對(duì)條件概率、獨(dú)立性、數(shù)學(xué)期望教學(xué)的思考

姜云波

【摘 要】條件概率和獨(dú)立性這是概率論中的兩個(gè)重要概念，也是兩個(gè)有著聯(lián)系的概念；數(shù)學(xué)期望是一個(gè)很重要的數(shù)字特征，是概率論內(nèi)容的一個(gè)重要部分。本文主要分析了關(guān)于條件概率和獨(dú)立性教學(xué)的一些思考及對(duì)數(shù)學(xué)期望教學(xué)中涉及隨機(jī)變量的絕對(duì)值的數(shù)學(xué)期望這一問(wèn)題的思考。

【關(guān)鍵詞】條件概率 獨(dú)立性 數(shù)學(xué)期望 教學(xué)

【中圖分類號(hào)】G642 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】1674-4810（2015）05-0064-02

條件概率和獨(dú)立性是概率論中的兩個(gè)基礎(chǔ)概念，也是比較抽象的兩個(gè)概念，筆者認(rèn)為，從例子出發(fā)，能幫助學(xué)生理解這兩個(gè)概念。數(shù)學(xué)期望是隨機(jī)變量的一個(gè)數(shù)字特征，也是方差定義的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)期望的計(jì)算方式方法也較多。一般情況下，涉及隨機(jī)變量的絕對(duì)值的數(shù)學(xué)期望的計(jì)算不容易，特別是在連續(xù)型隨機(jī)變量的情況下，要涉及將絕對(duì)值符號(hào)去掉后的被積函數(shù)的表達(dá)式、積分范圍的確定及廣義積分的計(jì)算。

在參考文獻(xiàn)[1]中有這樣一個(gè)例題：

例1：將一枚硬幣拋擲兩次，觀察其出現(xiàn)正反面的情況。設(shè)事件A為“至少有一次為H”，事件B為“兩次擲出同一面”?，F(xiàn)在來(lái)求已知事件A已經(jīng)發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率。

對(duì)于上述例1，參考文獻(xiàn)[1]中給出了結(jié)果：P（B|A）=

，還給出了P（B）= ≠P（B|A）。

上述例1從獨(dú)立性的角度看，意味著事件A與事件B不是相互獨(dú)立的。從直觀的理解看，也能看出事件A與事件B不是相互獨(dú)立的，事件A的發(fā)生對(duì)于事件B的發(fā)生是有影響的。

將上述例1中的事件A變?yōu)椤暗谝淮螖S出正面”，這時(shí)

可以計(jì)算得出P（B|A）= =P（B），從直觀的理解看，也

能看出事件A與事件B是相互獨(dú)立的，事件A的發(fā)生對(duì)于事件B的發(fā)生是沒(méi)有影響的。

將上述例子進(jìn)一步修改為下例：

例2：將一枚硬幣和骰子同時(shí)拋擲，共拋擲兩次，觀察硬幣出現(xiàn)正反面和骰子出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)的情況。設(shè)事件A為“至少有一次硬幣為正面，同時(shí)骰子出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為3”，事件B為“硬幣兩次擲出同一面”。（1）求已知事件A已經(jīng)發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率。（2）事件A變?yōu)椤暗谝淮斡矌艛S出正面，同時(shí)骰子出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為3”，再求已知事件A已經(jīng)發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率。

（1）求解過(guò)程：為求此試驗(yàn)的樣本空間，首先根據(jù)硬幣出現(xiàn)正反面的情況分成四類：正正、正反、反正、反反。在每一類中根據(jù)骰子的點(diǎn)數(shù)可以表示成集合的形式：{（i，j）|i∈N+，j∈N+，1≤i≤6，1≤j≤6}，有36個(gè)元素，故此試驗(yàn)的樣本空間共有4×36=144個(gè)樣本點(diǎn)。在事件A已經(jīng)發(fā)生的條件下，此時(shí)可能的結(jié)果在正正、正反、反正這三類中出現(xiàn)。在正正這一類中，出現(xiàn)了11次；在正反這一類中，出現(xiàn)了6次；在反正這一類中，出現(xiàn)了6次。則事件A中共有23個(gè)元素，在事件A已經(jīng)發(fā)生的條件下，只有正正這一類中出現(xiàn)的11個(gè)元素屬于B，故P（B|A）= ，而

