從教師提出問題到學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題
——中學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題能力素質(zhì)培養(yǎng)策略

楊　姍　虞秀云（江西師范大學(xué)　數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，江西南昌　330022）

從教師提出問題到學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題
——中學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題能力素質(zhì)培養(yǎng)策略

楊姍虞秀云
（江西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，江西南昌330022）

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題體現(xiàn)了學(xué)生主體性地位、促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)知識的建構(gòu)、激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性思維、培養(yǎng)學(xué)生的意志品質(zhì)的特點(diǎn)。目前數(shù)學(xué)教學(xué)課堂中普遍存在學(xué)生不敢、不愿或不善于發(fā)現(xiàn)問題的狀況，需從問題意識、創(chuàng)造情景、鼓勵(lì)評價(jià)、發(fā)現(xiàn)問題方法等方面上幫助學(xué)生培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)問題的能力。

發(fā)現(xiàn)問題數(shù)學(xué)教學(xué)培養(yǎng)策略

2009年，首次參加PISA的15歲上海在校生在數(shù)學(xué)素養(yǎng)、閱讀素養(yǎng)和科學(xué)素養(yǎng)三個(gè)方面全部排在首位，依然有評論說，這“不能遮蔽中國教育的落后”。錢學(xué)森也對類似這樣的現(xiàn)象提出疑問——在我國教育規(guī)模擴(kuò)大和發(fā)展的同時(shí)，我國教育可以培養(yǎng)大批優(yōu)秀人才，為什么卻培養(yǎng)不出具有國際領(lǐng)先地位的大師級人物？——點(diǎn)出了我國人才培養(yǎng)的軟肋。［1］

2012年我國《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》 （修訂版）問世，提出：“體會數(shù)學(xué)知識之間、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間、數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系，運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式進(jìn)行思考，增強(qiáng)發(fā)現(xiàn)問題和發(fā)現(xiàn)問題的能力、分析問題和解決問題的能力。”［2］“發(fā)現(xiàn)問題”也逐漸成為數(shù)學(xué)教育界關(guān)注的重點(diǎn)。

1.現(xiàn)實(shí)意義

數(shù)學(xué)，不單單是“解決問題”，更需要“發(fā)現(xiàn)問題”。建構(gòu)主義認(rèn)為，學(xué)習(xí)活動是學(xué)生主動去建構(gòu)的過程。在學(xué)生學(xué)習(xí)新知識時(shí)，除了對新知識的建構(gòu)，還包含對原有知識的重組和改造：一方面，要獲得新知識需要原有知識為基礎(chǔ)；另一方面，接受新知識又會使原有知識結(jié)構(gòu)發(fā)生改變。［3］讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，使得學(xué)生接觸的知識量最大化，提高自身認(rèn)知水平。

希爾伯特（Hilbert）說，一個(gè)學(xué)科若是沒有問題，就臨近死亡。［4］學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題是對事物進(jìn)行觀察和思考的結(jié)果，要求具有見微知著、發(fā)散思維等能力。讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，能夠最大的激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造力，擁有良好的創(chuàng)造思維；可以培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)、增強(qiáng)好奇心，保持課堂的趣味性，縮短師生心理距離，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

2.阻礙因素

讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題勢在必行，那在培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題能力時(shí)要注意哪些因素？美國心理學(xué)家格拉塞（Grasser）對這方面進(jìn)行了深入的研究，認(rèn)為學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題少：（1）在課堂情境中，發(fā)現(xiàn)問題存在社會或者社交成本和障礙——問題簡單，會顯得自己的無知；問得好，就擔(dān)心會打斷老師，或者被認(rèn)為是在出風(fēng)頭；（2）有大量的證據(jù)表明，學(xué)生很難意識到自己在知識上的不足——難以發(fā)現(xiàn)新知識與原有知識存在矛盾的地方，缺乏認(rèn)知基礎(chǔ)；（3）學(xué)生的發(fā)現(xiàn)問題技巧沒受到訓(xùn)練。

3.培養(yǎng)策略

愛因斯坦（Einstein）所言：“ 提出一個(gè)問題比解決一個(gè)問題更重要，因?yàn)榻鉀Q問題需要的僅是一個(gè)數(shù)學(xué)上或?qū)嶒?yàn)上的技能而已，而提出新的問題、新的可能性，從新的角度去看舊的問題，卻需要創(chuàng)造性的想象力，而且標(biāo)志著科學(xué)的真正進(jìn)步?！蹦敲矗绾巫寣W(xué)生發(fā)現(xiàn)問題呢？

3.1正確的給予評價(jià)

