+cosβ=n（mn≠0），]求[tan（α+β）].

解析 ?如圖1所示，利用單位圓，有點(diǎn)[A（cosα，sinα），][B（cosβ，sinβ），] 其中[α，β]為傾斜角，挖掘[α+β2]的意義為弦[AB]的中點(diǎn)[C（m2，n2）]和原點(diǎn)連線的傾斜角. 由斜率的意義[tanα+β2=mn，]由二倍角公式得[tan（α+β）=2mnn2-m2.]

點(diǎn)撥 ?巧妙地利用單位圓，不僅極大地簡化了解題過程，而且提高了思維的創(chuàng)造性.

[圖1] [圖2]

求最值

例2 ?求函數(shù)[u=sinα2+cosα]的最值.

解析 ?[u=sinα-0cosα-（-2）]表示點(diǎn)[P（cosα，sinα）]與[A（-2，0）]連線的斜率，而[P（cosα，sinα）]在單位圓[x2+y2=1]上，如圖2. 過[A]作單位圓的切線[AB]和[AC]，易得[kAB =33]，[kAC =-33]，故[umax =33]，[umin =-–33].

點(diǎn)撥 ?通過利用單位圓，快速、簡捷地獲解，令人拍手叫絕.

解三角方程

例3 ?若[2sin（2x+π3）=1]，求[x]的值.

解析 ?設(shè)[2x+π3=α]，則已知式可化為[sinα=12]. 過[y]軸上的點(diǎn)[N（0，12）]作[x]軸的平行線，交單位圓與點(diǎn)[A]和[B]，則[OA]和[OB]為角[α]的終邊，如圖3所示. 可見[∠xOA=π6，][∠xOB=5π6，]故角[α]的集合是[{α|α=][2kπ+π6]或[α=2kπ+5π6，k∈Z}，]即[{x|2x+π3=2kπ+π6]或[2x+π3=2kπ+5π6，k∈Z}，]從而得到[x]的值的集合是[{x|x=][kπ-–π12]或[x=kπ+π4，k∈Z}].

點(diǎn)撥 ?在解題過程中，要能夠靈活地運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)，開拓思路，尋覓最佳解題途徑，從而使問題簡捷獲解.

[圖3] [圖4]

求三角函數(shù)的定義域

例4 ?求函數(shù)[y=2sinx-1+lg（1+tanx）]的定義域.

解析 ?應(yīng)有[sinx≥12]且[tanx>-1]. 在單位圓中分別畫出兩個(gè)不等式的角[x]的終邊范圍，如圖4所示. 再取它們的公共部分，注意角的終邊的取舍，得到函數(shù)的定義域是[[2kπ+π6，2kπ+π2）∪（2kπ+3π4，][2kπ+5π6]（k∈Z）].

點(diǎn)撥 ?利用單位圓解題，簡化了解題過程，提高了解題技能和速度，值得肯定.

證明等式

例5 ?已知[sinA+sin3A+sin5A=a，cosA+cos3A][+cos5A=b，]求證：當(dāng)[b≠0]時(shí)，[tan3A=ab].

證明 ?設(shè)[M（cosA，sinA），N（cos3A，sin3A），][P（cos5A，][sin5A）]是[△MNP]的三個(gè)頂點(diǎn)，它們均在單位圓[x2+ y2=1]上，如圖5. [∠MON=∠NOP=2A，]所以[|MN|=|NP|，]因此[△MNP]是等腰三角形，從而其重心[G（b3，a3）]在[ON]上，于是[tan3A=ab].

點(diǎn)撥 ?利用單位圓，解決一個(gè)看上去較為復(fù)雜的問題，從中不難體會(huì)到單位圓在證三角題中的妙用.

[圖5][圖6]

解三角不等式

例6 ?解不等式[sinx>22].

解析 ?因一、二象限平分線交單位圓于[A，B，]易知[AD=22，][BC=22，]如圖6所示. 要使[sinx>22，]則角[x]的終邊應(yīng)在[OA～OB]之間，因此不等式的解集為[{x| 2kπ+π4

點(diǎn)撥 ?巧妙利用單位圓，使看上去不容易求解的問題順利獲解，令人心情舒暢.

證明三角不等式

例7 ?求證：[sinx

證明 ?如圖7所示，[sinx=AD，x=BD，][tanx=BC].

顯然[AD

又[S扇形OBD

則[12OB?BD<12OB?BC.]所以[BD

綜上可知，[sinx

點(diǎn)撥 ?直接證明有困難，單位圓一現(xiàn)，問題立即變簡單了，證明過程也簡捷了.[圖7][圖8]

例8 ?設(shè)[α]為銳角，求證[1

解析 ?如圖8所示，設(shè)角[α]的終邊與單位圓交于[P（x，y），]過[P]作[PQ⊥Ox]于[Q]，[PR⊥Oy]于[R，][sinα=y，][cosα=x].

在[△OPQ]中，[|QP|+|OQ|>|OP|]，即[sinα+cosα>1.]①

又[S△OAP =12 OA |·| QP | =12y =12sinα，]

[S△OPB=12][OB·RP=12x=12cosα，]

[S扇形OAB =π4，]

且四邊形[OAPB]被扇形[OAB]所覆蓋，

所以[S△OAP+S△OPB

由①②得，[1

點(diǎn)撥 ?靈活運(yùn)用單位圓，使看上去較為復(fù)雜的證明題，簡捷、快速獲證.

比較三角式的大小

例9 ?比較大小：[sin1，cos1，tan1].

解析 ?注意到[π4<1<][π2]，則角1在如圖9所示的位置.由圖可知，[OA

點(diǎn)撥 ?利用單位圓，將看上去難以比較的問題，快速地比較出大小，令人贊不絕口.

縮小角的范圍

例10 ?在[△ABC]中，已知[cosA=513，][sinB=35，]則[cosC]為（ ? ）

A. [1665] ? ? ? ? ? ? B. [5665]

C. [5665]或[1665] ? ? ? ? D. [-1665]

解析 ?本題許多同學(xué)易錯(cuò)選C，究其原因是由于未盡量縮小角的范圍所致. 事實(shí)上只要利用圖4中的“八卦”圖縮小[A]和[B]的范圍，從而縮小角[C]的范圍即可.

[∵cosA=513<12， A∈（0，π），][∴A∈（π3]，[π2]）.

[∵12]

[∴B∈（π6，π4）∪（3π4，5π6）.]

于是[A+B∈（π2，3π4），][∴C∈（π4，π2），][∴cosC∈][（0，22）.]

答案 ?A

點(diǎn)撥 ?靈活利用單位圓，縮小了角的范圍，從而快速獲解.