數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性教學(xué)探討

摘 要：級(jí)數(shù)的收斂性是級(jí)數(shù)理論的首要概念。對(duì)級(jí)數(shù)收斂性概念的教學(xué)進(jìn)行探討，通過(guò)問(wèn)題驅(qū)動(dòng)，給學(xué)生展現(xiàn)級(jí)數(shù)概念的形成過(guò)程。

關(guān)鍵詞：數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù);數(shù)學(xué)史;極限

級(jí)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)和進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的有力工具，在多種實(shí)際問(wèn)題上的應(yīng)用非常廣泛。對(duì)級(jí)數(shù)的研究可追溯至對(duì)芝諾悖論的探討，其重要性始現(xiàn)于微積分學(xué)的創(chuàng)立與發(fā)展。例如，在求解面積問(wèn)題時(shí)，牛頓最初就是利用將函數(shù)表示成無(wú)窮級(jí)數(shù)的方法，進(jìn)而逐項(xiàng)求積。另外，牛頓也使用了相同的方法來(lái)處理微分方程的問(wèn)題。級(jí)數(shù)是構(gòu)造非初等函數(shù)的重要方法，例如我們所熟知的積分，無(wú)法通過(guò)黎曼積分方法求出，而是通過(guò)級(jí)數(shù)的方法求解的。一旦給出了函數(shù)的級(jí)數(shù)表示，對(duì)該函數(shù)的分析性質(zhì)進(jìn)行探討就很便利了。級(jí)數(shù)理論是以簡(jiǎn)馭繁的數(shù)學(xué)思想的重要體現(xiàn)，以物理學(xué)的觀點(diǎn)看，這就相當(dāng)于把一個(gè)復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)分解為一系列簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的疊加。

級(jí)數(shù)理論中的首要概念是收斂性，利用無(wú)窮級(jí)數(shù)來(lái)表示函數(shù)，即逼近問(wèn)題，最終將歸結(jié)為級(jí)數(shù)的收斂問(wèn)題，因此，級(jí)數(shù)收斂性概念的教學(xué)是非常重要的，本文結(jié)合課堂教學(xué)實(shí)踐，探討級(jí)數(shù)收斂性概念的教學(xué)。

一、重視級(jí)數(shù)概念的形成過(guò)程，注重?cái)?shù)學(xué)史的滲透

級(jí)數(shù)概念建立在極限基礎(chǔ)之上，從有限和到無(wú)限和之間有了極限運(yùn)算的參與，超乎學(xué)生的直觀經(jīng)驗(yàn)，抽象度高。作為級(jí)數(shù)教學(xué)的首課時(shí)，應(yīng)該讓學(xué)生對(duì)整章內(nèi)容的框架有個(gè)大概了解，因此，扼要介紹級(jí)數(shù)的發(fā)展史是很有必要的，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)知識(shí)是實(shí)踐的產(chǎn)物，源于生活并服務(wù)于生活。為此，我們利用問(wèn)題驅(qū)動(dòng)，從芝諾悖論開(kāi)始，引入級(jí)數(shù)概念。

第一環(huán)節(jié)：?jiǎn)栴}提出

Aristotle悖論（PPT演示）

問(wèn)題1：無(wú)限個(gè)數(shù)相加的結(jié)果是什么？

問(wèn)題2：有限個(gè)數(shù)相加的結(jié)合律、交換律對(duì)于無(wú)限和還有效嗎？

第二環(huán)節(jié)：引出定義

定義1：給定一個(gè)數(shù)列un，對(duì)其各項(xiàng)依次用“+”號(hào)連接起來(lái)的表達(dá)式：

un=u1+u2+…+un+…（*）

稱為常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)或數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（簡(jiǎn)稱級(jí)數(shù)），其中稱為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（*）的通項(xiàng)或一般項(xiàng)。

