波概念迭代算法原理分析

姬五勝，張玉

（1.天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)天線與微波技術(shù)研究所，天津300222；2.深圳信維通信股份有限公司上海分公司，上海201315）

波概念迭代算法原理分析

姬五勝1，張玉2

（1.天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)天線與微波技術(shù)研究所，天津300222；2.深圳信維通信股份有限公司上海分公司，上海201315）

介紹了波概念迭代算法（WCIP）基本計(jì)算流程，從波概念的形成、迭代技術(shù)和橫波技術(shù)等方面剖析了算法原理，提出該算法具有計(jì)算復(fù)雜度低、計(jì)算時(shí)間短、所需內(nèi)存小等優(yōu)點(diǎn)，也指出了該算法存在的問題及局限性。基于該算法，利用Matlab語言編程仿真了一個(gè)發(fā)夾型濾波器的散射參數(shù)以及電路表面切向電場(chǎng)、切向電流密度分布，并驗(yàn)證了算法的可行性和正確性。

WCIP原理；迭代技術(shù)；計(jì)算效率；發(fā)夾濾波器

電磁場(chǎng)的數(shù)值計(jì)算可為微波電路的建模和設(shè)計(jì)提供高效準(zhǔn)確的分析。目前，已經(jīng)有諸多數(shù)值計(jì)算方法分析單片微波集成電路（monolithic microwave integrated circuit，MMIC）和平面結(jié)構(gòu)。當(dāng)前應(yīng)用較多的數(shù)值計(jì)算方法主要有2大類：一類是以電磁場(chǎng)問題的積分方程為基礎(chǔ)的數(shù)值方法，如矩量法系列；另一類以電磁場(chǎng)問題微分方程為基礎(chǔ)的數(shù)值方法，如有限差分法系列?；谧兎衷淼挠邢拊梢詺w為微分方程法，也可以用矩量法的語言來描述［1］。這些算法存在著原理復(fù)雜、計(jì)算時(shí)間長、存儲(chǔ)容量大等缺點(diǎn)。

1996年，Azizi和Baudrand等［2］提出了波概念迭代方法（wave concept iterative procedure，WCIP）。此后，很多學(xué)者在激勵(lì)源建模、電路等效、不均勻網(wǎng)格劃分等問題上對(duì)該方法展開了較為深入的研究，其應(yīng)用范圍也日趨廣泛，包括：天線、濾波器、頻率選擇表面、平面多層結(jié)構(gòu)、分形結(jié)構(gòu)、柱狀問題等［3-5］。Ayari等［6］基于該方法開發(fā)了一款電磁分析軟件。相比而言，國內(nèi)研究進(jìn)展緩慢，對(duì)該算法未給予足夠重視。

本文簡要介紹WCIP算法的基本原理，從傳輸線方程的解、邊界條件、譜域傳輸線理論等方面分析該算法的3個(gè)關(guān)鍵技術(shù)；結(jié)合算法原理詳細(xì)討論該算法的優(yōu)缺點(diǎn)及局限性；最后以一個(gè)發(fā)夾濾波器為例，應(yīng)用Matlab編程仿真該濾波器電路表面切向電場(chǎng)、切向電流密度分布，計(jì)算其散射參數(shù)，并與參考文獻(xiàn)結(jié)果進(jìn)行比較，驗(yàn)證了該算法的正確性、可行性和高效性。

1　WCIP算法基本原理

根據(jù)希爾伯特空間變換，利用電路不連續(xù)性表面的切向電場(chǎng)ET和電流JT引入波概念方程為：

式中：Ai為電路表面的入射波；Bi為電路表面的反射波；Z0i為介質(zhì)i（i=1，2）的特征阻抗，其值為Z0i=。WCIP算法電路模型如圖1所示［7］。

圖1　WCIP算法電路模型

在空域中，微波電路不連續(xù)表面按其屬性可劃分成金屬區(qū)域、介質(zhì)區(qū)域和源區(qū)域。

根據(jù)各區(qū)域的邊界條件，計(jì)算出整個(gè)區(qū)域的散射矩陣。邊界條件為：

將式（2）～式（4）代入式（1），得到空域散射矩陣為：

在電路表面，空域入射波和空域散射波之間的關(guān)系為：

波從電路表面?zhèn)鞑サ缴舷陆橘|(zhì)區(qū)域，為使用傳輸線理論計(jì)算波的反射情況，將波從空域轉(zhuǎn)化為模式域。FMT表示空域向模式域轉(zhuǎn)換，IFMT則反之。

