廣義分式規(guī)劃的對(duì)偶性

李向有，張慶祥

（延安大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院 陜西 延安 716000）

0 引言

B-(p,r)不變凸函數(shù)[1]是一類重要的不變凸函數(shù)，很多學(xué)者利用這一函數(shù)研究了大量凸規(guī)劃，得到了許多重要結(jié)論[2-6].但是這些文章只是利用B-(p,r)不變凸函數(shù)研究了常規(guī)的單目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題，并且研究?jī)?nèi)容有很大的重合，Anurag Jayswal[7]研究了極大極小分式規(guī)劃問(wèn)題，對(duì)文獻(xiàn)[8-9]中的相關(guān)結(jié)論進(jìn)行了推廣.上述文獻(xiàn)都是利用B-(p,r)不變凸函數(shù)，研究相應(yīng)的規(guī)劃問(wèn)題，沒(méi)有對(duì)B-(p,r)不變凸函數(shù)進(jìn)行推廣.極大極小分式規(guī)劃是凸規(guī)劃里的一個(gè)重要研究?jī)?nèi)容，如文獻(xiàn)[8-11]中利用不同的凸函數(shù)研究了相應(yīng)極大極小分式規(guī)劃問(wèn)題最優(yōu)性和對(duì)偶性問(wèn)題.在上述文章的基礎(chǔ)上，定義了一類新的廣義凸函數(shù)：B-(p,r,a)不變凸函數(shù)、B-(p,r,a)不變擬凸函數(shù)、B-(p,r,a)不變偽凸函數(shù)，這些函數(shù)是對(duì)B-(p,r)不變凸函數(shù)的重要推廣，并用這些函數(shù)研究了極大極小分式規(guī)劃問(wèn)題，在更弱的凸性下，對(duì)文獻(xiàn)[8-11]中的相關(guān)結(jié)論進(jìn)行了更大的推廣，得到了一些重要結(jié)果.

1 基本定義

實(shí)值函數(shù)f:Rn→R是局部Lipschitz的，若對(duì)任意x∈Rn，存在一個(gè)正數(shù)k和x的鄰域N()x，對(duì)任意y,z∈N(x)，使得‖f(y)-f(z)‖ ≤k‖y-z‖.

若函數(shù)f為局部Lipschitz的，那么函數(shù)f:X→R在x沿方向d的Clarke廣義方向?qū)?shù)和Clarke廣義方向梯度分別定義為：

定義1設(shè)非空開(kāi)集X?Rn,f:X→R是X上的Lipschitz函數(shù)，p,r是任意非零實(shí)數(shù)，u∈X,若?x∈X，存在向量函數(shù)η:X×X→Rn，函數(shù)b:X×X→R+，a:X×X→R，使得對(duì)?ξ∈?f(u)有：

成立，則稱f在u點(diǎn)為關(guān)于函數(shù)η的B-(p,r,a)不變凸函數(shù).

定義2設(shè)非空開(kāi)集X?Rn,f:X→R是X上的Lipschitz函數(shù)，p,r是任意非零實(shí)數(shù)，u∈X,若?x∈X，存在向量函數(shù)η:X×X→Rn，函數(shù)b:X×X→R+，a:X×X→R，使得對(duì)?ξ∈?f(u)有：

成立，則稱f在u點(diǎn)為關(guān)于函數(shù)η的B-(p,r,a)不變擬凸函數(shù).

定義3設(shè)非空開(kāi)集X?Rn,f:X→R是X上的Lipschitz函數(shù)，p,r是任意非零實(shí)數(shù)，u∈X,若?x∈X，存在向量函數(shù)η:X×X→Rn，函數(shù)b:X×X→R+，a:X×X→R，使得對(duì)?ξ∈?f(u)有：

成立，則稱f在u點(diǎn)為關(guān)于函數(shù)η的B-(p,r,a)不變偽凸函數(shù).

2 對(duì)偶性

考慮如下的分式規(guī)劃問(wèn)題：

其中:x∈D?Rn，Y是Rm中的緊子集，f(.,.):Rn×Rm→R是Lipschitz函數(shù)且f(x,y) ≥0，h(.,.):Rn×Rm→R是Lipschitz函數(shù)，h(x,y) ＞0，g(.):Rn→Rp是 Lipschitz函數(shù).J={1,2,…,q}，

K=現(xiàn)提出如下Mond-Weir對(duì)偶問(wèn)題

這里H(s,λ,μ,y)表示滿足條件(1)～(3)的 (z,λ,μ,y)的集合，如果H(s,λ,μ,y)是空集，則規(guī)定它的上確界為-∞.

定理1（弱對(duì)偶定理）假設(shè)

1)x,(z,s,λ,μ,yˉ)分別是（P），(FD)的可行解；

3)b0(x,z)＞0,b1(x,z)＞0 且a(x,z)+c(x,z)≥0,則

定理 1 的證明因?yàn)閤,(z,s,λ,μ,yˉ)分別是（P），(FD)的可行解，所以有又b1(

x,z)＞0故有

定理2（強(qiáng)對(duì)偶定理）假設(shè)

1)x0是（P）的最優(yōu)解，?gj(x0),j∈J(x0)線性無(wú)關(guān)，(z,s,λ,μ,yˉ)是(FD)的最優(yōu)解；

2)?(x)=在z處為關(guān)于函數(shù)η,b0的B-( )p,r,a不變偽凸函數(shù)，在z處為關(guān)于函數(shù)η,b1的B-( )p,r,a不變凸函數(shù)；

3)b0(x,z)＞0,b1(x,z)＞0且a(x,z)+c(x,z)≥0.則（P）和(FD)的最優(yōu)值相等.

證明類似于文獻(xiàn)[6]中定理3的證明.

定理3（嚴(yán)格逆對(duì)偶定理）假設(shè)

1)x0是（P）的最優(yōu)解，?gj(x0),j∈J(x0)線性無(wú)關(guān)，(z,s,λ,μ,yˉ)是(FD)的最優(yōu)解；

2)?(x)=在z處為關(guān)于函數(shù)η,b0的B-( )p,r,a不變凸函數(shù)，在z處為關(guān)于函數(shù)η,b1的B-(p,r,a)不變擬凸函數(shù)；

3)b0(x,z)＞0,b1(x,z)＞0且a(x,z)+c(x,z)＞0.

則x0=z，即z也是（P）的最優(yōu)解.

定理3的證明假設(shè)由于x0≠z,則由定理2可得（P）和(FD)的最優(yōu)值相等.

又在z處為關(guān)于函數(shù)η，b1的B-( )p,r,a不變擬凸函數(shù)，故?τj∈?gj(z),使得

由（5-6）式和a(x,z)+c(x,z)≥0，可得

又?(x)=在z處為關(guān)于函數(shù)η，b0的B-( )p,r,a不變凸函數(shù)，故

即有

于是存在i0，使得故有

而這與定理2結(jié)論矛盾.

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