根據(jù)阻礙因素可知，學(xué)生不能對自己的問題給出正確的評價(jià)，教師在這時(shí)就要對學(xué)生的問題進(jìn)行正確的評價(jià)以保證學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的積極性，以此達(dá)到讓學(xué)生繼續(xù)發(fā)現(xiàn)問題的目的。斯騰伯格（Sternberg）把教師對學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題后的反應(yīng)從低到高劃分為7個(gè)水平。第1級：回絕問題；第2級：重復(fù)問題；第3級：承認(rèn)無知或簡單給出答案信息；第4級：鼓勵(lì)發(fā)問者尋求資料并幫助；第5級：提供可能的解答，供學(xué)生選擇；第6級：鼓勵(lì)學(xué)生對可能的答案進(jìn)行評估；第7級：鼓勵(lì)學(xué)生評估驗(yàn)證最后的答案。他認(rèn)為教師如果對問題做出反應(yīng)水平越高，那么對學(xué)生的智力發(fā)展就越有幫助，學(xué)生也就越有可能發(fā)展其高級思維技巧。

盡管評價(jià)等級越高越好，教師還應(yīng)根據(jù)學(xué)生的具體情況做出反應(yīng)：若題目太簡單，則不需花太多時(shí)間去深究；若題目有探究的深度且學(xué)生有能力，則可做出較高等級的評價(jià)，發(fā)展學(xué)生思維能力。比如說，一個(gè)成績較差的學(xué)生來問，1+1為什么等于2？教師不可以取笑學(xué)生，要善意的、學(xué)生基礎(chǔ)差又要簡單的解釋。尤其是很少發(fā)現(xiàn)問題且成績較差的學(xué)生，教師一定要先表揚(yáng)、再評價(jià)。同樣的問題，若是成績好的學(xué)生來問，教師可以讓他查相關(guān)資料，對此做一個(gè)探討研究。教師做評價(jià)時(shí)要記住一個(gè)大方向——積極評價(jià)，保護(hù)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的積極性。

3.2激起問題意識

上述第二點(diǎn)提到，許多學(xué)生在學(xué)習(xí)中對自己的知識水平?jīng)]有很好地認(rèn)識，覺得自己對于學(xué)習(xí)內(nèi)容沒有任何疑問、消化了所學(xué)知識。在教學(xué)中教師應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生的問題意識，讓學(xué)生“學(xué)有疑”，在學(xué)習(xí)中產(chǎn)生疑問就會導(dǎo)致新舊知識的認(rèn)知沖突。心理研究表明，激烈的認(rèn)知沖突會激起學(xué)生的思維震蕩，引起學(xué)習(xí)需要的不平衡，情感領(lǐng)域中便產(chǎn)生一種強(qiáng)烈的主動參與探索、渴望獲取問題解決辦法的心理傾向。［5］教師在平時(shí)講練習(xí)題時(shí)可以故意做錯(cuò)來吸引學(xué)生注意，以達(dá)到幫助學(xué)生養(yǎng)成質(zhì)疑的習(xí)慣的目的。

一般來說，學(xué)生的求解過程大致如下：

在這里教師可以停一下，看學(xué)生的反應(yīng)，若是學(xué)生沒反應(yīng)，教師就可以問，題目的答案就這樣算完了嗎？還有沒有限制條件？讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)題目還有兩個(gè)限制條件：二是銳角正弦值為正數(shù)，即a=sinA+cosA＞1，因而應(yīng)舍去，所以。以此達(dá)到讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的目的。

3.3傳授方法

在第二點(diǎn)中提到學(xué)生的發(fā)現(xiàn)問題的方法是沒有得到訓(xùn)練的，這就要求教師在教學(xué)過程中要傳授學(xué)生一些在學(xué)習(xí)過程中可以掌握的方法，最好簡單一些，方便學(xué)生掌握，否則會打擊學(xué)生的自信心，影響學(xué)習(xí)興趣。以下及提供三個(gè)較易讓學(xué)生掌握、應(yīng)用的方法。

3.3.1否定假設(shè)法

美國學(xué)者布朗（Brown）與沃爾特（Walter）提出在基于一個(gè)給定的數(shù)學(xué)問題而發(fā)現(xiàn)問題的方法——“what-if-not”，它的本意是：如果不是這樣，那又可能是什么？也被稱為“否定假設(shè)法”，就是對所研究的對象的可能性進(jìn)行一一否定，從中猜想發(fā)生的變化、可能得到的結(jié)論，由此發(fā)現(xiàn)問題的一種方法。這種方法操作起來較為簡單，學(xué)生容易掌握，教師在講題目可多用，讓學(xué)生無意識的產(chǎn)生要用這種方法的意識，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題。