FMT、IFMT的計(jì)算式為：

模式域中，入射波和反射波的譜域反射關(guān)系為：

式中：m、n表示模式數(shù)；α=TE，TM；Yαmn，i代表介質(zhì)區(qū)域i中第mn階模式的導(dǎo)納，表示為：

WCIP算法計(jì)算流程如圖2所示。

圖2　WCIP算法計(jì)算流程

每次迭代之后計(jì)算輸入阻抗Zin，計(jì)算公式如式

（12），迭代到Zin收斂為止。l、w為介質(zhì)基片的長和寬。

2　WCIP算法的關(guān)鍵技術(shù)

2.1波概念的形成——由場(chǎng)到波

波概念是該方法的理論創(chuàng)新之處，也是最關(guān)鍵之處。下面從波動(dòng)方程的解來引入波概念。

波動(dòng)方程的通解為：

磁場(chǎng)和電流密度的關(guān)系為：

式（15）中：A1e-jkz為入射波，記為A；A2ejkz為反射波，記為B。由（15）式得：

此式實(shí)現(xiàn)了用切向電場(chǎng)和切向電流表示入射波和反射波，波概念由此產(chǎn)生。

2.2迭代技術(shù)

迭代是一種逐次逼近法，迭代的前提是問題本身能夠收斂，對(duì)WCIP算法而言是波的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)趨于穩(wěn)定。WCIP算法的迭代過程也是波的傳輸過程，通過波在空域和模式域的不斷轉(zhuǎn)換來求解場(chǎng)分布，避免了大矩陣的求逆運(yùn)算，降低了存儲(chǔ)空間，縮短了計(jì)算時(shí)間。

迭代初始時(shí)，在分界面上放置沿x方向極化的激勵(lì)源E0，它在上下區(qū)域產(chǎn)生2項(xiàng)波B01（x，y）和B02（x，y），它們分別向空氣和介質(zhì)中傳播。由于空氣層、介質(zhì)層的特性阻抗與電路層的特性阻抗不相同，在上下層會(huì)出現(xiàn)反射。反射波又回到電路表面，完成一次迭代，迭代過程如圖2所示。

迭代過程建立在空域波和模式域波互相轉(zhuǎn)化的基礎(chǔ)上。為縮短轉(zhuǎn)化時(shí)間，引入3種不同的基底：笛卡爾基底（CB）、傅里葉基底（FB）和模式基底（MB）［8］。笛卡爾基底應(yīng)用在電路表面，用于電路建模及計(jì)算電路表面散射系數(shù)；傅里葉基底作為空域和模式域的過渡，將空域波利用傅里葉變換為譜域波；模式域基底用來將波表示成本征模疊加模式，以方便使用譜域反射系數(shù)對(duì)各模式進(jìn)行處理。

2.3橫波技術(shù)

從廣義傳輸線角度考慮，波在導(dǎo)波系統(tǒng)的傳輸方向具有共性，包括入射波和反射波；而在導(dǎo)波系統(tǒng)的橫向具有個(gè)性，不同的橫截面具有不同的邊界條件，這就決定了不同的本征模。所以，在波概念的推導(dǎo)中，不考慮波傳播的方向因子e-jkz和ejkz，這就簡化了求解過程。

WCIP算法基于橫波而不是切向電場(chǎng)，可以方便地利用散射算子，而不用操作阻抗或?qū)Ъ{算子。散射算子描述入射波和反射波之間的關(guān)系，可用橫波描述；阻抗或?qū)Ъ{算子描述廣義電壓和電流之間的關(guān)系，用切向電磁場(chǎng)描述。WCIP算法的優(yōu)勢(shì)是避免求解復(fù)雜的微積分方程，而用簡單的代數(shù)方程代替。橫波建立在波概念基礎(chǔ)上，跳出了在電路表面求解電磁場(chǎng)問題的定式，而在垂直于電路表面的方向，利用波的空域散射和譜域反射理論求解電場(chǎng)和電流密度分布。

