淺談巖土工程分析的非線性有限元理論

張曉杰 楊?yuàn)檴? 劉文會(huì) 李靜

【摘要】目前，巖土彈塑性力學(xué)中常用的準(zhǔn)則有很多種，在國內(nèi)外的學(xué)者普遍認(rèn)為Mohr-Coulomb屈服準(zhǔn)則和Drucker-Prager屈服準(zhǔn)則對(duì)于巖土類材料比較適用。

【關(guān)鍵詞】巖土；非線性；有限元理論；彈塑性

1.概述

在工程建設(shè)中，很多實(shí)際巖土工程問題的解決最后都?xì)w結(jié)到邊界值問題的分析上來。在解決邊界值的問題上，邊界條件、平衡方程以及應(yīng)變協(xié)調(diào)方程是在進(jìn)行數(shù)值分析時(shí)必須要滿足的條件，但是怎樣選擇土特性的應(yīng)力應(yīng)變本構(gòu)模型才是問題能否得到實(shí)際解答的決定因素，而這種巖土本構(gòu)關(guān)系的重要性也隨著研究手段的進(jìn)步和計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅猛發(fā)展而更加突出。在現(xiàn)階段的研究中，人們?cè)絹碓疥P(guān)注以彈塑性理論為基礎(chǔ)的本構(gòu)模型的研究。

2.巖土彈塑性本構(gòu)關(guān)系

2.1 巖土的彈塑性分析

巖土材料在應(yīng)力比較小而變形時(shí)，可認(rèn)為材料是線彈性的，但如果巖土材料的應(yīng)力達(dá)到或超過某一值時(shí)，則材料表現(xiàn)出塑性變形。

一般來說，彈性理論模型是一種最簡單的模型，許多巖土問題只運(yùn)用線彈性理論來分析就可以達(dá)到預(yù)定的精度要求，但對(duì)于巖土工程中大多數(shù)實(shí)際問題，只用線彈性理論計(jì)算是不合理的，線彈性理論模型不能描述巖土材料的殘余變形特性，所以還它的非線性特征也應(yīng)該考慮進(jìn)去。

結(jié)構(gòu)剛度是變化的，這是非線性問題的基本特點(diǎn)，可以分為三類：材料非線性、幾何非線性和狀態(tài)非線性。這三類問題各有不同，幾何非線性是由結(jié)構(gòu)變形的大位移引起的；材料非線性是由材料的非線性物理性質(zhì)引起的；狀態(tài)非線性是一種與狀態(tài)相關(guān)的非線性的行為。

2.2 屈服準(zhǔn)則

理想彈塑性材料在沒有屈服前，僅有彈性變形，一旦屈服，就將發(fā)生塑性變形，而且屈服前后應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系相差很大。通過以往的試驗(yàn)，材料的應(yīng)力狀態(tài)和材料屈服之間有著十分密切的關(guān)系，對(duì)于復(fù)雜受力情況，當(dāng)各個(gè)應(yīng)力分量的函數(shù)組合達(dá)到一定值時(shí)，就可以用以下公式來表示：

（1）

式中：

—屈服函數(shù)。

對(duì)某一 值，則函數(shù)在應(yīng)力空間中對(duì)應(yīng)一個(gè)確定的屈服曲面。當(dāng) 值不斷變化時(shí)，對(duì)應(yīng)一系列屈服面，故將上式稱為屈服準(zhǔn)則。

有屈服準(zhǔn)則可知，使 < 的狀態(tài)稱為彈性狀態(tài)，這時(shí)介質(zhì)對(duì)無限小的外部作用的反應(yīng)是彈性的；使 = 的狀態(tài)稱為塑性狀態(tài)，此時(shí)材料已經(jīng)產(chǎn)生了屈服，對(duì)外部作用的反應(yīng)是彈塑性的；而 > 的狀態(tài)是不存在的，或者說也可能超過原來的 值，但由于材料屈服后發(fā)生了“硬化”，所以此時(shí)的 值提高了，仍然保持著 的函數(shù)塑性狀態(tài)。

目前，巖土彈塑性力學(xué)中常用的準(zhǔn)則主要有：Mises準(zhǔn)則與廣義Mises準(zhǔn)則，Tresca準(zhǔn)則與廣義Tresca準(zhǔn)則，Mohr-Coulomb準(zhǔn)則，Drucker-Prager準(zhǔn)則，Zienkiewicz-Pande準(zhǔn)則，Lade-Duncan準(zhǔn)則，松岡-中井（SMP），俞茂宏雙剪準(zhǔn)則。在國內(nèi)外的學(xué)者普遍認(rèn)為Mohr-Coulomb屈服準(zhǔn)則和Drucker-Prager屈服準(zhǔn)則對(duì)于巖土類材料比較適用[43]。