例3學(xué)習(xí)同底數(shù)冪的除法法則——am÷an=am-n（m，n為整數(shù)，且m＞n，a≠0）后，就可應(yīng)用此方法對屬性指數(shù)m，n進(jìn)行否定，若m=n，那a0有意義嗎？若有，它等于什么？若m＜n，那am-n有意義嗎？若有，它等于什么？若指數(shù)為分?jǐn)?shù)，法則依然成立嗎？對屬性底數(shù)a進(jìn)行否定，若a=0，法則成立嗎？就這樣一一否定，看結(jié)論的正確性，幫助學(xué)生提高數(shù)學(xué)水平和發(fā)現(xiàn)問題的能力。

3.3.2改編題目法

改編題目法是通過改變題目中的某條件，看結(jié)論會如何變化；或者改變結(jié)論，看條件如何變化，從而發(fā)現(xiàn)問題的方法。教師在講解例題時(shí)，可以運(yùn)用此法改變題目中條件、結(jié)論，幫助學(xué)生深入透徹的理解題目內(nèi)容，對每個(gè)條件和結(jié)論都有深入的認(rèn)識，能把相關(guān)的知識建立聯(lián)系，達(dá)到舉一反三、訓(xùn)練多向思維能力的效果。

例4原題已知等腰△ABC中D、E分別是AB、CD的中點(diǎn)，求證BD=CE（圖1）改變條件D、E分別是AB、CD的中點(diǎn)

圖1　

圖2

圖3

問題∠B、∠C的角平分線交AC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E（圖2）改變結(jié)論BD=CE

問題△BCF是等腰三角形（圖3）

這個(gè)方法比較簡單，學(xué)生比較容易掌握，在教學(xué)中，學(xué)生對于自己的掌握了的知識會有想?yún)⑴c的欲望。教師在應(yīng)用這種方法的時(shí)候，學(xué)生會積極反應(yīng)，且是主動參與，學(xué)生會更容易發(fā)現(xiàn)其中的問題和所需答案。

3.3.3歸納猜想法

波利亞（Polya）在《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》中曾指出，在證一個(gè)數(shù)學(xué)定理之前，必須猜想這個(gè)定理；在弄清楚證明細(xì)節(jié)之前，必須猜想出證明的主導(dǎo)方法。歸納猜想法是所研究對象累計(jì)到一定數(shù)量后，對其進(jìn)行觀察，找到規(guī)律，進(jìn)而猜想一般情況下的規(guī)律的一種方法。這是特殊到一般的思維方式，它從具體問題入手，先列舉簡單的情況，經(jīng)觀察分析、猜想歸納，最后形成普通的命題，給予證明。這個(gè)方法在三個(gè)方法中相對難一些，教師在教導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)此方法時(shí)，要多講幾次，尤其是基礎(chǔ)薄弱一些的學(xué)生。

例5連續(xù)整數(shù)的平方和問題，32+42=52，102+112+122=132+142，212+222+232+242=252+262+272。由此想到：可否找到9個(gè)、11個(gè)連續(xù)整數(shù)的平方和等式？推廣得到，一般情況下是否存在2n+1（n≥1）個(gè)連續(xù)整數(shù)的平方式等式？

這種方法若是掌握了的話，可以提高學(xué)生的創(chuàng)新能力。現(xiàn)在創(chuàng)新能力是很重要的一個(gè)能力指標(biāo)，教師一定要多給學(xué)生一些猜想類的題目，開發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性思維。

隨著新課改的不斷深入，考試和分?jǐn)?shù)已經(jīng)不是要追求的東西，學(xué)生的心理和身體上的健康才是大家關(guān)心的重點(diǎn)。發(fā)現(xiàn)問題固然重要，但發(fā)現(xiàn)問題給可以學(xué)生帶來什么才是更重要的。在“以學(xué)生的發(fā)展為本”的新理念引領(lǐng)下，在和諧、平等、真摯的氛圍里，提供給學(xué)生暢所欲言的靈動，發(fā)揮學(xué)生的創(chuàng)造力，讓學(xué)生創(chuàng)造靈感的火花自由綻放，才是教師要達(dá)到的最終目的。

［1］中央教育科學(xué)研究所.對話教育熱點(diǎn)2009［M］.北京：教育科學(xué)出版社，2010.

［2］義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（修訂版）中華人民共和國教育部2011

［3］涂榮豹.建構(gòu)主義觀的辨析及再認(rèn)識［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2002，（3）：1-3.

［4］黃漢平.100年前的數(shù)學(xué)家大會與希爾伯特的《數(shù)學(xué)問題》［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2000，（9）：40-41.

［5］潘越峰.利用認(rèn)知沖突激活學(xué)生思維［J］.小學(xué)教學(xué)參考，2008，（8）

楊姍 （1991-），女，江西南昌人，研究生在讀，主要從事數(shù)學(xué)教育究，虞秀云（1972-），女，江西鄱陽人，副教授，主要從事數(shù)學(xué)教育研究。