微結(jié)構(gòu)固體中的非光滑孤立波

張 芳，那仁滿都拉

（1.內(nèi)蒙古民族大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，內(nèi)蒙古　通遼　028043；

2.內(nèi)蒙古民族大學(xué)物理與電子信息學(xué)院，內(nèi)蒙　古通遼　028043）

微結(jié)構(gòu)固體中的非光滑孤立波

張 芳1，那仁滿都拉2*

（1.內(nèi)蒙古民族大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，內(nèi)蒙古通遼028043；

2.內(nèi)蒙古民族大學(xué)物理與電子信息學(xué)院，內(nèi)蒙古通遼028043）

完善微結(jié)構(gòu)固體的自由能形式，使其包含宏觀形變和微形變的全部二次項(xiàng)及宏觀形變的三次項(xiàng)，并根據(jù)Engelbrecht等修正的微結(jié)構(gòu)彈性理論，嚴(yán)格推導(dǎo)出了描述微結(jié)構(gòu)固體中一維縱波傳播的一種新模型.對(duì)所得模型進(jìn)行研究，得到了該模型方程的尖峰孤立波解，進(jìn)而證明了在一定條件下微結(jié)構(gòu)固體中也可以存在尖峰孤立波.這一結(jié)論進(jìn)一步推廣了微結(jié)構(gòu)固體中只存在光滑孤立波的已有結(jié)論.

微結(jié)構(gòu)固體；非光滑孤立波；非線性波模型

微晶、合金、陶瓷及巖石等材料，由于它們內(nèi)部結(jié)構(gòu)上存在孔隙、位錯(cuò)、顆粒、裂紋及裂縫等微結(jié)構(gòu)，當(dāng)觀測(cè)尺度接近微結(jié)構(gòu)尺寸時(shí)，可表現(xiàn)出與經(jīng)典材料極為不同的行為特征.如高頻彈性波的彌散現(xiàn)象以及在裂紋尖端處出現(xiàn)的無(wú)限大應(yīng)力現(xiàn)象等，這些現(xiàn)象用經(jīng)典連續(xù)介質(zhì)理論無(wú)法得到滿意的解釋.為此，Mindline和Eringen等提出了考慮微結(jié)構(gòu)的彈性固體理論［1-4］.Engelbrecht等對(duì)微結(jié)構(gòu)彈性理論進(jìn)行了完善和修正，并開(kāi)始研究了微結(jié)構(gòu)固體中孤立波的形成條件與傳播規(guī)律［5-9］.了解微結(jié)構(gòu)固體中孤立波的形成條件與傳播規(guī)律，可對(duì)固體材料的檢測(cè)與評(píng)價(jià)提供重要的理論基礎(chǔ).文獻(xiàn)［10］中已證明了運(yùn)用微結(jié)構(gòu)固體中形成的孤立波所攜帶的信息可以準(zhǔn)確地判定材料的微結(jié)構(gòu)參數(shù)［10］.文獻(xiàn)［11-14］中給出了微結(jié)構(gòu)固體中可以存在對(duì)稱和非對(duì)稱鐘型孤立波等光滑孤立波的結(jié)論，并沒(méi)有給出微結(jié)構(gòu)固體中可以存在尖峰孤立波等非光滑孤立波的結(jié)論.

本文通過(guò)完善微結(jié)構(gòu)固體的自由能形式，使其包含宏觀形變和微形變的全部二次項(xiàng)及宏觀形變的三次項(xiàng)，將建立微結(jié)構(gòu)固體中縱波傳播的一種新模型，進(jìn)而分析微結(jié)構(gòu)固體中可能存在的尖峰孤立波.

