淺談高中函數(shù)中的周期問題

渠偉

高中的周期問題是一個(gè)小而常用的知識(shí)點(diǎn)。說它小：課本只在三角函數(shù)性質(zhì)中給出了定義，篇幅較少，介紹較為簡(jiǎn)單;說它常用：在考試中其作為函數(shù)的重要性質(zhì)，經(jīng)常性出現(xiàn)在選擇題，甚至解答題中，可見其重要性?，F(xiàn)筆者就高中函數(shù)的周期性問題進(jìn)行總結(jié)、歸納。

一、定義

對(duì)于函數(shù)y=f（x），如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，f（x）=f（x+t）都成立，則稱y=f（x）為周期函數(shù)。對(duì)此定義的理解，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：

1.高中教材中關(guān)于函數(shù)周期的內(nèi)容只有定義，這就要求解答題中關(guān)于函數(shù)周期的證明只能回到定義中。即必須證明f（x）=f（x+t）成立。

例如，2001年高考數(shù)學(xué)（文科）第22題，設(shè)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，其圖像關(guān)于x=1對(duì)稱，證明：y=f（x）是周期函數(shù)。

證明：依題設(shè)y=f（x）關(guān)于直線x=1對(duì)稱，故f（x）=f（2-x）.

又由y=f（x）為偶函數(shù)，故f（x）=f（-x）。

所以，f（-x）=f（2-x）。將上式中-x代換為x，

則得f（x）=f（x+2）.所以y=f（x）是以2為周期的周期函數(shù)。

2.周期函數(shù)的定義要求對(duì)于定義域內(nèi)的每一個(gè)x，都有f（x）=f（x+t）成立，而不是某幾個(gè)特殊值，因此函數(shù)定義域必須至少有一側(cè)趨于無窮大。即有一側(cè)無界。

3.周期函數(shù)的周期肯定有無數(shù)個(gè)，若T為周期，則2T，3T，…nT也均為其周期，所以課本中出現(xiàn)了最小正周期的概念。對(duì)于一個(gè)函數(shù)f（x），如果它所有的周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)叫f（x）的最小正周期。

4.周期函數(shù)可以無最小正周期。如常函數(shù)y=a。

二、周期的判斷公式

解題過程中，要記住周期判斷的幾個(gè)變式：

1.f（x+T）=f（x） ？圳y=f（x）的周期為T

2.f（x+a）=f（b+x）（a

3.f（x+a）=-f（x） ？圳y=f（x）的周期為T=2a

4.f（x+a）=（c為常數(shù)） ？圳y=f（x）的周期為T=2a

5.f（x+a）=-?？圳y=f（x）的周期為T=4a

6.f（x+a）=-?？圳y=f（x）的周期為T=4a

7.f（x+2a）=f（x+a）-f（x） ？圳y=f（x）的周期為T=6a

這些都是周期的判斷公式，其基礎(chǔ)都是源于周期函數(shù)的定義。有了這些周期判斷公式后，解決函數(shù)周期問題將變得簡(jiǎn)單、方便，下面試舉幾例。

例1.函數(shù)f（x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x滿足f（x+3）=，若f（-1）=3，f（5）= ? .

解析：抽象函數(shù)周期推導(dǎo)總是以原恒成立等式推導(dǎo)而出。

解：由題意有f（x+3+3）===f（x）=f（x+6），故函數(shù)是周期函數(shù)，其中一個(gè)周期為6，故f（-1）=f（-1+6）=f（5）=3.

三、函數(shù)中對(duì)稱性、奇偶性與周期性關(guān)系

（1）函數(shù)y=f（x）滿足f（a+x）=（a-x）（a>0）恒成立，若f（x）為奇函數(shù)，則其周期為T=4a。

（2）函數(shù)y=f（x）滿足f（a+x）=（a-x）（a>0）恒成立，若f（x）為偶函數(shù)，則其周期為T=2a。

以上兩個(gè)性質(zhì)的證明可以參考開篇提到的2001年高考數(shù)學(xué)（文科）第22題的證明方法，在此就不重復(fù)證明。下面試舉其他幾例，說明它們?nèi)叩年P(guān)系。

1.函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，若f（x+1）與f（x-1）都是奇函數(shù)，則（ ?）

A.f（x）是偶函數(shù) B.f（x）是奇函數(shù)

C.f（x）=f（x+2） D.f（x+2）是奇函數(shù)

證明：若f（x+1）是奇函數(shù)，則f（-x+1）=-f（x+1）

因?yàn)閒（x-1）是奇函數(shù)，則f（-x-1）=-f（x-1）？圳f[-（x+2）-1]=-f[（x+2）-1]=-f（x+1）

則：f（-x+1）=f[-（x+2）-1]=f（-x-3）？圳f（-x+1）=f（-x-3）？圳f（x+1）=f（x-3）

則f（x）是以4為周期的函數(shù)，即：f（x）=f（x+4）

又：f（-x+1）=-f（x+1）？圳f[-（x+4）+1]=-f[（x+4）+1]？圳f（-x-3）=-f（x+5），f（x+5）=f（x-3）

所以：f（-x-3）=-f（x-3），即：f（x+3）是奇函數(shù)。

以上是筆者對(duì)高中函數(shù)周期性的一些理解，周期作為函數(shù)的重要性質(zhì)，在將來的考試中必然作為比較重點(diǎn)的知識(shí)進(jìn)行考查，希望能給讀者帶來一些幫助。

？誗編輯 楊兆東