2.3 莫爾-庫侖（Mohr-Coulomb）屈服準(zhǔn)則

莫爾-庫侖準(zhǔn)則是一種最大剪應(yīng)力準(zhǔn)則，它是莫爾應(yīng)力圓方法和庫侖強(qiáng)度理論的結(jié)合，在 時(shí)（ ， ， 為主應(yīng)力），可由最大剪應(yīng)力（即莫爾圓的半徑） 與法向應(yīng)力（即莫爾圓的圓心坐標(biāo)） 表示為下式：

（2）

所以可得出在應(yīng)力空間中，屈服函數(shù)的表達(dá)式為：

（3）

或者用矢量表達(dá)式為：

（4）

式中：

—屈服面上的剪應(yīng)力；

—內(nèi)聚力；

— 所在平面上的正應(yīng)力；

—內(nèi)摩擦角。

或用應(yīng)力張量來表示：

（5）

式中：

—通常稱之為Lode角；

—應(yīng)力第一不變量， ；

—應(yīng)力偏量的第二不變量，可有下式來計(jì)算：

（6）

或者

（7）

可見，Mohr-Coulomb準(zhǔn)則在π平面上的 在 時(shí)比 時(shí)要大，故為一個(gè)不等角的六邊形，在應(yīng)力空間中，Mohr-Coulomb屈服面為一六棱錐面。因此Mohr-Coulomb屈服準(zhǔn)則就存在著兩大缺點(diǎn)：第一，在π平面上是一個(gè)不等角的六邊形，造成了奇異點(diǎn)的存在，對(duì)計(jì)算機(jī)在數(shù)值計(jì)算方面帶來了很大的困難。第二，準(zhǔn)則只考慮了最大剪應(yīng)力（ ， ），沒有考慮主應(yīng)力 對(duì)強(qiáng)度的貢獻(xiàn)。

2.4 彈塑性本構(gòu)方程

要對(duì)彈塑性過程的應(yīng)力、應(yīng)變和位移進(jìn)行分析，本構(gòu)方程的建立尤其顯得重要。

巖土的應(yīng)變由可分為恢復(fù)的彈性應(yīng)變 和不可恢復(fù)的塑性應(yīng)變 兩個(gè)部分。其中的彈性應(yīng)變可按照彈性理論虎克定律計(jì)算，塑性應(yīng)變則可用塑性理論進(jìn)行求解。如圖1所示，以抽象的應(yīng)力應(yīng)變坐標(biāo)來表示巖土的非線性關(guān)系，其“斜率”為 。 為彈性模量E，在 曲線中表示的是彈性階段的斜率； 為塑性模量 ，表示塑性應(yīng)力增量 與 對(duì)應(yīng)的斜線的斜率 ；而 為彈塑性模量 ，表示應(yīng)力增量 與應(yīng)變?cè)隽?之比。彈塑性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的矩陣表達(dá)式，通常寫成如下形式：

圖1 彈塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系

（8）

（9）

式中：

—彈性應(yīng)變；

—塑性應(yīng)變；

—為彈塑性剛度矩陣，可按下式計(jì)算：

（10）

這里A是反映硬化特性的一個(gè)變量，與硬化參數(shù)H的選擇有關(guān)。

對(duì)于理想塑性材料，A=0，則有：

（11）

結(jié)語語

1.彈塑性問題至今在工程中得到了廣泛的應(yīng)用，已成為工程數(shù)值方法的一個(gè)核心課題。

2.要對(duì)彈塑性過程的應(yīng)力、應(yīng)變和位移進(jìn)行分析，本構(gòu)方程的建立尤其顯得重要，彈塑性本構(gòu)方程歸根結(jié)底就是材料的應(yīng)力和應(yīng)變?cè)趶椝苄誀顟B(tài)下之間的關(guān)系問題。

參考文獻(xiàn)：

[1]謝定義， 姚仰平， 黨發(fā)寧. 高等土力學(xué)[M]. 北京： 高等教育出版社， 2008.

作者簡介：張曉杰（1980-），男，河北邯鄲人，河北聯(lián)合大學(xué)遷安學(xué)院，助教。