從直觀的理解看，（1）中容易看出事件“至少有一次硬幣為正面，同時(shí)骰子出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為3”對(duì)于事件“硬幣兩次擲出同一面”的發(fā)生是有影響的，所以最后的結(jié)果中P（B）≠P（B|A）；而（2）中容易看出“第一次硬幣擲出正面，同時(shí)骰子出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為3”對(duì)于第二次硬幣的正反是沒(méi)有影響的，故對(duì)事件“硬幣兩次擲出同一面”的發(fā)生是沒(méi)有影響的，故最后的結(jié)果中P（B|A）=P（B）。

在參考文獻(xiàn)[1]中條件概率這一節(jié)中還有后驗(yàn)概率這個(gè)與條件概率有關(guān)的概念。參考文獻(xiàn)[1]中第19頁(yè)的例7的問(wèn)題已給出結(jié)果，若將此例的問(wèn)改為求已知某日早上第一件產(chǎn)品是不合格品時(shí)，機(jī)器調(diào)整的良好的概率，則所求概率

為 ，容易求得結(jié)果約為0.46。

從直觀的理解看，對(duì)于要考察的對(duì)象，如果延續(xù)好的狀態(tài)，那么一般將提高評(píng)價(jià)，如果出現(xiàn)壞的狀態(tài)，那么一般將降低評(píng)價(jià)，但若沒(méi)有經(jīng)過(guò)大量數(shù)據(jù)的檢驗(yàn)，僅憑一次的考察就得出評(píng)價(jià)一般會(huì)有一定的波動(dòng)性。從上述的結(jié)果看，若某日早上第一件產(chǎn)品是合格品時(shí)，后驗(yàn)概率提高，若某日早上第一件產(chǎn)品是不合格品時(shí)，后驗(yàn)概率降低，但這只是憑某日早上第一件產(chǎn)品是否合格得出的結(jié)論，從此例的結(jié)果看，后驗(yàn)概率從0.97到0.46，變動(dòng)幅度較大。

有這樣的題目：設(shè)隨機(jī)變量X～N（μ，σ2），Y～N（μ，1），且X和Y是相互獨(dú)立的，求E（|X-Y|）。

關(guān)于其計(jì)算的過(guò)程和結(jié)果已有結(jié)論，簡(jiǎn)述如下：由于X-Y～N（0，σ2+1），在計(jì)算E（|X-Y|）時(shí)，可通過(guò)參考文獻(xiàn)[1]中有關(guān)一個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望的相關(guān)結(jié)

論來(lái)計(jì)算，其結(jié)果為E（|X-Y|）= 。

對(duì)于E（|X-Y|）的計(jì)算，涉及兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)。作者在教學(xué)中，有學(xué)生問(wèn)：能否通過(guò)兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望的相關(guān)結(jié)論來(lái)計(jì)算，以對(duì)上述計(jì)算結(jié)果提供印證呢？作者在思考后，進(jìn)行了計(jì)算，得到了如后的過(guò)程。

令f（x，y）= ，參考文獻(xiàn)[1]中有關(guān)兩個(gè)

隨機(jī)變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望的相關(guān)結(jié)論，則有：

令u=x-y，交換積分次序，則有：

將 代入，再配方，進(jìn)一步計(jì)算可得：

可以看出，計(jì)算結(jié)果與之前的計(jì)算結(jié)果相同。

通過(guò)上面相關(guān)的實(shí)際例子及對(duì)于上述相關(guān)內(nèi)容的講解，有利于學(xué)生們加深對(duì)于條件概率和獨(dú)立性這兩個(gè)概念及它們之間關(guān)系的理解，提高學(xué)生們對(duì)于后驗(yàn)概率、條件概率的理解及學(xué)習(xí)興趣。涉及隨機(jī)變量的絕對(duì)值的數(shù)學(xué)期望時(shí)，其計(jì)算往往比較難，但方法也并不一定就是唯一的，通過(guò)多種方法進(jìn)行計(jì)算，可以熟悉相關(guān)知識(shí)，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性。以上內(nèi)容希望能對(duì)相關(guān)內(nèi)容的教學(xué)有所幫助。

參考文獻(xiàn)

[1]盛驟、謝式千、潘承毅編.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2008

〔責(zé)任編輯：林勁〕