平板折疊桌的參數(shù)設(shè)計

涂冰賢,蔡晨瑤,林 晶,李韶偉

（臺州學院 數(shù)學與信息工程學院，浙江 臨海 317000）

0 引言

創(chuàng)意平板桌［1］（the Rising Side Table）是由荷蘭設(shè)計師Robert van Embricqs設(shè)計的一種可折疊成平板的桌子，桌面呈圓形，桌腿隨著鉸鏈的活動可以平攤成一張平板，見圖1。桌腿由若干根木條組成，分成兩組，每組各用一根鋼筋將木條連接，鋼筋兩端分別固定在桌腿各組最外側(cè)的兩根木條上，并且沿木條有空槽的位置以保證滑動的自由度。桌子外形由直紋曲面構(gòu)成，造型美觀［2］。

依據(jù)2014年全國大學生數(shù)學建模賽題［2］，考慮創(chuàng)意平板折疊桌的動態(tài)變化過程，設(shè)計加工參數(shù)（桌腿木條開槽的長度、桌腳邊緣線（見圖4）、平板尺寸、鋼筋位置）等要求，本文研究如下問題:

問題1.對于給定尺寸的長方形平板、木條寬度以及折疊后的桌高，建立模型描述此折疊桌的動態(tài)變化過程，并給出相關(guān)加工參數(shù)。

問題2.對于給定的桌高和桌面直徑，綜合考慮各項設(shè)計因素，討論折疊桌的最優(yōu)設(shè)計加工參數(shù)。

問題3.對于給定的桌面形狀，根據(jù)所建立的模型設(shè)計創(chuàng)意折疊桌。

圖1 折疊桌的動態(tài)過程

1 模型假設(shè)

a.假設(shè)長方形平板切割后相鄰木條之間緊密排列，沒有空隙；

b.假設(shè)切割點都位于各個木條寬的中點處，見圖2所示；

c.假設(shè)鋼筋在開槽中可自由移動，無摩擦；

d.假設(shè)開槽上下兩端預(yù)留木條的最小長度相同；

e.在不涉及體積的情況下，將鋼筋、木條視為線段（同理忽略桌面厚度）。

2 模型建立與求解

2.1 問題1的分析與求解

第一步:確定切割點為木條寬的中點。

第二步:假設(shè)桌面單側(cè)切割木條n根，長方形平板的長和寬分別為L，W。如圖2所示，以圓形桌面的中心位置為坐標原點建立三維坐標系，令木條切割點對應(yīng)的橫坐標從上至下依次為x1，x2，…，xk，xn，可得

從而確定其第k根木條的桌腳長為

第三步:當折疊桌達到最佳穩(wěn)固狀態(tài)時，根據(jù)桌高和第一條桌腳長滿足的正弦關(guān)系確定桌腳偏離平面位置的最大角θm。由折疊桌的初始狀態(tài)得到第k根木條開槽最上方位置到鉸鏈的距離dk1，運用余弦定理得到折疊桌在穩(wěn)固狀態(tài)時第k根木條開槽最下方位置到鉸鏈的距離dk2，那么第k根桌腿木條開槽的長度為

圖2 切割點的位置

圖3 第k根木條穩(wěn)定狀態(tài)的截面圖

圖4 桌腳邊緣線的三維坐標系

由Matlab編程可得折疊桌從初始平板狀態(tài)到穩(wěn)固狀態(tài)的折疊過程中，各個桌腳運行軌跡圖，見圖5。

同時計算出xk、桌腳長度lk、槽長△dk，進而描述出達到穩(wěn)固狀態(tài)時桌腳邊緣線圖（見圖6）。

圖5 折疊過程中桌腳運行軌跡圖

圖6 穩(wěn)固狀態(tài)桌腳邊緣線圖

2.2 問題2的分析與求解

2.2.1 相關(guān)指標的分析

由于折疊桌的設(shè)計要做到穩(wěn)固性好、加工方便、用材最少，而每一項指標都較為抽象，因此需要將其數(shù)值化，用具體的數(shù)值衡量其設(shè)計的優(yōu)劣。

加工方便的分析:以長方形木板的切割條數(shù)n來衡量折疊桌的加工方便程度，n越小，加工越方便。

用材最少的分析:由于長方形木條的厚度不可忽略，通過折疊桌的體積大小衡量其用材的多少。

2.2.2 問題二的算法設(shè)計

在此基礎(chǔ)上最優(yōu)的加工參數(shù)設(shè)計過程如下:

第一步:設(shè)定初始桌面直徑W，桌高H，木條n根，給定一個初始的桌腳傾斜角θ，可得

第二步:通過穩(wěn)固率η，可得到長方形木板的長

L=2Hcosθ+2x1.

