例說促進(jìn)初中生數(shù)學(xué)概念理解的教學(xué)途徑

【摘 要】概念教學(xué)是初中數(shù)學(xué)一項重要的教學(xué)內(nèi)容，掌握好數(shù)學(xué)概念是推導(dǎo)定理，掌握數(shù)學(xué)公式、法則的基礎(chǔ)。本文以數(shù)學(xué)概念的教學(xué)實例為基礎(chǔ)，提出3種概念教學(xué)途徑：從借助直觀到抽象概念的變式教學(xué)，數(shù)學(xué)概念的非概念變式教學(xué)，數(shù)學(xué)概念的形成過程的變式教學(xué)。旨在促進(jìn)初中生對數(shù)學(xué)概念的理解，對初中數(shù)學(xué)教師的概念教學(xué)有所啟發(fā)。

【關(guān) 鍵 詞】 初中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)概念；概念教學(xué)

【作者簡介】 李江專，碩士，中學(xué)一級教師，主要研究方向：課程與教學(xué)論（數(shù)學(xué)）方向。

數(shù)學(xué)概念教學(xué)是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的一項重要內(nèi)容，學(xué)生掌握好數(shù)學(xué)概念是推導(dǎo)定理，掌握數(shù)學(xué)公式和法則的基礎(chǔ)。在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，教師采用什么教學(xué)方法和途徑尤為重要。如何進(jìn)行數(shù)學(xué)概念教學(xué)呢？下面通過一些實例來闡述在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，促進(jìn)初中生對數(shù)學(xué)概念理解的方法和途徑。

一、從直觀到抽象的變式教學(xué)，旨在理解數(shù)學(xué)概念

數(shù)學(xué)概念的一個基本特征是抽象性。學(xué)生理解抽象的概念往往感到空洞，從而影響他們準(zhǔn)確掌握概念的內(nèi)涵和本質(zhì)。事實上，初中許多數(shù)學(xué)概念直接來自具體的感性經(jīng)驗，所以，尋求數(shù)學(xué)概念在生活中的根源，挖掘數(shù)學(xué)概念的本源，很有必要。這就啟發(fā)我們，對初中數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，關(guān)鍵是要讓學(xué)生建立起感性經(jīng)驗與抽象概念之間的關(guān)聯(lián)。

例1 相似三角形概念的教學(xué)

數(shù)學(xué)源于生活。在教學(xué)過程中，我們不妨采取直觀變式的教學(xué)方式，將抽象概念的教學(xué)建立在學(xué)生已有的感性經(jīng)驗基礎(chǔ)上，讓生活中的具體實物與抽象的數(shù)學(xué)概念之間建立起有效聯(lián)系。

首先，教師呈現(xiàn)日常生活中的直觀圖片素材，如圖1.1生活中的相似三角形。這樣能發(fā)揮學(xué)生已有的感性經(jīng)驗，使學(xué)生理解相似三角形的初步含義。

第二，用不同圖形的變式，如圖1.2，作為直觀材料和抽象數(shù)學(xué)概念之間的過渡，使學(xué)生原有的感性經(jīng)驗上升到相似三角形概念的認(rèn)識。

最后，在此基礎(chǔ)上，提出相似三角形的概念。

例2 算術(shù)平方根概念的教學(xué)

教師將正方形面積和邊長的關(guān)系（見表1.1）先呈現(xiàn)給學(xué)生，在此基礎(chǔ)上，給出表1.2算術(shù)平方根，這樣來引入算術(shù)平方根的概念。

這里的“算術(shù)平方根”，對剛?cè)雽W(xué)的初中生來說，雖然是抽象的數(shù)學(xué)概念，但是他們?nèi)菀桌斫庹叫蚊娣e和邊長的關(guān)系。正是在正方形面積和邊長的關(guān)系這種現(xiàn)實直觀和具體數(shù)據(jù)的作用下，學(xué)生能建立起有效聯(lián)系，從而幫助其理解算術(shù)平方根的含義。

表1.1 正方形的面積和邊長的關(guān)系

表1.2 算術(shù)平方根

例3 平行線概念的教學(xué)

有觀點認(rèn)為，數(shù)學(xué)是“看”出來的。這種觀點借用在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中，教師采用直觀或具體圖形的變式教學(xué)，學(xué)生在學(xué)習(xí)中從直觀到抽象的認(rèn)識，從而“看”出數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵。

平行線的概念，教師可以從學(xué)生熟悉的現(xiàn)實生活實例入手，如：鐵軌、高壓線上的兩根電線、黑板的上下邊緣等。用日常生活中所接觸到的實物、圖形等作為學(xué)生認(rèn)識的感性材料，再讓學(xué)生通過觀察、分析、比較、歸納和概括，從而掌握平行線的屬性，實現(xiàn)平行線概念的教學(xué)目的。

二、通過非概念的變式教學(xué)，旨在挖掘數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵

要讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵，通過非概念的變式教學(xué)，讓學(xué)生明確概念的外延，也就是先讓學(xué)生辨別數(shù)學(xué)概念相對的一面，從而達(dá)到掌握數(shù)學(xué)概念屬性的意圖。