另外，根據(jù)諧振腔理論提出了與矩形波導(dǎo)相類似的模式基底［9］。傳輸模式的確定也可參照矩形波導(dǎo)截止頻率公式計(jì)算，如式（17）。傳輸模式的確定，關(guān)系到導(dǎo)納和模式反射系數(shù)的計(jì)算，可參考文獻(xiàn)［10］。

3　WCIP算法的優(yōu)點(diǎn)及局限性

3.1算法原理簡單，物理意義清晰

WCIP算法涉及的計(jì)算分為空域和模式域2部分?？沼蛴?jì)算主要包括空域散射，如式（6）。其中，A、B、S都是m×n維矩陣；m、n為劃分網(wǎng)格的維數(shù)。譜域主要包括譜域反射，如式（9）。空域到模式域的轉(zhuǎn)化經(jīng)過2個(gè)步驟：①利用FFT2先將空域轉(zhuǎn)換為譜域；②用模式轉(zhuǎn)換矩陣P將譜域轉(zhuǎn)換成模式域。算法整個(gè)過程物理意義清晰，計(jì)算只涉及矩陣乘法和加法，利用Matlab語言編程可輕松實(shí)現(xiàn)。

3.2計(jì)算復(fù)雜度低、效率高，存儲(chǔ)容量小

設(shè)NT為電路模型的總網(wǎng)格數(shù)，n為迭代次數(shù)，K為電路表面金屬部分占總面積的百分比。對(duì)于WCIP，空域、譜域的計(jì)算復(fù)雜度均為NT；FMT的正、反變換計(jì)算復(fù)雜度均為2NTln NT。由于迭代一次要進(jìn)行1次空域計(jì)算、2次譜域計(jì)算、FMT和IFMT各1次，所以1次完整的WCIP迭代計(jì)算復(fù)雜度為3NT+4NTln NT，總的計(jì)算復(fù)雜度為n（3NT+4NTln NT）；而MOM的計(jì)算復(fù)雜度為（KNT）3/3；FEM的計(jì)算復(fù)雜度為2NT3/3。由此可以看出，矩量法的計(jì)算復(fù)雜度最高，而WCIP的計(jì)算復(fù)雜度最低。計(jì)算過程中，只需為變量開辟第1次迭代時(shí)的空間，以后各次迭代結(jié)果都存儲(chǔ)在上一次的空間中，以代替原來的結(jié)果，這對(duì)節(jié)約CPU的存儲(chǔ)空間十分有利。在模式變換過程中，利用快速FFT算法，進(jìn)一步加快了計(jì)算速度。

3.3電路描述簡單

任何形狀的電路都能用海維賽德函數(shù)表示，如式（5）。這種方式實(shí)際上就是用0和1構(gòu)成的矩陣將電路拓?fù)湫螤顢?shù)字化。用矩陣表征電路幾何形狀的前提是對(duì)電路整體進(jìn)行矩形網(wǎng)格劃分。為了能夠使用FFT快速算法，網(wǎng)格劃分m×n中的m、n最好是2的指數(shù)形式。網(wǎng)格劃分的最小單位必須小于或等于電路中最小的幾何尺度。本算法網(wǎng)格劃分與有限元法的最大不同之處在于前者是在電路平面上，利用矩形網(wǎng)格劃分；后者則是在三維電路上，利用四面體對(duì)整個(gè)體積進(jìn)行劃分。顯然WCIP的網(wǎng)格劃分比有限元法簡單且節(jié)省空間。此外，使用非均勻網(wǎng)格劃分技術(shù)后，WCIP算法的計(jì)算速度也有顯著提高［4］。

WCIP算法在應(yīng)用過程中，受電路結(jié)構(gòu)和傳輸模式的限制。WCIP算法假設(shè)層與層之間的介質(zhì)是均勻的，這樣可應(yīng)用廣義傳輸線理論的一些基本結(jié)論。但是當(dāng)層與層之間存在通孔或其他垂直結(jié)構(gòu)時(shí)，波的傳播方向上會(huì)存在徑向波或其他復(fù)雜波，不能簡單地用傳輸線理論來等效。目前該算法主要應(yīng)用在單層平面電路或多層均勻介質(zhì)平面電路。WCIP算法屬于電路分析算法，計(jì)算中只考慮傳輸主模；但實(shí)際中傳輸模式往往有多個(gè)，故該算法仿真結(jié)果與其他數(shù)值算法的結(jié)果存在一定誤差。

