復(fù)M onge-Ampère方程N(yùn)eumann邊值問(wèn)題解的梯度估計(jì)①

向妮，王玉娥，石菊花

(湖北大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖北 武漢 430062)

0 引言

復(fù)Monge-Ampère方程的研究問(wèn)題源于多重位勢(shì)理論、微分幾何中的Calabi猜想和物理學(xué)等，該問(wèn)題涉及多復(fù)變、微分幾何以及完全非線性偏微分方程等重要研究領(lǐng)域.該方程的Dirichlet邊值問(wèn)題已有相當(dāng)豐富的研究成果，而對(duì)于其Neumann邊值問(wèn)題，李松鷹[1]得到了解的存在性、唯一性和正則性.對(duì)實(shí)Monge-Ampère方程的Neumann邊值問(wèn)題，Lions等[2]證明了解的存在性，他們的證明中關(guān)于解的梯度估計(jì)由解的凸性就很容易得到.2014年，徐金菊[3]證明實(shí)Monge-Ampère方程的Neumann邊值問(wèn)題梯度估計(jì)過(guò)程中也應(yīng)用了解的凸性，然而對(duì)復(fù)情形而言，多重下調(diào)和函數(shù)沒(méi)有凸函數(shù)這樣的性質(zhì)，因此解的梯度估計(jì)與二階導(dǎo)數(shù)估計(jì)難度相同，并且文獻(xiàn)[3]中的辦法并不適用.筆者將在后續(xù)工作中，努力改進(jìn)文獻(xiàn)[3]中的辦法討論復(fù)Monge-Ampère方程N(yùn)eumann邊值問(wèn)題的梯度估計(jì).

在文獻(xiàn)[1]中，作者直接證明了解的梯度估計(jì).根據(jù)文獻(xiàn)[2]中的辦法，將整體約化到邊界，再分3種情形討論，直接得到解的梯度估計(jì).而本文中，我們給出解的梯度估計(jì)一個(gè)新證明，先假設(shè)梯度估計(jì)存在，按照李松鷹[1]的思路重寫(xiě)二階導(dǎo)數(shù)估計(jì)的證明，得到梯度估計(jì)與二階導(dǎo)數(shù)估計(jì)的關(guān)系，再利用插值不等式得到解的全局梯度估計(jì).我們研究復(fù)Monge-Ampère方程的Neumann邊值問(wèn)題：

其中Ω是Cn中有界光滑強(qiáng)擬凸域，ν為邊界外法向量，γ0＞0，f≥f0＞0，f∈C2(Ω)，?∈C2(?Ω).另外，取λ1(z)為?Ω上曲率，記λ1=inf{λ1(z),z∈?Ω}.

定理1Ω是Cn中有界光滑強(qiáng)擬凸域是邊值問(wèn)題(0.1)式與(0.2)式的多重下調(diào)和解.f≥f0＞0，f∈C2(Ω)，?∈C2(?Ω)且γ0+2λ1＞0，γ0＞0，則

其中C與相關(guān) .

1 最大模估計(jì)與二階導(dǎo)數(shù)估計(jì)

其中Ω是Cn中的有界光滑強(qiáng)擬凸域，ν為邊界外法向量顯然可得

1.1 最大模估計(jì)為了文章的完整性，我們引用文獻(xiàn)[1]中關(guān)于最大模估計(jì)的結(jié)論：

引理1.1Ω是Cn中的有界強(qiáng)擬凸域，邊界是C1的，假設(shè)是(0.1)式與(0.2)式的多重下

其中C1僅與相關(guān).

1.2 二階導(dǎo)數(shù)估計(jì)本節(jié)中按照李松鷹在文獻(xiàn)[1]中的辦法重寫(xiě)二階導(dǎo)數(shù)估計(jì)的證明.

定理2Ω是Cn中的有界強(qiáng)擬凸域，邊界是C3的.假設(shè)是(1.1)與(1.2)式的多重下調(diào)和

其中C2僅與相關(guān)，與M1無(wú)關(guān).

定理2的證明為了保證證明的完整性，我們給出證明思路.

任取一點(diǎn)z0∈?Ω，由旋轉(zhuǎn)和平移，可以假設(shè)z0=0，則在0點(diǎn)附近的邊界定義函數(shù)

由于r是嚴(yán)格多重下調(diào)和函數(shù)，所以(biˉˉj)是正定矩陣.下面考慮邊值條件(1.2)式在全純變換后的形式，取新的坐標(biāo)滿足：

在此變換下，邊值條件不具備不變性.

