向量在解決高中數(shù)學(xué)問(wèn)題中的運(yùn)用

徐瑩

摘要：向量是高中數(shù)學(xué)中廣泛運(yùn)用且實(shí)用性極強(qiáng)的知識(shí)，數(shù)與形結(jié)合的特點(diǎn)，使它成為高中數(shù)學(xué)課程中最重要的教學(xué)內(nèi)容和解題手段，許多高中數(shù)學(xué)知識(shí)都可以通過(guò)向量有機(jī)地串聯(lián)起來(lái)，形成一個(gè)統(tǒng)一的整體?；诖?，本文從向量的含義和基本特點(diǎn)出發(fā)，著重分析了向量在高中數(shù)學(xué)解題中的實(shí)際運(yùn)用。

關(guān)鍵詞：向量 ? 高中數(shù)學(xué) ? 運(yùn)用

一、向量的含義和基本特點(diǎn)

向量于20世紀(jì)進(jìn)入數(shù)學(xué)領(lǐng)域，但其在19世紀(jì)就已經(jīng)被物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家研究和運(yùn)用。20世紀(jì)90年代，我國(guó)把向量的相關(guān)知識(shí)納入高中數(shù)學(xué)，并成為高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)。在向量中，集合以V表示，V構(gòu)成了向量的加法換算群。在V中，運(yùn)算出向量的數(shù)量積，就可以表達(dá)向量的長(zhǎng)度。在向量長(zhǎng)度具有實(shí)際意義之后，（V，R）對(duì)向量相關(guān)的運(yùn)算構(gòu)成了線性范圍。向量是數(shù)學(xué)建模的基礎(chǔ)，也是代數(shù)的主要研究對(duì)象，所以向量可以解決很多數(shù)學(xué)難題。向量具備了形和數(shù)的特點(diǎn)，把數(shù)和形聯(lián)系成一體，既可以表示物體的位置，又可以反映物體的面積、長(zhǎng)度等基本性質(zhì)。對(duì)于一些抽象化的問(wèn)題，向量還可以把其具象化，形成直觀的模型，便于解決問(wèn)題。

二、向量在高中數(shù)學(xué)問(wèn)題中的運(yùn)用

1.向量在平面幾何中的運(yùn)用

向量的大小和方向可以反映相關(guān)線段或點(diǎn)之間的長(zhǎng)度關(guān)系以及位置關(guān)系。根據(jù)不同的性質(zhì)，向量還可以分為平行向量、共線向量和零向量等。在平面幾何中，利用向量知識(shí)來(lái)解決相關(guān)問(wèn)題，比運(yùn)用幾何知識(shí)解決問(wèn)題更加方便。如通過(guò)把線段轉(zhuǎn)化為向量，再利用向量的相關(guān)知識(shí)，學(xué)生就能輕松解決問(wèn)題了。在平面幾何問(wèn)題中運(yùn)用向量時(shí)，學(xué)生一定要對(duì)應(yīng)清楚點(diǎn)和線之間的關(guān)系，否則會(huì)得出錯(cuò)誤的結(jié)果。

2.向量在不等式證明中的運(yùn)用

在證明條件不等或不等式時(shí)，學(xué)生經(jīng)常需要通過(guò)一些技巧對(duì)不等式進(jìn)行變形處理，否則很難證明。此時(shí)，假如學(xué)生運(yùn)用向量知識(shí)進(jìn)行變形處理，則會(huì)簡(jiǎn)化問(wèn)題，容易證明結(jié)果。

舉例來(lái)說(shuō)，有一個(gè)等式（a2+b2）（m2+n2）=（am+bn）2，其中m、n不等于0，求證a/m=b/n。對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，只要學(xué)生細(xì)心觀察等式，就能發(fā)現(xiàn)括號(hào)部分與向量的模以及數(shù)量積是一樣的，所以可以設(shè)向量P=（a，b），向量Q=（m，n）。通過(guò)式子，可以看出P和Q是平行關(guān)系，再利用平行向量的特點(diǎn)，就可以得出an-bm=0，再進(jìn)行變換，就可得出a/m=b/n的結(jié)果。所以，在不等式證明中，學(xué)生只要把相關(guān)數(shù)字轉(zhuǎn)化為向量，就能把抽象的關(guān)系轉(zhuǎn)化為具象的向量關(guān)系，從而輕松地得出結(jié)果。在不等式證明中運(yùn)用向量時(shí)，學(xué)生一定要仔細(xì)觀察不等式的基本特點(diǎn)，找出向量的切入點(diǎn)，再加以運(yùn)用。

3.向量在解方程中的運(yùn)用

方程解析在高中數(shù)學(xué)中是很常見(jiàn)的問(wèn)題，對(duì)于某些方程而言，假如直接通過(guò)技巧變形很難解出方程，這時(shí)學(xué)生就可以考慮使用向量來(lái)解決問(wèn)題。

4.向量在三角函數(shù)中的運(yùn)用

三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)內(nèi)容，也是高考的必考內(nèi)容。學(xué)生可以通過(guò)向量數(shù)量積，把向量與三角函數(shù)有機(jī)結(jié)合起來(lái)，為三角函數(shù)相關(guān)問(wèn)題提供便利的解決方法。

舉例來(lái)說(shuō)，已知cosa+cosb-cos（a+b）=3/2，求解a，b的值。根據(jù)三角函數(shù)公式，對(duì)原式進(jìn)行變形，可以得到（1-cosb）cosa+sinasinb=3/2-cosb。仔細(xì)觀察該式，學(xué)生就會(huì)發(fā)現(xiàn)其與向量數(shù)量積一致，于是設(shè)向量P=（1-cosb，sinb），向量Q=（cosa，sina），把兩個(gè)向量相乘，可得PQ=3/2-cosb，|P||Q|=，再根據(jù)相應(yīng)關(guān)系可得|3/2-cosb|≤，cosb=1/2，即∠b=600，再把它帶入原式，可以得到∠a的值。在三角函數(shù)的問(wèn)題中運(yùn)用向量法，可以簡(jiǎn)化三角函數(shù)的變形步驟，具象三角函數(shù)之間的關(guān)系，把復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的向量，大大提高解題的效率。

三、結(jié)束語(yǔ)

在高中數(shù)學(xué)中，向量具有極大的實(shí)用性，從平面幾何到空間幾何，從三角函數(shù)到方程不等式，都可以運(yùn)用向量的相關(guān)知識(shí)來(lái)簡(jiǎn)化問(wèn)題。因此，學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中應(yīng)當(dāng)靈活運(yùn)用向量，不斷提高自身的學(xué)習(xí)效率和質(zhì)量。

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（作者單位：黑龍江省綏化市第一中學(xué)）