一堂概念課引發(fā)的數(shù)學(xué)概念教學(xué)的思考

王麗媛

（延邊第二中學(xué)，吉林　延吉　133000）

一堂概念課引發(fā)的數(shù)學(xué)概念教學(xué)的思考

王麗媛

（延邊第二中學(xué)，吉林延吉133000）

課改實(shí)施至今，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中重解題訓(xùn)練輕概念教學(xué)的現(xiàn)象仍然屢見(jiàn)不鮮。那么數(shù)學(xué)概念教學(xué)的實(shí)際意義是什么？如何教學(xué)才能易于學(xué)生理解和應(yīng)用？怎樣在概念教學(xué)中體現(xiàn)課堂設(shè)計(jì)的有效性？本文以雙曲線概念教學(xué)為例闡述了對(duì)這些問(wèn)題的認(rèn)識(shí)。

數(shù)學(xué)概念教學(xué)；意義；“信息差”效應(yīng)

課改實(shí)施至今，在高中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，“重解題訓(xùn)練輕概念教學(xué)的現(xiàn)象仍然屢見(jiàn)不鮮，一批批學(xué)生在題海中掙扎，卻其實(shí)在下海之前根本沒(méi)有學(xué)會(huì)如何游泳，所以很多學(xué)生感覺(jué)困惑，或是被淹到嗆到，導(dǎo)致對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)失去信心。

那么數(shù)學(xué)概念教學(xué)的實(shí)際意義是什么？如何教學(xué)才能易于學(xué)生理解和應(yīng)用？怎樣在概念教學(xué)中體現(xiàn)課堂設(shè)計(jì)的有效性？現(xiàn)以雙曲線概念教學(xué)為例談?wù)剬?duì)上述問(wèn)題的認(rèn)識(shí)。

一、高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的實(shí)際意義

課改后的高中數(shù)學(xué)教材中的幾乎所有概念，都是通過(guò)實(shí)例，或是對(duì)比或是引申或是提出思考方向，引導(dǎo)學(xué)生找出一類事物的本質(zhì)屬性，然后再對(duì)所發(fā)現(xiàn)的屬性進(jìn)行刻畫與修正，最后用簡(jiǎn)練客觀的數(shù)學(xué)語(yǔ)言定義并用符號(hào)語(yǔ)言表示，對(duì)數(shù)學(xué)概念的教學(xué)就是對(duì)概念的內(nèi)涵和外延的教學(xué)。任何一個(gè)概念都有其內(nèi)涵與外延，這是概念的基本特征。我們把某一概念反映的所有對(duì)象的共同本質(zhì)屬性的總和叫做這個(gè)概念的內(nèi)涵，把適合于這個(gè)概念的所有對(duì)象的范圍稱為這個(gè)概念的外延。

學(xué)生以已有認(rèn)知為基礎(chǔ)，在新舊知識(shí)的碰撞中，體會(huì)新舊概念之間的聯(lián)系與區(qū)別，有助于學(xué)生對(duì)高中教材的整體把握。在一些數(shù)學(xué)課堂，教師由于時(shí)間限制，對(duì)概念一言帶過(guò)，急于進(jìn)行習(xí)題訓(xùn)練，想通過(guò)這個(gè)方式使學(xué)生的解題能力迅速提高。但事實(shí)上，由于學(xué)生沒(méi)有對(duì)概念的本質(zhì)和外延有足夠的理解、把握，習(xí)題和變式的引入生硬牽強(qiáng)，學(xué)生的學(xué)習(xí)囫圇吞棗，難以建立知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，反而增加學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)。同時(shí)，新課標(biāo)下的高考要求，不再是對(duì)單一知識(shí)點(diǎn)的無(wú)限制的深入挖掘，而多是考查知識(shí)的綜合運(yùn)用，這就更需要學(xué)生牢固把握知識(shí)的內(nèi)涵與聯(lián)系。以雙曲線的概念為例，它與橢圓的概念在本質(zhì)上是一致的，即都是反映平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離與定長(zhǎng)大小關(guān)系的曲線，抓住這一本質(zhì)，學(xué)生在探索雙曲線時(shí)就可以對(duì)比橢圓學(xué)習(xí)，無(wú)論是建立標(biāo)準(zhǔn)方程、挖掘曲線性質(zhì)，還是尋求解題思路，都可以以橢圓為基礎(chǔ)探索學(xué)習(xí)。有些概念由于其內(nèi)涵豐富、外延廣泛等原因，直接學(xué)習(xí)晦澀難懂，需要逐步深入學(xué)習(xí)（如三角函數(shù)的概念），或是通過(guò)特例對(duì)比學(xué)習(xí)（如圓錐曲線、數(shù)列、基本初等函數(shù)等），所以重視挖掘概念的內(nèi)涵與外延，正是應(yīng)了“磨刀不誤砍柴工”，不但不會(huì)耽誤習(xí)題的講解，相反會(huì)使習(xí)題的理解與掌握水到渠成。

二.雙曲線概念教學(xué)初探

在概念課教學(xué)中，既要把握其內(nèi)涵，這是掌握概念的基礎(chǔ)；又要了解其外延，有助于了解適合這個(gè)概念的所有對(duì)象范圍；同時(shí)，對(duì)概念中的約束條件的引出要順理成章，以理解為目的，而不是機(jī)械記憶。

