微積分在大學(xué)物理中的應(yīng)用分析

王金華

（天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)理學(xué)院，天津300222）

微積分在大學(xué)物理中的應(yīng)用分析

王金華

（天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)理學(xué)院，天津300222）

結(jié)合大學(xué)物理中的一些實(shí)例，具體分析了微分、導(dǎo)數(shù)、積分、微分方程、近似等在大學(xué)物理中的應(yīng)用，旨在為學(xué)生應(yīng)用微積分研究分析和解決物理問(wèn)題提供思路，更好地促進(jìn)大學(xué)物理的學(xué)習(xí)。

大學(xué)物理；微積分；微分方程；近似法；導(dǎo)數(shù)

數(shù)學(xué)是解決物理問(wèn)題的重要基礎(chǔ)。運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)定義物理概念、推導(dǎo)物理定律，可使物理問(wèn)題變得簡(jiǎn)潔，并能定量地解決問(wèn)題。微積分發(fā)明以后，數(shù)學(xué)在物理學(xué)中的作用更為顯著。牛頓利用微積分來(lái)解決運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題，論證了萬(wàn)有引力定律；麥克斯韋將微積分與電磁理論結(jié)合得到麥克斯韋方程組，推動(dòng)了電磁理論的誕生。在大學(xué)物理教學(xué)中，微積分的應(yīng)用是學(xué)生理解和解決物理問(wèn)題的重點(diǎn)和難點(diǎn)。本文結(jié)合物理教學(xué)中的一些典型實(shí)例，如微分方程、中值定理、泰勒公式等來(lái)著重討論大學(xué)物理課程中常用的微積分知識(shí)及相關(guān)應(yīng)用，幫助學(xué)生在大學(xué)物理的學(xué)習(xí)中把微積分知識(shí)與物理問(wèn)題有機(jī)結(jié)合起來(lái)，掌握解決物理問(wèn)題的思路與方法，更好地促進(jìn)大學(xué)物理課程的學(xué)習(xí)。

1　導(dǎo)數(shù)方法

導(dǎo)數(shù)是一個(gè)量在某一點(diǎn)附近的變化率，處理物理問(wèn)題時(shí)經(jīng)常需要利用導(dǎo)數(shù)來(lái)求物理量的變化率。如力學(xué)問(wèn)題中已知運(yùn)動(dòng)方程，利用位移對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)求速度，速度對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)求加速度。

以繩拉物體運(yùn)動(dòng)問(wèn)題為例。在離水面高度為h的岸邊，有人用繩子拉船靠岸，人以v0的速率收繩。試求船在離岸邊s距離時(shí)的速率和加速度。

分析：建立繩拉物體運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系，坐標(biāo)系如圖1所示。運(yùn)動(dòng)的分解是難點(diǎn)，人拉繩的速度和船前進(jìn)的速度之間的關(guān)系學(xué)生容易混淆，而運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)很容易求解。

圖1　繩拉物體運(yùn)動(dòng)示意圖

由l2=x2+h2，此式兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)得：

2　微分方法

微積分包含變與不變的辯證關(guān)系、整體與局部的關(guān)系（化整為零）及量變到質(zhì)變的關(guān)系（求和-積分）［1-4］。把復(fù)雜的物理問(wèn)題進(jìn)行無(wú)限分割，使局部范圍無(wú)限小，即微分；把所有無(wú)限多個(gè)微元的結(jié)果求和，即積分。

微分就是利用微元法處理較復(fù)雜的物理問(wèn)題。把整體分成許多微小部分，變量看作常量進(jìn)行處理，使問(wèn)題簡(jiǎn)單化。如變力做功，首先把路徑分成許多微元d，這些微元上質(zhì)點(diǎn)所受的力可視為恒力，在每一段位移上力所做的元功可由算出，然后對(duì)所有元功求和得到沿整段曲線(xiàn)力對(duì)質(zhì)點(diǎn)做的功。