4　仿真計(jì)算

用WCIP算法分析一種發(fā)夾濾波器［11］，基底材料為r-Al2O3（相對(duì)介電常數(shù)10.05），其拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如圖3所示，其他參數(shù)如表1所示。

圖3　發(fā)夾濾波器的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)（單位/mm）

表1　發(fā)夾濾波器的其他參數(shù)

在計(jì)算中，利用Matlab建立發(fā)夾濾波器部分模型，網(wǎng)格數(shù)為128×128。計(jì)算得到電路表面切向電場(chǎng)分布和電流密度分布分別如圖4和圖5所示；S參數(shù)與原始文獻(xiàn)的結(jié)果對(duì)比如圖6所示。

圖4　發(fā)夾濾波器電路表面切向電場(chǎng)分布

從圖中可以看出，WCIP所得S參數(shù)曲線形狀與原始文獻(xiàn)結(jié)果大致吻合，中心頻率有一定的偏移。一方面是因?yàn)閃CIP算法只用主模計(jì)算，另一方面是因?yàn)樵嘉墨I(xiàn)中未給出介質(zhì)基片的尺寸。本文根據(jù)傳輸線匹配等原則假設(shè)介質(zhì)區(qū)域的長和寬，因此可能存在差異。在主頻為2 GHz、內(nèi)存為2 GB的計(jì)算條件下，仿真計(jì)算時(shí)間不到1 min，而采用基于FEM的Ansoft HFSS軟件對(duì)同一電路的仿真時(shí)間約需4 min。因此，相對(duì)于FEM，WCIP具有較高的計(jì)算速度。

圖5　發(fā)夾濾波器電路表面電流密度分布

圖6　WCIP計(jì)算發(fā)夾濾波器參數(shù)

5　結(jié)束語

本文介紹了WCIP算法的原理及關(guān)鍵技術(shù)，并提出該算法對(duì)電路的描述方式簡單，對(duì)激勵(lì)端口的處理方便；整個(gè)分析過程物理意義明晰，算法原理簡單，計(jì)算容易實(shí)現(xiàn)；計(jì)算復(fù)雜度低、存儲(chǔ)容量小，計(jì)算時(shí)間短。但WCIP算法對(duì)電路結(jié)構(gòu)和模式選取有一定的限制，故其應(yīng)用范圍和計(jì)算精度受到限制。

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Analysis of wave concept iterative process

JI Wu-sheng1，ZHANG Yu2
（1.Institute of Antenna and Microwave Techniques，Tianjin University of Technology and Education，Tianjin 300222，China；2.Shanghai Center of Shenzhen Sunway Communication Co Ltd，Shanghai 201315，China）

The elementary procedures of Wave Concept Iterative Process（WCIP）are briefly introduced in this paper，and the principle of algorithm is analyzed with respect to the formation of wave concept，the technique of iterative process and the technique of transverse wave.The advantages of lower complexity，shorter computing time and lower memory cost are also discussed in detail，while the disadvantages of the algorithm and limitations of application are pointed out.Based on the algorithm，scattering parameters，tangential electrical field on the circuit surface and tangential current density distribution of a hairpin filter are simulated through Matlab language programming，which verifies the correctness and feasibility of the method.

WCIP principle；iterative technique；computing efficiency；hairpin filter

TN713；TP301.6

A

2095－0926（2015）04－0010－05

2015-07-23

甘肅省高等學(xué)校研究生導(dǎo)師科研計(jì)劃項(xiàng)目（0811-05）；天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)預(yù)研基金項(xiàng)目（KJY14-05）.

姬五勝（1968—），男，教授，博士，研究生導(dǎo)師，研究方向?yàn)槲⒉娐啡S集成、無線電技術(shù)與信息系統(tǒng)和計(jì)算電磁學(xué).