有形的數(shù)學(xué)

玉花

中圖分類號：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1672-8882（2015）05-146-01

“在數(shù)學(xué)課程中，應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展學(xué)生的數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力和模型思想?！边@是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》闡述課程內(nèi)容中的一句話，其中“幾何直觀、運(yùn)算能力和模型思想”是這次新課程標(biāo)準(zhǔn)中新增加的內(nèi)容，凸顯了其在義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程中的重要性。

那么，什么是幾何直觀呢？“幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題?！?也被稱為有形的數(shù)學(xué)。幾何直觀這里的“圖形”主要指點(diǎn)、線、面、體以及以上四要素組成的其它幾何圖形；幾何直觀所要描述和分析的問題，不僅可以是數(shù)學(xué)問題，而且可以是生活問題。為什么在2011年版義務(wù)教育數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)中，要提出應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展學(xué)生的幾何直觀呢？

一、幾何直觀有助于學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解

小學(xué)生是按照“感知――表象――概念”這一規(guī)律學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的。幾何直觀可強(qiáng)化感性認(rèn)識，能為建立清晰而準(zhǔn)確的概念打下基礎(chǔ)。

例如，教學(xué)“三角形的認(rèn)識”時(shí)，為了讓學(xué)生能準(zhǔn)確理解什么是三角形？導(dǎo)入新課，老師可讓學(xué)生拿出自己準(zhǔn)備好的三角板摸一摸它的外觀，引導(dǎo)學(xué)生說出這就是“三角形”后，并讓學(xué)生用三角板或尺子畫出“三角形”，再讓學(xué)生說一說：“你是怎樣畫三角形的？”“用三條線段首尾相接畫成一個(gè)三角形?！苯又鴨枺涸谏钪羞€有哪些物體的外形是三角形的？學(xué)生舉例：紅領(lǐng)巾、小三角旗、自行車框架、屋架等，教師隨之播放準(zhǔn)備好的課件，呈現(xiàn)這些幾何圖案。接著引導(dǎo)學(xué)生“做”三角形：用三根小棒擺一擺，擺成一個(gè)三角形，并讓一名學(xué)生在實(shí)物投影儀上操作演示，并讓這位學(xué)生說一說：“你是怎樣擺的？”“用三根小棒首尾相接擺成一個(gè)三角形?！逼渌瑢W(xué)也互相說一說，怎樣擺成一個(gè)三角形？此時(shí)，老師在黑板上畫一個(gè)三角形，然后啟發(fā)學(xué)生說：“通過剛才摸三角形、畫三角形、擺三角形，你們說說看，什么樣的圖形叫三角形呢？”在學(xué)生討論交流的基礎(chǔ)上得出結(jié)論：由三條線段圍成的圖形叫做三角形。

以上通過摸一模、畫一畫、擺一擺三角形，引導(dǎo)學(xué)生在幾何直觀中認(rèn)識三角形，描述三角形，感知三角形的本質(zhì)特征，在學(xué)生大腦中逐步建立了三角形的清晰表象，使他們從具體到抽象逐漸理解了三角形的概念。從這個(gè)教學(xué)實(shí)例可以看出，通過幾何直觀的感性認(rèn)識，為描述清晰而準(zhǔn)確的“三角形”概念起到了關(guān)鍵的作用。

二、幾何直觀有助于發(fā)展學(xué)生的空間觀念

培養(yǎng)空間觀念是小學(xué)數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)的重要內(nèi)容之一?！翱臻g觀念主要是指根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實(shí)際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系；描述圖形的運(yùn)動(dòng)和變化；依據(jù)語言的描述畫出圖形等?！毙W(xué)生的空間觀念往往是在直觀學(xué)習(xí)幾何知識中形成的，或?qū)W生利用形象直觀的幾何圖形來描述和分析問題，解決問題，獲取知識的同時(shí)，反過來又在大腦中建立了物體的大小、形狀等表象，發(fā)展了自己的空間觀念。因此，要讓學(xué)生通過各種觀察、實(shí)際操作直觀的幾何圖形，來描述分析問題，在解決問題和獲取知識的過程中，促進(jìn)空間觀念的形成和發(fā)展。