例如，在剛體力學(xué)中，求質(zhì)量為m、半徑為R的均勻圓盤(pán)繞與盤(pán)面垂直并通過(guò)盤(pán)心的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，如圖2所示。

圖2　質(zhì)量微元的選取

分析：圓盤(pán)可看做連續(xù)分布的質(zhì)點(diǎn)系，求解其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，要利用單個(gè)質(zhì)點(diǎn)或已知模型對(duì)某一軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量表達(dá)式，因此對(duì)連續(xù)體先選取微小質(zhì)量單元dm，然后再積分（質(zhì)點(diǎn)系求和），關(guān)鍵在于選取合適的微元并寫(xiě)出其表達(dá)式。為使計(jì)算簡(jiǎn)單，將圓盤(pán)視為由許多薄圓環(huán)組成，取一半徑為r、寬度為dr的薄圓環(huán)作為微元，如圖2（a）所示。薄圓環(huán)的質(zhì)量記為dm；圓盤(pán)的密度為σ，σ=m/πR2。有dm=σds=m/πR22πrdr=2m/R2rdr，則該薄圓環(huán)繞盤(pán)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：

將所有質(zhì)量微元dm對(duì)該轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量dJ進(jìn)行積分計(jì)算可得問(wèn)題的解，即：

應(yīng)用微分處理物理問(wèn)題時(shí)，本質(zhì)上是處理物理量間“變”與“不變”的對(duì)立關(guān)系。本題中，組成圓盤(pán)整體的質(zhì)點(diǎn)系與軸間相對(duì)位置并非恒定，因此直接利用質(zhì)點(diǎn)對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量公式無(wú)法求解。但對(duì)于質(zhì)量微元而言，可以認(rèn)為質(zhì)量微元對(duì)軸的距離是不變的，其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可以直接利用質(zhì)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量表達(dá)式表示。微元的選取并不唯一，應(yīng)遵循便于問(wèn)題分析和計(jì)算的原則，選取不同微元，其結(jié)果都是相同的。

3　積分方法

積分與微分互為逆運(yùn)算，積分即對(duì)微分進(jìn)行求和。積分路徑和積分上下限的選擇既要符合客觀規(guī)律，又要盡量簡(jiǎn)單以減少計(jì)算量。積分方法在力學(xué)、電學(xué)等許多問(wèn)題中有著廣泛的應(yīng)用。如在求解變力做功時(shí)，要先判斷是保守力還是非保守力做功，若為保守力做功，因保守力做功與路徑無(wú)關(guān)，故可選擇最簡(jiǎn)便的積分路徑。當(dāng)積分區(qū)域具有對(duì)稱(chēng)性時(shí)，可利用其對(duì)稱(chēng)性縮小積分范圍，減少計(jì)算量。在解決定積分、含積分的極限等問(wèn)題時(shí)，應(yīng)用積分中值定理可使復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化。

得到動(dòng)量定理

運(yùn)用積分運(yùn)算的定義、特點(diǎn)和性質(zhì)時(shí)，需要結(jié)合物理問(wèn)題的不同特點(diǎn)，選擇不同的處理方法。需要注意的是，在處理物理問(wèn)題時(shí)要結(jié)合問(wèn)題的實(shí)際意義分析結(jié)論的可取性。

4　微分方程方法

微分方程是表示未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及自變量之間關(guān)系的方程，其應(yīng)用十分廣泛。力學(xué)、天文學(xué)、量子力學(xué)等領(lǐng)域的許多問(wèn)題都可以用微分方程來(lái)求解。微分方程在物理學(xué)中的重要應(yīng)用，在于求得滿(mǎn)足一定邊界條件的解。如諧振子模型可以解決許多量子力學(xué)中的實(shí)際問(wèn)題，固體中原子的振動(dòng)問(wèn)題就可以利用該模型研究［5］。通過(guò)求解一定邊界條件下的常微分方程，可以得到諧振子的能量本征值。

