不確定環(huán)境下投資收益與風險問題的模型研究

趙建華，李 薇，劉雅娜，曹志軍

（石家莊學院 a.數(shù)學與信息科學學院；b.經(jīng)濟管理學院，河北 石家莊 050035）

不確定環(huán)境下投資收益與風險問題的模型研究

趙建華a，李 薇b，劉雅娜a，曹志軍a

（石家莊學院 a.數(shù)學與信息科學學院；b.經(jīng)濟管理學院，河北 石家莊 050035）

描述了單位投資收益和單位投資風險是不確定變量時的投資問題.根據(jù)不同的決策準則，應(yīng)用不確定理論建立了了兩個新模型，即不確定期望值目標規(guī)劃模型和不確定機會約束目標規(guī)劃模型.為能簡便快捷的求解模型，基于不確定理論的運算法則，將兩種不確定模型轉(zhuǎn)化為其清晰等價形式.最后通過1個數(shù)值例子說明了用不確定規(guī)劃解決不確定投資問題的合理性與有效性.

投資問題；不確定理論；不確定變量；不確定規(guī)劃；目標規(guī)劃

0 引言

隨著全球經(jīng)濟的迅猛發(fā)展，資本投資已成為當今最流行的盈利方式之一，許多公司都會利用自有資金進行投資，以期獲得好的收益.但是由于投資市場的復(fù)雜性，資本投資既有收益又有風險.一般來說，期望的投資收益越大，風險也就越大.那么如何確定各種投資的比重，從而得到比較滿意的投資收益，就成為決策者面臨的主要問題.所以投資問題是研究如何把有限的資金合理分配到不同的投資項目中，從而達到提高投資收益并且降低風險的問題.

由于投資市場的瞬息萬變，投資收益與風險系數(shù)具有諸多不確定因素.為有效處理這些不確定性問題，劉寶碇于2007年提出了新的理論——不確定性理論[1]，該理論建立在正規(guī)性、自對偶性、可列次可加性以及乘積測度公理的基礎(chǔ)上，并形成了數(shù)學的1個分支[2].目前，這一理論經(jīng)過不確定理論實驗室（UTLAB）成員們的不斷完善，在理論和實踐方面取得了豐碩的成果[3-6].如今不確定理論已經(jīng)擴展到很多領(lǐng)域，如不確定規(guī)劃、不確定邏輯、不確定推理、不確定微積分、不確定統(tǒng)計等等.

筆者采用文獻[7-9]所建立不確定規(guī)劃，考慮單位收益、單位風險為不確定變量情況下，建立以提高收益、降低風險為目的不確定目標規(guī)劃模型，即不確定環(huán)境下期望值目標規(guī)劃模型和機會約束目標規(guī)劃模型.為能方便快捷求解不確定規(guī)劃模型，把不確定規(guī)劃模型轉(zhuǎn)化為其清晰等價形式.最后，給出了1個具體的例子，例子表明不確定規(guī)劃可以有效解決不確定環(huán)境下的投資收益與風險問題.

1 預(yù)備知識

定義1 如果ξ是從不確定空間（Γ，L，M）到實數(shù)集R的可測函數(shù)，即對任意一個Borel集

是一個事件，則稱ξ為（Γ，L，M）上的不確定變量.

定義2 設(shè)ξ是（Γ，L，M）上的不確定變量，若對?x∈R滿足Φ（x）=M{ξ∈B}，則稱Φ是ξ的不確定分布.

定義3 設(shè)ξ是不確定變量，若其分布滿足

則稱ξ為“之”字形不確定變量，表為（a，b，c），這里a，b，c是實數(shù)，且a＜b＜c.如圖1所示.

圖1 "之"字形不確定分布

由定義3可得到具有之字形不確定分布的不確定變量ξ的逆分布為

定義4 設(shè)ξ1，ξ2，…，ξm是不確定變量，如果對任意的Borel集B1，B2，…，Bm滿足

定義5 若ξ是不確定變量，Φ（x）是ξ的不確定分布，則稱

為ξ的期望值，其中，兩個積分中至少有1個是有限的.