例4 鄰補角概念的教學(xué)

用多媒體呈現(xiàn)圖2.1鄰補角的概念圖形和圖2.2鄰補角的非概念圖形。

師：圖2.1中的兩個角是鄰補角，而2.2中的3對角都不是鄰補角。對照比較，你能發(fā)現(xiàn)什么是鄰補角呢？

生1：鄰補角必須要有一條公共邊。

生2：有一個公共頂點。

生3：一個角的一邊是另一個角的反向延長線。

……

師：互為鄰補角的兩個角一定互為補角嗎？互為補角的兩個角不一定互為鄰補角嗎？

教師借助了鄰補角的非概念的3種反例圖形，以提問的方式讓學(xué)生觀察、比較、思考，從而描述出鄰補角的內(nèi)涵和外延。教師通過對鄰補角的概念圖和非概念圖的變式教學(xué)，從而使學(xué)生掌握鄰補角的概念。

例5 圓的切線概念的教學(xué)

用多媒體呈現(xiàn)圖2.3圓的切線概念圖和圖2.4圓的切線非概念圖。

師：圖2.3中的直線是圓的切線，而圖2.4中的直線都不是圓的切線。那么圓的切線是什么呢？

生1：雖然直線垂直圓的半徑，但沒有經(jīng)過圓的半徑的外端。

生2：雖然直線經(jīng)過圓的半徑，但沒有垂直于圓的半徑。

生3：直線與圓沒有交點。

……

師：你能總結(jié)出圓的切線要滿足哪兩個條件嗎？

在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生通過對圓的切線非概念圖的探究、歸納，得出圓的切線要滿足的兩個條件：經(jīng)過半徑的外端，垂直于這條半徑。這樣學(xué)生就很容易理解和掌握圓的切線的概念。

三、通過概念形成過程的教學(xué)，旨在揭示數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)

早有研究者提出“過程性變”的概念。過程性活動變式是，在數(shù)學(xué)活動過程中，通過有層次的推進(jìn)，使學(xué)生分步解決問題，積累多種活動經(jīng)驗，讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)概念的形成過程，從而掌握數(shù)學(xué)概念，揭示數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)。

例6 二次函數(shù)有關(guān)概念的教學(xué)

二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)重要的教學(xué)內(nèi)容，二次函數(shù)一般式的形式、二次項系數(shù)等既是重點，又是關(guān)鍵。若教師只是簡單地讓學(xué)生記住二次函數(shù)的解析式，而學(xué)生并沒有真正掌握二次函數(shù)的來龍去脈，會讓學(xué)生感覺到數(shù)學(xué)就是機(jī)械記憶。既然二次函數(shù)來自現(xiàn)實生活，必然能用生活中的實際問題來確定二次函數(shù)的解析式。在二次函數(shù)概念教學(xué)中，教師不妨抓住二次函數(shù)在現(xiàn)實生活中的事例，讓學(xué)生體驗二次函數(shù)概念的形成過程，既可讓學(xué)生主動參與，積極探索，又能準(zhǔn)確掌握二次函數(shù)的有關(guān)概念。

師：在下列問題中，求x與y的關(guān)系式。

①正方體的邊長為x，表面積為y；②正方形的邊長為x米，邊長增加2米，邊長增加之后的正方形的面積為y；③圓柱體的底面半徑為x米，高為4米，其體積為y；④操場上有y名學(xué)生做課間操，恰好站成長方形，有x排學(xué)生，縱排比橫排多2。

生：①y=6x2；②y=x2+4x+4；③y=4πx2；④y=x2+2x

師：這4個關(guān)系式有什么共同特點？

生：（通過觀察、比較），都有二次項。

師：他們都是函數(shù)嗎？

生：是。

師：給此類函數(shù)取個名。我們就把它稱為二次函數(shù)。假若二次項前面的系數(shù)為零，能確保有二次項嗎？

生：不能。

師：理由是什么呢？

生：若二次項系數(shù)為零，就沒有二次項了。

通過教師的引導(dǎo)，歸納出二次函數(shù)的一般形式：y=ax2+bx+c （a≠0）以及當(dāng)b=0、c=0時，y=ax2 （a≠0）是特殊的二次函數(shù)，學(xué)生從而掌握了二次函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，掌握了二次函數(shù)的有關(guān)概念。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個探究的過程，學(xué)生在觀察、比較、分析、探究和歸納的過程中掌握了數(shù)學(xué)概念所具有的特征，教師通過概念形成過程的教學(xué)，讓學(xué)生弄清概念的來龍去脈，從而使學(xué)生掌握了數(shù)學(xué)概念。

參考文獻(xiàn)：

[1] 顧泠沅.演變圖形在幾何教學(xué)中的直觀效果和心理意義[C].上海市數(shù)學(xué)會年會論文，1981.

[2] 鮑建生，周超.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理基礎(chǔ)與過程[M].上海：上海教育出版社，2009，10.

（編輯：胡 璐）