1　建立模型

微結(jié)構(gòu)固體中縱波傳播的一維運(yùn)動(dòng)方程為［11-12］：

其中：u表示宏觀位移，σ表示宏觀應(yīng)力，ψ表示微形變，η表示相應(yīng)的微應(yīng)力，τ表示微元體間的相互作用力，ρ和I是宏觀密度和微慣性.在文獻(xiàn)［9-14］中采用的自由能形式都是比較特殊的情況，即考慮宏觀形變和微形變的特殊幾個(gè)二次項(xiàng)的基礎(chǔ)上就考慮了宏觀形變和微形變的三次項(xiàng)或四次項(xiàng).按照微結(jié)構(gòu)彈性固體理論，一般只有考慮全部二次項(xiàng)的基礎(chǔ)上，才可以考慮三次項(xiàng)或四次項(xiàng)等高次項(xiàng).針對(duì)這一問(wèn)題，本文在自由能的表達(dá)式中考慮全部二次項(xiàng)的基礎(chǔ)上考慮了宏觀形變的三次項(xiàng)，忽略了微形變的三次項(xiàng).因?yàn)閷?shí)際的微結(jié)構(gòu)固體材料的微尺度非線性效應(yīng)遠(yuǎn)比宏觀尺度非線性效應(yīng)要弱，所以本文采用的自由能形式為：

波方程時(shí)，文獻(xiàn)［11-14］中都利用了從屬原理，所以得到的波方程都是近似的.本文經(jīng)過(guò)精確地推導(dǎo)，得到了微結(jié)構(gòu)固體中一維縱波傳播的非線性波方程.

2　尖峰孤立波

利用文獻(xiàn)［15-16］中給出的待定系數(shù)法，求解方程（12）得到了以下尖峰孤立波解.

2.1尖峰孤立波解

非線性波方程（12）有尖峰孤立波解（13）～（15），這表明微結(jié)構(gòu)固體中可以存在尖峰孤立波.

3　結(jié)論

本文首先完善微結(jié)構(gòu)固體的自由能形式，使其包含宏觀形變和微形變的全部二次項(xiàng)以及宏觀形變的三次項(xiàng)，然后根據(jù)Engelbrecht等修正的微結(jié)構(gòu)彈性固體理論，嚴(yán)格導(dǎo)出了描述微結(jié)構(gòu)固體中一維縱波傳播的一種新模型.對(duì)所得新模型進(jìn)行研究，得到了該模型方程的尖峰孤立波解，進(jìn)而證明了在一定條件下微結(jié)構(gòu)固體中也可以存在尖峰孤立波等非光滑孤立波.這一結(jié)論進(jìn)一步推廣了微結(jié)構(gòu)固體中只存在光滑孤立波的已有結(jié)論，這些結(jié)論對(duì)固體材料的無(wú)損檢測(cè)及其性能的評(píng)價(jià)提供了重要理論基礎(chǔ).

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責(zé)任編輯：時(shí) 凌

Non-smooth Solitary Waves in Microstructured Solids

ZHANG Fang1，Naranmandula2*
（1.College of Mathematics，Inner Mongolia University for the Nationalities，Tongliao 028043，China；
2.College of Physics and Electronic Information，Inner Mongolia University for the Nationalities，Tongliao 028043，China）

The improvement of the free energy form for microstructured solids was made，which contains all quadratic terms of macro-and microdeformation and cubic term of macrodeformation.According to the microstructured elastic theory modified by Engelbrecht and others，a new model capable of describing the longitudinal wave propagation in one-dimensional microstructured solids was strictly derived.The acquired model was studied and the peakon solutions were obtained.And thus，the existence of the peakon in microstructured solids was proved under certain conditions.This conclusion further extends the conclusion that only the smooth solitary wave can be found in microstructured solids.

microstructured solid；non-smooth solitary wave；nonlinear wave model

O331；O347

A

1008-8423（2015）04-0369-03DOI：10.13501/j.cnki.42-1569/n.2015.12.003

2015-11-23.

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（11462019）；內(nèi)蒙古民族大學(xué)研究生科研創(chuàng)新資助項(xiàng)目（NMDSS1420）.

張芳（1991-），女（蒙古族），碩士生，主要從事數(shù)學(xué)機(jī)械化及其應(yīng)用；*

那仁滿都（1963-），男（蒙古族），博士，教授，主要從事非線性物理的研究.