定理1 設(shè)ξ為不確定變量，并且有不確定分布Φ和不確定逆分布Φ-1.如果ξ存在期望值，那么

特別的，如果ξ為“之”字形不確定變量，則

2 問題的描述

定理2 設(shè)ξi為相互獨立的不確定變量，fi到R為R到R的函數(shù)，i=1，2，...，m.則 fi（ξi）也為相互獨立的不確定變量，i=1，2，...，m.

定理3 假設(shè)相互獨立的不確定變量ξ1，ξ2，…，ξn的不確定分布分別為Φ1，Φ2，…，Φn，若f（x1，x2，…，xn）關(guān)于x1，x2，…，xm是嚴格單增的并且關(guān)于xm+1，xm+2，…，xn是嚴格單減的，則ξ=f（ξ1，ξ2，…，ξn）的逆不確定分布為

考慮某公司對n個項目進行投資，為了建立投資規(guī)劃模型，下列下標、決策變量和參數(shù)所表示的意義如下（資金單位為萬元）：

i：投資項目的個數(shù)，i=1，2，..，n；

xi：項目i的投資量；

ξi：投資項目i的的單位收益；

ηi：投資項目i的單位風險損失；

ei：投資項目i的單位成本；

si：投資項目i的的單位交易費；

M：公司現(xiàn)有的總資金.

約束條件是總投資額加上總交易費不能超過公司現(xiàn)有總資金M，即：

由此建立確定環(huán)境下的投資收益與風險的多目標規(guī)劃模型為

設(shè)ξi>si，否則不對該項目投資.

因此模型（5）表示在滿足約束條件下，極大化公司的投資收益，并且極小化投資風險.

3 不確定規(guī)劃模型

模型（6）是在確定條件下建立的，即模型中的參數(shù)都是固定的數(shù).但由于投資環(huán)境的復(fù)雜性，導(dǎo)致許多數(shù)據(jù)不能精確量化，例如投資收益和投資風險往往不是確定數(shù)據(jù)，因此模型（6）只有理論意義，缺乏實用價值.為使投資問題更貼近實際情況，假設(shè)單位投資收益ξi與投資風險ηi是不確定變量.

將文獻[7-9]中提出的不確定規(guī)劃用于投資問題，根據(jù)不同的決策準則，建立相應(yīng)的不確定目標規(guī)劃模型.

假設(shè)決策者設(shè)定的投資總收益不小于目標值T0，總風險不超過目標值H0.并設(shè)總收益最大為第1優(yōu)先級，為正負偏差變量，其優(yōu)先因子為P1；總風險最小為第2優(yōu)先級，為正負偏差變量，其優(yōu)先因子為P2.

不確定期望模型的主要思想是最優(yōu)化目標函數(shù)的期望值.筆者所指的期望值是在不確定測度意義的下不確定變量的平均值.

若ξi與ηi是不確定變量，由此可得下面不確定期望約束目標規(guī)劃模型

不確定機會約束目標規(guī)劃主要思想是在不確定環(huán)境下極大化不確定事件成立的機會，從而給出最優(yōu)決策.筆者采用這種思想建立不確定投資問題的機會約束目標規(guī)劃模型.

設(shè)α1，α2（α1>0，α2≤1）是決策者預(yù)先給定的置信水平，他們?nèi)Q于決策者的主觀性.顯然置信水平越大，決策者的滿意度越高，因此取α1，α2>0.5.由此建立如下不確定機會約束目標規(guī)劃模型

4 清晰等價形式

模型（7）與（8）中含有不確定變量ξi與ηi，而筆者所建立的模型是線性模型，因此采用不確定變量的運算法則[1]推出模型（7）與（8）的清晰等價形式，從而更容易地求解不確定環(huán)境下投資收益與風險問題規(guī)劃模型.

定理4 若ξi與ηi都是相互獨立的不確定變量，其不確定分布分別為Φξi，Φηi，則模型（7）的清晰等價形式為

證明 由（3）式立即得到，證畢.

特別的，若ξi□（ai，bi，ci）與ηi□（pi，qi，ri）都是“之”字形不確定變量，根據(jù)（4）式，模型（7）的清晰等價式為：

定理5若ξi與ηi都是相互獨立的不確定變量，其不確定分布Φξi，Φηi分別為，則模型（8）的清晰等價形式為

證明 利用不確定逆分布（5）式可得

且

證畢.