以雙曲線概念教學(xué)為例，筆者設(shè)計(jì)如下教學(xué)流程：

復(fù)習(xí)橢圓概念

橢圓和雙曲線都是圓錐曲線，其概念在本質(zhì)上是一致的，所以從已有知識(shí)入手，遷移橢圓的定義，引出對(duì)“差”的思考，便于接下來(lái)雙曲線與橢圓的對(duì)比學(xué)習(xí)。

做拉鏈試驗(yàn)

雙曲線的幾何圖形對(duì)學(xué)生而言是陌生的，而且雙曲線定義屬于構(gòu)造式定義，即通過(guò)概念本身發(fā)生、形成過(guò)程的描述來(lái)給出的，針對(duì)上述特點(diǎn)，由學(xué)生親手畫出雙曲線是十分必要的，所以組織學(xué)生分組做拉鏈實(shí)驗(yàn)，在雙曲線概念的形成過(guò)程中認(rèn)識(shí)雙曲線。蘇霍姆林斯基認(rèn)為，在人們的心靈深處都有一種根深蒂固的需要，那就是希望感到自己是一個(gè)發(fā)現(xiàn)者，研究者。而教師完全可以通過(guò)課前設(shè)計(jì)，幫助學(xué)生成為每一個(gè)概念的發(fā)現(xiàn)者和研究者，培養(yǎng)勇于探索的品質(zhì)與能力。

有效設(shè)計(jì)問(wèn)題，確保信息差效應(yīng)

面對(duì)陌生的幾何圖形與陌生的拉鏈試驗(yàn)，學(xué)生茫然沒(méi)有抓手，即便勉強(qiáng)畫出曲線，也無(wú)法將定義尤其是定義中的約束條件闡明，導(dǎo)致本節(jié)課至此都是無(wú)效的。所以，教師適當(dāng)?shù)膯?wèn)題引領(lǐng)，和體現(xiàn)“信息差”效應(yīng)的問(wèn)題設(shè)計(jì)，顯得尤為重要。

本節(jié)課，筆者設(shè)計(jì)的問(wèn)題是：（M點(diǎn)代表拉鎖頭，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別代表紙板上的兩個(gè)定點(diǎn)）

（1）畫出當(dāng)|MF1|＞|MF2|時(shí)的軌跡，它滿足的幾何條件是什么？當(dāng)|MF1|＜|MF2|呢？|MF1|=|MF2|呢？

（2）請(qǐng)你比量一下兩定點(diǎn)間的距離與截下那段拉鎖長(zhǎng)度，它們有怎樣的大小關(guān)系？若改變這種大小關(guān)系，軌跡會(huì)發(fā)生怎樣的變化？

帶著這兩個(gè)問(wèn)題，學(xué)生邊做實(shí)驗(yàn)邊思考，教師對(duì)學(xué)生的發(fā)散活動(dòng)進(jìn)行調(diào)控，又不過(guò)多干涉阻礙，師生之間通過(guò)這種方式交換信息，確?！靶畔⒉睢毙?yīng)，體現(xiàn)以人為本的教學(xué)理念，也促使學(xué)生學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變。在這部分的設(shè)計(jì)中，教師的問(wèn)題與學(xué)生的動(dòng)手實(shí)驗(yàn)就像伴侶一樣，互相配合，才可以實(shí)現(xiàn)有效教學(xué)。

內(nèi)化概念，找平認(rèn)知差異

學(xué)生將實(shí)際操作上升為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，即形成定義后，其實(shí)并沒(méi)有完成概念教學(xué)。由于不同學(xué)生的認(rèn)知差異等因素，教師還要設(shè)計(jì)一個(gè)對(duì)新概念去粗取精、由表及里的深入環(huán)節(jié)，使學(xué)生由感性認(rèn)識(shí)上升為理性的辨證認(rèn)識(shí)。

在本節(jié)課，筆者設(shè)計(jì)了利用代數(shù)表達(dá)式的幾何意義對(duì)雙曲線概念的辨析問(wèn)題：

判斷下列方程是否表示雙曲線

通過(guò)判斷，可以初步培養(yǎng)運(yùn)用概念作簡(jiǎn)單辨別的能力，并且對(duì)定義中的限制條件強(qiáng)化理解，將抽象的數(shù)學(xué)概念與實(shí)際問(wèn)題互相補(bǔ)充理解，拉平學(xué)生由于認(rèn)知水平產(chǎn)生的差異，為概念教學(xué)“固色”。

波利亞指出“學(xué)習(xí)最好的途徑是自己去發(fā)現(xiàn)”。要想改變多少年形成的學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的畏難情緒或覺(jué)得無(wú)用的想法，作為前沿問(wèn)題的數(shù)學(xué)概念教學(xué)就必須引起我們一線教師的足夠重視，這不只是理論問(wèn)題，更應(yīng)該從實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)整理。

［1］王宜飛.淺析概念的內(nèi)涵和外延［J］.時(shí)代報(bào)告:學(xué)術(shù)版，2013，（3x）.

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