回到我們的問(wèn)題：如何判斷級(jí)數(shù)（*）的結(jié)果？

先看一個(gè)例子：（讓學(xué)生自由交流，與同學(xué)分享自己的結(jié)論，教師總結(jié)討論的結(jié)果）

令S=1-1+1-1+1-1+…

結(jié)果1：S=（1-1）+（1-1）+（1-1）+…=0+0+0+…=0

結(jié)果2：S=1+（-1+1）+（-1+1）+…=1+0+0+…=1

結(jié)果3：S=1-（1-1+1-1+…）=1-S，從而S=

從上例可以看到，有限個(gè)數(shù)相加與無(wú)限個(gè)數(shù)相加是不同的，有限到無(wú)限之間經(jīng)歷了質(zhì)的變化，有限和的交換律與結(jié)合律不能“平行移植”到無(wú)限和。在此，數(shù)學(xué)再一次發(fā)揮了其以簡(jiǎn)御繁的精神與方法，“簡(jiǎn)”即有限，“繁”即無(wú)窮，“御”即逼近：以有限項(xiàng)之和去逼近無(wú)窮項(xiàng)之和。我們可以看到，所選項(xiàng)數(shù)越多，近似程度越高，由此，引入“部分和”的概念：

定義2：級(jí)數(shù)un的前n項(xiàng)之和Sn=un=u1+u2+…+un，稱為級(jí)數(shù)（*）的第n個(gè)部分和（簡(jiǎn)稱部分和）。若部分和數(shù)列Sn收斂，即■Sn=S，則稱級(jí)數(shù)（*）收斂，且S為其和，記作un=S。

第三環(huán)節(jié)：定義運(yùn)用

例1：（解決Aristotle悖論）

解：由于Si=S+S+…+S+…，而Si=S+S+…+S==S，因此，Si=S。

這說(shuō)明總路程是一段有限的距離，不可能永遠(yuǎn)也走不到終點(diǎn)，同時(shí)指出悖論的謬誤之處。

例2：討論S=1-1+1-1+1-1+…的斂散性。

解：S1=a1=1，

S2=a1+a2=1+（-1）=0，

S3=a1+a2+a3=1+（-1）+1=1，

S4=a1+a2+a3+a4=1+（-1）+1+（-1）=0…

Sn=1，n=2k-10，n=2k

因此，Sn不存在，級(jí)數(shù)發(fā)散。

例3：討論等比級(jí)數(shù)arn-1=a+ar+ar2+…+arn+…（a≠0）的斂散性。

解：因?yàn)镾n=ark-1=a·，當(dāng)r≥1時(shí)，顯然級(jí)數(shù)發(fā)散。

當(dāng)r<1時(shí)，我們有Sn=a·=。此時(shí)，級(jí)數(shù)收斂。

等比級(jí)數(shù)是非常重要的一類無(wú)窮級(jí)數(shù)，在后續(xù)學(xué)習(xí)級(jí)數(shù)斂散性判別中有重要作用。例2能讓學(xué)生體會(huì)無(wú)限和與有限和的區(qū)別。

三、教學(xué)反思

極負(fù)盛名的荷蘭數(shù)學(xué)教育學(xué)家Freudenthal曾說(shuō)：沒(méi)有一種數(shù)學(xué)思想，以它最初被發(fā)現(xiàn)時(shí)的那個(gè)樣子發(fā)表出來(lái)。一個(gè)問(wèn)題被解決以后，相應(yīng)的發(fā)展成一種形式化的技巧，結(jié)果使得火熱的思考變成了冰冷的美麗。本著這樣的理念，教師的任務(wù)是將這些閃亮的思想過(guò)程還原給學(xué)生，引導(dǎo)其思考、探索，從而培養(yǎng)其發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。大學(xué)課堂是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入科學(xué)研究領(lǐng)域的前沿陣地之一，能把學(xué)生吸引住的，不是冰冷的定理定義，而是隱藏其后的那些火熱的思考與碰撞。

參考文獻(xiàn)：

[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].4版.北京：高等教育出版社，2010.

[2]張奠宙，張蔭南.新概念：用問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的數(shù)學(xué)教學(xué)[J]，高等數(shù)學(xué)研究：2004，7（3）：8-10.

[3]Walter Rudin.Principles of mathematical analysis[M]. McGraw-Hill Companies，Inc. 1976.

作者簡(jiǎn)介：蘭堯堯，女，1981.12，博士，副教授，重慶文理學(xué)院數(shù)學(xué)與財(cái)經(jīng)學(xué)院，研究方向：不確定性理論及其應(yīng)用

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（編號(hào)：11226268），重慶文理學(xué)院教學(xué)改革研究項(xiàng)目（編號(hào)：110235），重慶文理學(xué)院第二批特色項(xiàng)目（《實(shí)變函數(shù)》課程教學(xué)改革研究）。

？誗編輯 李建軍