例如，在“圓柱的表面積”教學(xué)中，學(xué)生通過觀察圓柱體，明確圓柱的表面積包括“圓柱的側(cè)面積和兩個(gè)底面的面積”后，老師提出問題引導(dǎo)學(xué)生思考：“圓柱的側(cè)面積是一個(gè)曲面怎樣計(jì)算呢？” “能不能把曲面變成平面呢？” “能不能把圓柱的側(cè)面積展開來看一看呢？” 接下來重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手操作：“拿出一張準(zhǔn)備好的長方形紙裹住圓柱，我們可以把裹住圓柱的長方形紙看作圓柱的側(cè)面，同桌的同學(xué)共同動(dòng)手試一試，想像一下如果沿著圓柱的高將長方形紙剪開，展開后看一看有什么發(fā)現(xiàn)？”學(xué)生合作探究：觀察思考展開后的這張長方形紙的形狀與圓柱體的側(cè)面有什么關(guān)系？即長方形與圓柱體的側(cè)面有什么關(guān)系？探究發(fā)現(xiàn)：長方形的大小就是圓柱側(cè)面的大小，長方形的面積就是圓柱的側(cè)面積，長方形的長就是圓柱的底面周長，長方形的寬就是圓柱的高，圓柱的側(cè)面積=長方形的長×寬=圓柱的底面周長×高；圓柱的表面積=圓柱的底面周長×高+兩個(gè)底面的面積=Ch+∏r2×2 。

這樣，運(yùn)用長方形紙裹住圓柱后展開，讓學(xué)生直觀觀察圓柱的“曲面”變“平面”，又運(yùn)用長方形的面積公式，直觀推導(dǎo)出圓柱的側(cè)面積公式，進(jìn)而得出圓柱的表面積公式。以上充分運(yùn)用幾何直觀，感受圓柱側(cè)面“化曲面為平面”的轉(zhuǎn)化過程，圓柱的側(cè)面形狀、大小與長方形的形狀、大小及相互位置關(guān)系在學(xué)生頭腦中留下了直觀的表象，很好地發(fā)展了學(xué)生的空間觀念。

三、幾何直觀有助于學(xué)生對復(fù)雜數(shù)學(xué)問題的理解

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》課程內(nèi)容中有一段表述：“借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果。幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要作用?！?/p>

例如，在教學(xué)“乘法分配律”時(shí)，可以借助兩個(gè)平面組合圖形求其面積之和的過程，簡明、形象的呈現(xiàn)不易理解的“乘法分配律”的產(chǎn)生和由來，運(yùn)用幾何直觀，把抽象的“乘法分配律”變得簡明、形象，易于學(xué)生理解和識記。又如，在教學(xué)“數(shù)的認(rèn)識”時(shí)，教師可以幫助學(xué)生利用圓形、三角形、正方形或長方形等紙片，直觀理解數(shù)量和數(shù)的意義；在教學(xué)“解決復(fù)雜數(shù)量關(guān)系的問題”時(shí)，要善于利用線段圖來描述和分析問題中的數(shù)量關(guān)系；在解決“雞兔同籠”等問題時(shí)，要重視通過列表分析解決問題；在探索事件發(fā)生的變化規(guī)律時(shí)，要重視利用統(tǒng)計(jì)圖表幫助學(xué)生直觀感受事件發(fā)生的變化規(guī)律并預(yù)測結(jié)果；在探索函數(shù)關(guān)系的變化規(guī)律時(shí)，要重視利用表格、圖像進(jìn)行描述和分析等。

因此，教師要善于在教學(xué)中有效運(yùn)用幾何直觀這一有形的數(shù)學(xué)，幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念，發(fā)展空間觀念，將復(fù)雜、抽象的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，幫助學(xué)生打開、拓展解決問題的思路，幫助學(xué)生形象、直觀地理解數(shù)學(xué)，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，學(xué)好數(shù)學(xué)。