特別的，若ξi□（ai，bi，ci）與ηi□（pi，qi，ri）都是“之”字形不確定變量，則由（2）式可得模型（11）的清晰等價式為

5 數(shù)值例子

例 某公司想投資A，B，C三種項目，公司現(xiàn)有總資金為1 000萬元，決策者設(shè)定的收益預(yù)期T0=2 000萬元.所能承受的最大損失H0=300萬元，投資這3個項目的單位交易費si分別為1，2，5萬元，假設(shè)單位收益ηi與單位風險是“之”字形不確定變量.為了清晰起見，建立表1.

因為ξi與ηi都是“之”字形不確定數(shù)，且目標函數(shù)及約束條件都是線性的，則模型（8）可以轉(zhuǎn)化為確定形式（9）.經(jīng)計算

則模型（10）轉(zhuǎn)化為求解如下模型：

若預(yù)先給定的置信水平α1，α2=0.9，則模型（12）轉(zhuǎn)化為求解如下模型

采用數(shù)學軟件MATLAB編程求解模型（13），（14）運行結(jié)果見表2.

這個例子說明了用不確定規(guī)劃方法解決不確定環(huán)境下投資收益與風險問題，不僅能減少投資者獲取信息的費用，而且更加貼切于實際情況.

表1 相關(guān)數(shù)據(jù)

表2 求解結(jié)果

6 結(jié)論

投資問題是當今現(xiàn)實生活的熱門話題，例如投資金融證劵市場、房地產(chǎn)、餐飲業(yè)及服裝類項目.目前針對該問題的研究數(shù)據(jù)一般僅限于精確數(shù)據(jù).而面對復(fù)雜多變的投資市場，數(shù)據(jù)的來源往往很不精確，例如單位收益與單位風險.用不確定變量來表示他們更能真實地反應(yīng)實際情況.因此筆者所提出的解決不確定環(huán)境下投資問題的方法實用范圍廣，可操作性強，并具有一定的現(xiàn)實意義.

[1]LIU B D.Uncertainty Theory[M].Berlin：Springer-Verlag，2007.

[2]LIU B D.Uncertainty Theory：A Branch of Mathematics for Modeling Human Uncertainty[M].Berlin：Springer-Verlag，2010.

[3]LIU B D.Some Research Problems in Uncertainty Theory[J].Journal of Uncertainty Systems，2009，3（1）：3-10.

[4]LIU B D.Why is There a Need for Uncertainty Theory?[J].Journal of Uncertain Systems，2012，6（1）：3-10.

[5]GAO X.Some Properties of Continuous Uncertain Measure[J].International Journal of Uncertainty，F(xiàn)uzziness and Knowledge-Based Systems，2009，17（3）：419-426.

[6]YOU C L.Some Convergence Theorems of Uncertain Sequences[J].Mathematical and Computer Modelling，2009，49（3-4）：482-487.

[7]LIU B D.Theory and Practice of Uncertain Programming[M].Berlin：Springer-Verlag，2009.

[8]LIU B D，CHEN X W.Uncertain Multiobjective Programming and Uncertain Goal Programming[J].Technical Report，2013.

[9]Liu Y K.Expected Value of Function of Uncertain Variables[J].Journal of Uncertain Systems，2010，4（3）：181-186.

（責任編輯 鈕效鹍）

Investment Return and Risk Problems in Uncertain Environment

ZHAO Jian-hua1，LI Wei2，LIU Ya-na1，CAO Zhi-jun1
（1.School of Mathematics&Information Science；2.School of Economics&Management，Shijiazhuang University，Shijiazhuang，Hebei 050035，China）

Investment problems are described in uncertain environment when the unit profits and the unit risks are supposed to be uncertain variables.Then，with different criteria，two new models are constructed on the basis of uncertainty theory，i.e.，expected value goal programming model and chance constrained goal programming model.Moreover，with help of the operational law of uncertainty theory，the crisp equivalents are derived to solve the models more simply and faster.Finally，a numerical example is given for illustrating the rationality and effectiveness with uncertain programming to solve the uncertain investment problems.

investment problem；uncertainty theory；uncertain variable；uncertain programming；goal programming

O221

A

1673-1972（2015）03-0022-06

2014-10-10

石家莊學院自然科學基金（13YB001）

趙建華（1960-），女，福建安溪人，教授，主要從事不確定規(guī)劃及應(yīng)用研究.