假設(shè)一維諧振子的勢(shì)能函數(shù)為：

質(zhì)量為m、頻率為ω的振子的哈密頓量可表示為：

一維諧振子的定態(tài)薛定諤方程為：

為簡(jiǎn)化求解，引入

上式為一個(gè)變系數(shù)二階常微分方程。求解此方程，并使波函數(shù)滿(mǎn)足單值、有限和連續(xù)的束縛條件，就可得諧振子的能量本征值。

當(dāng)|y|→∞時(shí)，上式中λ可忽略，寫(xiě)為：

設(shè)波函數(shù)的解為：

上式代入薛定諤方程可得：

應(yīng)用級(jí)數(shù)法，把φ展開(kāi)成y的函數(shù)。該級(jí)數(shù)必須只含有限項(xiàng)，才能在|y|→∞時(shí)使φ（y）有限，即λ為奇數(shù)，λ=2n+1，（n=0，1，2，…），得諧振子的能量值為：

再有就是要加強(qiáng)對(duì)教師自身的安全知識(shí)培訓(xùn)與學(xué)習(xí)，加強(qiáng)自身素質(zhì)的提高也很有必要。如：經(jīng)常性地開(kāi)設(shè)各種法制、心理健康等安全知識(shí)專(zhuān)題講座，不定期開(kāi)展安全知識(shí)競(jìng)賽等活動(dòng)，加強(qiáng)對(duì)各種常見(jiàn)安全事件發(fā)生的防范措施和應(yīng)急處理方法等所進(jìn)行的講解和示范，切實(shí)把安全管理與安全教育有機(jī)地結(jié)合起來(lái)很有必要。

微分方程建立了變量導(dǎo)數(shù)與變化量間的關(guān)系式。它不僅是各物理參量間的方程，而且也是物理量變化率的方程式。因此，理解并掌握微分方程對(duì)大學(xué)物理學(xué)習(xí)至關(guān)重要。

5　近似計(jì)算法

近似法是一種常用的解題方法，在解決物理問(wèn)題時(shí)廣泛使用。如物理模型的近似是指研究物體運(yùn)動(dòng)時(shí)，將研究對(duì)象近似為有質(zhì)量但不考慮體積或形狀的質(zhì)點(diǎn)。其他如剛體、點(diǎn)電荷、理想氣體等也都是采用了一定程度近似的理想化模型。在物理規(guī)律的推導(dǎo)及相關(guān)問(wèn)題求解中，也經(jīng)常需要結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行近似處理，如利用泰勒級(jí)數(shù)，忽略高階小量，可得函數(shù)的近似解，很多物理定律都是相應(yīng)泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式一階項(xiàng)下的線(xiàn)性近似結(jié)果［6-7］。上文中提到的簡(jiǎn)諧振動(dòng)往往可作為復(fù)雜運(yùn)動(dòng)的初步近似，如雙原子分子中兩原子間的勢(shì)V是二者相對(duì)距離x的函數(shù)，如圖3所示。

圖3　雙原子分子兩原子間的勢(shì)函數(shù)V（x）

在x=a處，V有一極小值V0。在平衡態(tài)x=a附近勢(shì)能可以展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)多項(xiàng)式：

式（18）精確到二級(jí)近似，可寫(xiě)為：

取新坐標(biāo)原點(diǎn)為（a，V0），則勢(shì)能可表示為標(biāo)準(zhǔn)諧振子勢(shì)能形式：

式（20）容易精確求解。一些復(fù)雜勢(shì)場(chǎng)中粒子的運(yùn)動(dòng)可以用線(xiàn)性諧振動(dòng)來(lái)近似描述，這種處理方法在物理中有著廣泛應(yīng)用。

在電磁學(xué)部分公式及定律的推導(dǎo)中也會(huì)利用泰勒級(jí)數(shù)進(jìn)行近似處理［7］。例如，2個(gè)完全相同且彼此平行的線(xiàn)圈，其電流的流向相同，如圖4所示。