其中T=(?z′/?z)是變換z′=ψ(z)對(duì)應(yīng)的Jacobian矩陣且|O(|z′|2)|≤C|z′|2，取

計(jì)算可得

因?yàn)锽j=O(|z′|)且 ?r0/?z′j=O(|z′|),j＜n, 所以

由復(fù)Monge-Ampère方程在全純變換下的性質(zhì)可知，取則

為了方便，用z代替z′，u~代替u^，g代替g^，可知

則Neumann邊值條件為：

考慮函數(shù)

1）當(dāng)K1=C/ε2足夠大時(shí)，在?(B(0 ，ε)?Ω)上有h(z)＜0；

由1)、2)利用極大值原理可得，h只能在?(B(0 ，ε)?Ω)上取得其在B(0,ε)?Ω上的極大值，

3）在 ?Ω上取K1足夠大，則h在0處取得極大值，因此，0≤Dνh(0)≤即

定理3Ω是Cn中的有界強(qiáng)擬凸域，邊界是C3的是邊值問(wèn)題（1.1）與（1.2）式的多重下調(diào)和解且γ0+2λ1＞0，則

其中C4僅與相關(guān)，與M1無(wú)關(guān).

定理3的證明在最大模估計(jì)和梯度估計(jì)存在的前提下，（1.5）式等價(jià)于

是多重下調(diào)和的，進(jìn)一步地，可證（1.6）式等價(jià)于

考慮輔助函數(shù)

取τ為z點(diǎn)的切向量，ν為z點(diǎn)的外法向量，則通過(guò)下面的計(jì)算可知其中b(z)，ak(z)均為Ω上的光滑函數(shù).

V(z，ξ)作為(z，ξ)的函數(shù)應(yīng)滿足：

由V(z,ξ)的表達(dá)式可知，

下面分3種情況討論：

a）若ξ0是邊界上z0處的外法向量，則由定理3可知Dξ0ξ0u~≤C，則W(z0，ξ0)≤C2，從而可知，

b）若ξ0在z0點(diǎn)既不是切向量也不是法向量，則

其中ξ0=＜ξ0,τ＞τ+＜ξ0,ν＞ν且＜τ,ν＞=0.于是由（a）知（1.7）式成立.

c）若ξ0是邊界上z0點(diǎn)處的切向量，則

取

不失一般性，假設(shè)z0∈?Ω點(diǎn)處外法向量是(0,…,0,1)，則由于r是Ω上的強(qiáng)多重下調(diào)和定義函數(shù)且在?Ω上故H(z0,r)≥λ1Ⅰ2n-1且

(H(z0,r)-λ2(z0)Ⅰ2n-1)是非負(fù)定矩陣，故成立.因此

由a）中的結(jié)論可知，（1.7）式成立，則定理得證.

2 梯度估計(jì)

下面我們引入Gilbarg D等[4]有關(guān)Schauder理論中插值不等式引理6.35如下：

引理2.1假設(shè)j+β＜k+α,其中j=0,1,2,…,k=1,2,…,0≤α，β≤ 1，Ω是 ?n中的Ck,α區(qū)域，假設(shè)則對(duì)任意的ε＞0 及常數(shù)C=C(ε,j,k,Ω)使得

定理2.2Ω 是 ?n中的有界強(qiáng)擬凸域，邊界是C3的，u∈C4(Ω)?C3(Ωˉ)是邊值問(wèn)題(1.1)與(1.2)的多重下調(diào)和解且γ0+2λ1＞0，γ0＞0，則

其中C僅與n,Ω,λ1,γ0,|?|2,Ωˉ,|f|2,Ωˉ相關(guān).

定理2.2的證明由注3及引理2.1結(jié)論，利用插值不等式可知，

[1]LiSY.Boundary value problems for complex Monge-Ampère type[D].Pittsburgh：University of Pittsburgh，1992.

[2]Lions P L，Trudinger N S ，Urbas J IE.The Neumann problem for equations of Monge-Ampère type[J].Comm Pure Appl Math，1986，39:539-563.

[3]徐金菊.平均曲率方程N(yùn)eumann問(wèn)題的梯度估計(jì)[D].合肥:中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)，2014.

[4]Gilbarg D.Trudinger NS.Elliptic partial differentiale quations of second order[M].2nd ed.NewYork:Springer-Verlag，1984.

[5]Bedford，Taylor BA.The Dirichletproblem for acomplex Monge-Ampère equation[J].Invent Math ，1976，37:1-44.

[6]Bedford.Variational properties of the complex Monge-Ampère equation ，I:The Dirichlet princinple[J].Duke Math J，1978，45:375-403.

[7]Bedford.Variational properties of the complex Monge-Ampère equation，II:Intrinsic[J].A-mer JMath，1979，101:1131-1166.[8]Caffarelli L，Kohn JJ，Nirenberg L，et al.The Dirichlet problem for nonlinear second-order elliptic equations，II:Complex Monge-Ampère，and uniform ly elliptic equations[J].Comm Pure and Appl Math，1985，38:209-252.

[9]LiSY.On the Neumann problems for complex Monge-Ampère Equations[J].Indiana University Mathematics Journal，1994，43(4):1099-1122.