BD不同分布的隨機(jī)變量和的大偏差

趙 博，華志強(qiáng)

（內(nèi)蒙古民族大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，內(nèi)蒙古　通遼　028043）

BD不同分布的隨機(jī)變量和的大偏差

趙 博，華志強(qiáng)

（內(nèi)蒙古民族大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，內(nèi)蒙古通遼028043）

隨機(jī)變量序列和的尾概率性狀研究是保險精算領(lǐng)域的熱門問題之一，而隨機(jī)變量序列的和的精確大偏差則精確刻畫了其尾概率的極限性態(tài).研究長尾上帶有二元負(fù)相依結(jié)構(gòu)的隨機(jī)變量和的精確大偏差，得到了隨機(jī)變量的確定和及隨機(jī)和的兩種一致變化的尾概率的相應(yīng)結(jié)論.

大偏差；尾概率；長尾；二元相依

分布函數(shù)F（x）是研究概率問題的重要工具，但其尾分布函數(shù)F（x）=1-F（x）在研究的過程中也起著非常重要的作用，尤其是具有特殊性質(zhì)的長尾分布函數(shù)近年來在金融工程、數(shù)量經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用.因此，有必要對長尾分布進(jìn)行深入研究.文獻(xiàn)［1］研究了獨立同分布的帶有延拓正則變化尾分布族的隨機(jī)變量的隨機(jī)和的精確大偏差；文獻(xiàn)［2］研究了獨立同分布的帶有一致變化尾分布族的隨機(jī)變量的和的精確大偏差；文獻(xiàn)［3］研究了獨立同分布的帶有長尾分布族的隨機(jī)變量的和的精確大偏差.文獻(xiàn)［1-3］中結(jié)論成立的基礎(chǔ)條件是獨立同分布，文獻(xiàn)［4］和文獻(xiàn)［5］分別研究了獨立不同分布的正則變化尾分布族上的隨機(jī)變量的確定和和隨機(jī)和的精確大偏差；文獻(xiàn)［6］研究了非獨立的、不同分布的一致變化尾分布族的隨機(jī)變量的和的精確大偏差；文獻(xiàn)［7］引入了二元相依（BD）的概念.設(shè)｛X，Xn，n≥1｝為一個不同分布的隨機(jī)變量序列，對應(yīng)的分布函數(shù)分別為相互獨立的取非負(fù)整數(shù)值的計數(shù)過程，且的前n個隨機(jī)變量的確定和，St｝的隨機(jī)和.本文在上述文獻(xiàn)和符號的基礎(chǔ)上討論了長尾分布族上帶有二元相依結(jié)構(gòu)的隨機(jī)變量的確定和Sn和隨機(jī)和SNt的大偏差.

1　預(yù)備知識

定義1［1］稱某一隨機(jī)變量X或者其分布函數(shù)F（x）屬于正則變化尾分布族的，如果對于某個α＞1及任意的實數(shù)y，有：

成立.

則稱隨機(jī)變量X（或分布函數(shù)F（x））是服從延拓正則變化分布族的.

定義3［2］稱某一隨機(jī)變量X或者其分布函數(shù)F（x）屬于一致變化尾分布族的，當(dāng)且僅當(dāng)：

定義4［3］稱非負(fù)分布函數(shù)F（x）屬于長尾分布族的，如果對任意的y∈（-∞，∞）有：

由文獻(xiàn)［9］知，三類分布族之間的包含關(guān)系為：長尾分布族最大，其次是一致變化尾分布族，再次是延拓正則變化分布族，最后是正則變化尾分布族.

定義5［8］若一個隨機(jī)變量序列｛Xn，n≥1｝滿足：對于任意的i，j=1，2，…，且i≠j有：

成立，稱隨機(jī)變量序列｛Xn，n≥1｝是二元相依的（BD）.

2　BD確定和的大偏差

定理1 設(shè)｛Xn，n≥1｝為一個二元相依的（BD）的隨機(jī)變量序列，｛X，Xn，n≥1｝各自對應(yīng)的分布函數(shù)為｛F（x），F(xiàn)n（x），n≥1｝，且所對應(yīng)的分布函數(shù)都是長尾分布族，滿足假設(shè)條件A1：

對于某個常數(shù)a＞0，當(dāng)x≥a時有：

3　BD隨機(jī)和的大偏差

給出一個假設(shè)條件：當(dāng)t→∞時，對于任意的δ＞0和任意小的ε＞0有：

定理2 設(shè)｛Xn，n≥1｝為一個二元相依的（BD）的隨機(jī)變量序列，｛X，Xn，n≥1｝各自對應(yīng)的分布函數(shù)為｛F（x），F(xiàn)n（x），n≥1｝，且所對應(yīng)的分布函數(shù)都是長尾分布族，滿足假設(shè)條件A.

設(shè)X的方差存在，｛X，Xn，n≥1｝獨立于取非負(fù)整數(shù)值的隨機(jī)過程｛Nt，t≥0｝.假設(shè)｛Nt，t≥0｝滿足假設(shè)條

［1］TANG Q H，SU C，JIANG T，et al.Large deviations for heavy-tailed random sums in compound renewal model［J］.Probability and Statistics Letters，2001，52：91-100.

［2］NG KW，TANG Q H，YANG J A，et al.Precise large deviation for sums of random variables with consistently varying tails［J］.Journal of Applied Probability，2004，41（1）：93-107.

［3］KONSTANTINIDES D，LOUKISSAS F.Precise large deviations for long-tailed distributions［J］.Journal of Theoretical Probability，2012，25：913-924.

［4］PAULAUSKAS P，SKUCAITE A.Some asymptotic results for one-sided large deviation probabilities［J］.Lithuanian Mathematical Journal，2003，43（3）：318-326.

［5］SKUCAITE A.Large deviations for sums of independent heavy-tailed random variables［J］.Lithuanian Math，2004，44（2）：198-208.

［6］LIU L.Precise large deviations for dependent random variables with heavy tails［J］.Probability and Statistics Letters，2009，79：1290-1298.

［7］楊少華，于海芳，華志強(qiáng).二元相依隨機(jī)變量和的精確大偏差［J］.江漢大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2013，41（3）：23-25.

［8］華志強(qiáng).多元重尾大偏差及位相型破產(chǎn)概率［M］.哈爾濱：哈爾濱地圖出版社，2013.

責(zé)任編輯：時 凌

The Random Variables and the Large Deviation of BD Different Distribution

ZHAO Bo，HUA Zhiqiang
（College of Mathematics，Inner Mongolia University for the Nationalities，Tongliao 028043，China）

Study on the properties and the tail probability of random variable sequence is one of the hot issues in the field of insurance actuarial，whereas random variables sequences and the precise large deviations accurately depict the tail probability of blame.Research on the long tail with dual negative dependency structure of random variables and the precise large deviations，obtained the determination of random variables and random and changes of two kinds of consistent tail probability of the corresponding conclusion.

large deviation；tail probability；long tail；binary dependency

O211.5

A

1008-8423（2015）04-0396-03DOI：10.13501/j.cnki.42-1569/n.2015.12.010

2015-11-03.

內(nèi)蒙古民族大學(xué)科學(xué)研究基金項目（NMDTB1436；NMDTB1437）.

趙博（1987-）男，碩士，主要從事概率論與數(shù)理統(tǒng)計的研究.