圖4　兩圓電流線(xiàn)圈示意圖

求證當(dāng)2線(xiàn)圈中心間距d等于線(xiàn)圈半徑R時(shí)，在2線(xiàn)圈中心連線(xiàn)的中點(diǎn)O附近區(qū)域，磁場(chǎng)可看成是均勻磁場(chǎng)。

分析：建立如圖4所示的坐標(biāo)系，設(shè)磁感應(yīng)強(qiáng)度在Ox軸線(xiàn)上的分布為B（x），如果在軸線(xiàn)上某點(diǎn)處dB/dx=0，同時(shí)滿(mǎn)足d2B/dx2=0，該點(diǎn)附近區(qū)域?yàn)榫鶆虼艌?chǎng)。

證明：在x軸上任一點(diǎn)的磁感強(qiáng)度為2個(gè)電流線(xiàn)圈在軸線(xiàn)上磁感應(yīng)強(qiáng)度的疊加，

當(dāng)dB/dx=0和d2B/dx2=0時(shí)，磁感強(qiáng)度在該點(diǎn)附近區(qū)域內(nèi)是均勻的。

利用泰勒級(jí)數(shù)將磁感應(yīng)強(qiáng)度B（x）在2線(xiàn)圈中點(diǎn)O附近展開(kāi)，得：

在上述證明過(guò)程中，利用泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)近似求得2線(xiàn)圈中點(diǎn)附近區(qū)域?yàn)榫鶆虼艌?chǎng)，同時(shí)運(yùn)用了數(shù)學(xué)中的極值法。

6　結(jié)束語(yǔ)

本文通過(guò)一些實(shí)例分析了微積分中微分、積分、導(dǎo)數(shù)、微分方程以及近似等方法在大學(xué)物理學(xué)習(xí)中的應(yīng)用。本研究旨在對(duì)學(xué)生的大學(xué)物理學(xué)習(xí)有一定的指導(dǎo)作用，為學(xué)生應(yīng)用微積分知識(shí)研究、分析和解決物理問(wèn)題提供解題思路和有效方法。

［1］黎定國(guó)，鄧玲娜，劉義保，等.大學(xué)物理中微積分思想和方法教學(xué)淺談［J］.大學(xué)物理，2005，24（12）：51-54.

［2］陽(yáng)喜元，蔣彬.有關(guān)大學(xué)物理微積分應(yīng)用的若干問(wèn)題［J］.物理通報(bào)，2011（6）：13-16.

［3］馬新澤.淺析大學(xué)物理中的微積分教學(xué)［J］.昌吉學(xué)院學(xué)報(bào)，2009（2）：111-114.

［4］曹劍英.微積分在大學(xué)物理教學(xué)中的應(yīng)用研究［J］.赤峰學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2013，29（5）：13-14.

［5］張三慧.大學(xué)物理學(xué)下冊(cè)［M］.3版.北京：清華大學(xué)出版社，2011.

［6］邢永麗，陳建春.泰勒級(jí)數(shù)在近似計(jì)算中的應(yīng)用［J］.湘潭師范學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2004，26（1）：5-8.

［7］馬文蔚.物理學(xué)系題分析與解答［M］.5版.北京：高等教育出版社，2006.

Application of calculus in university physics

WANG Jin-hua
（School of Science，Tianjin University of Technology and Education，Tianjin 300222，China）

Based on some specific examples，the application of differential，derivative，integral，differential equation，approximation is analyzed in university physics.The analysis provides useful reflections on researching，analyzing and solving physical problems for students，and meanwhile promotes the learning of university physics.

university physics；calculus；differential equation；approximate method；derivative

O172

A

2095－0926（2015）04－0050－04

2015-07-07

王金華（1981—），女，講師，博士，研究方向?yàn)槲锢斫虒W(xué)及材料物理.