三角函數(shù)有理式的一種簡單積分法

鄧敏（湖南交通職業(yè)技術(shù)學(xué)院，長沙　410004）

三角函數(shù)有理式的一種簡單積分法

鄧敏
（湖南交通職業(yè)技術(shù)學(xué)院，長沙410004）

本文通過分析、解答幾種具有代表性的三角函數(shù)有理式不定積分問題，介紹了一種求三角函數(shù)有理式不定積分的簡單方法——關(guān)聯(lián)輔助積分法。

三角函數(shù)有理式積分關(guān)聯(lián)輔助

求三角函數(shù)有理式的不定積分是高等數(shù)學(xué)中一種常見的、重要的積分問題，但是沒有一種統(tǒng)一的積分方法適用于所有情形的三角函數(shù)有理式積分，其積分方法非常靈活，也非常多，常用的有湊微分法、換元積分法（萬能代換法）、分部積分法、待定系數(shù)法等，特別常用的是萬能代換法。但是，對很多三角函數(shù)有理式的積分，如采用以上所述的常規(guī)方法來求，一般過程很繁瑣，有的題甚至無法求出。學(xué)生往往對此類積分問題望而生畏，敬而遠(yuǎn)之。下面介紹一種求三角函數(shù)有理式不定積分的比較簡單的方法——關(guān)聯(lián)輔助積分法。

以上方法是用換元法，把被積的三角函數(shù)有理式先轉(zhuǎn)化為代數(shù)有理式，再求該代數(shù)有理式的積分。但我們看到這個(gè)轉(zhuǎn)化的過程往往相當(dāng)繁瑣，轉(zhuǎn)化后的代數(shù)有理式函數(shù)的積分，也比較難求（以上例題一般用待定系數(shù)法把被積的三角函數(shù)有理式拆分成三個(gè)容易積分項(xiàng)的積分），有的甚至無法求出，下面介紹一種較為巧妙而簡單的積分方法——關(guān)聯(lián)輔助積分法。

解法二：用關(guān)聯(lián)輔助積分法

用這種積分法則容易多了

不過用這種方法要注意的是，在找關(guān)聯(lián)輔助積分時(shí)，一定要本著原積分與輔助積分所構(gòu)成的線性組合積分比原積分要容易求為原則。［1］

解法一：用分部積分法，此題一般就是用分部積分法，要兩次運(yùn)用分部積分法，然后出現(xiàn)循環(huán)現(xiàn)象，通過解方程間接得出結(jié)果。

以上關(guān)聯(lián)輔助積分法是將求積分的問題化為解線性方程組的問題，簡捷、容易！如果被積函數(shù)比較復(fù)雜，則更能體現(xiàn)出用關(guān)聯(lián)輔助積分法的優(yōu)越性。［2］

該形式的積分正類似于吉米多維奇著《數(shù)學(xué)分析習(xí)題集》第2042題所述公式，但該公式難記，學(xué)生一般記不住。解題時(shí)不用記如此復(fù)雜的公式，用以上關(guān)聯(lián)輔助積分法可即時(shí)求解。

同時(shí)也可求I1和I2。

關(guān)聯(lián)輔助積分法就是找出與所求不定積分相關(guān)聯(lián)的一個(gè)（或兩個(gè)）不定積分，再構(gòu)造所求不定積分與這一個(gè)（或兩個(gè)）不定積分的兩個(gè)（或三個(gè)）線性組合積分，因?yàn)檫@兩個(gè)（或三個(gè)）線性組合后的積分容易求出，所以最后通過解二元（或三元）一次方程組就可求出原積分和其相關(guān)聯(lián)的這一個(gè)（或兩個(gè)）輔助積分。

［1］李艷萍.一類三角函數(shù)的輔助積分法［J］.北京電力高等專科學(xué)校學(xué)報(bào)，2009年4月：152-153

［2］萬麗， 王劍俠.一種含三角函數(shù)式積分的特殊方法［J］.高等數(shù)學(xué)研究，2000，3卷（4期）：23-24

鄧敏（1967—），女，副教授，碩士研究生，研究方向：高等數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)課程論的教學(xué)與研究。