第三步:設(shè)定開槽上下兩端預(yù)留木條的最小長度都為Sk，由此得到最長桌腳的開槽最上方位置到鉸鏈的距離dk1和開槽最下方位置到鉸鏈的距離dk2，確定鋼筋的大致位置，見圖8。

商務(wù)酒店設(shè)計中的客房設(shè)計應(yīng)為旅客提供一個私密的、放松的、舒適的空間，濃縮了休息、私人辦公、娛樂、商務(wù)會談等諸多使用要求的功能性空間，該部分是客戶入住后的重要的活動部分，在設(shè)計方面必須全面考慮美感與舒適程度，應(yīng)該通過細節(jié)來展現(xiàn)出中式元素，保證客戶能夠在入住過程中體驗心靈的休息。

圖7 有效支撐面積

圖8 初始狀態(tài)桌面的俯視圖

第四步:根據(jù)最初設(shè)定的木板長度L及其他參數(shù)可計算得到的木板長度L’為

進一步可由差值△L=L-L’修正鋼筋的位置。

第六步:在得到穩(wěn)固狀態(tài)時桌腳傾斜角θm與木條根數(shù)n的情況下，相當于得到了與問題一相同的條件，測試不同的n與H的值，對比即可得到最優(yōu)設(shè)計加工參數(shù)（長方形平板尺寸、鋼筋位置、開槽長度）。部分測試數(shù)據(jù)木條的根數(shù)n、木板的長度L以及折疊桌的體積V如表1所示。

表1 問題2的測試結(jié)果

最優(yōu)設(shè)計加工參數(shù)如下:

平板尺寸:L=85.53cm，W=80cm，h=3cm；

鋼筋的位置在第十根桌腿到鉸鏈6cm處；

開槽的長度見表2。

表2 開槽的長度cm

2.3 問題3的分析與求解

對于任意給定的桌面形狀，考慮穩(wěn)固性和材料利用方面的因素，假設(shè)桌面單側(cè)木條數(shù)量n和桌腿與地面所成的角為90°，則桌子所對應(yīng)的高為

由此可根據(jù)客戶對桌面形狀和高度的要求確定桌面切割的木條數(shù)量n和所需長方形木板的長度L。如圖9所示，利用目標逆推法，進一步可構(gòu)建從特殊到一般的平板桌模型。

圖9 任意桌面切割木條前的預(yù)設(shè)定過程示意圖

下述以對“半八卦桌”（見圖10）為例進行分析并建立桌腳架構(gòu)模型，設(shè)計創(chuàng)意折疊桌。

第一步:根據(jù)圖9能確定各組桌腿投影到地面上的點，再由桌腳邊緣線的大致形狀確定桌面大致形狀，經(jīng)過分段切割之后取出其中任意一個獨立弧線，建立如圖11所示的坐標系。

第二步:利用圖像數(shù)字化的方法，得到“半八卦桌”桌面對應(yīng)最短長度的半桌木條長度x1，同理依次求出 x1，x2，…，xk，xn。

第三步:由問題2的方法確定θ和k。利用Matlab編程得到“半八卦桌”的折疊過程示意圖，見圖12，并給出最優(yōu)設(shè)計加工參數(shù)。

第四步:由模型得到另外兩組創(chuàng)意平板折疊桌的設(shè)計加工模型，見圖13。

圖10 “半八卦桌”的桌面分割圖

圖11 局部凸曲桌面平鋪示意圖

圖12 “半八卦桌”的折疊過程示意圖

圖13 （規(guī)則桌面的）創(chuàng)意平板折疊桌舉例示意

3 模型檢驗及評價

靈敏度檢驗發(fā)現(xiàn)加工參數(shù)lk，dk1，dk2等結(jié)果與桌高H和桌腳偏離平面位置的角度θ等數(shù)據(jù)變化并不敏感；模型1和模型2都具備很強的實際可操作性等優(yōu)點。

（1）模型具有較強的可推廣性，給定任意長方形平板尺寸和桌高，通過問題1模型即可控制桌腳動態(tài)過程和開槽長度。

（2）綜合考慮了折疊桌的多個優(yōu)化目標，任意給定桌高和桌面直徑，由問題2模型可得到最優(yōu)的設(shè)計加工參數(shù)。

當然本模型也存在著如下不足:

（1）測試所取的桌高和木板厚度的數(shù)據(jù)有限，得到的結(jié)果的最優(yōu)性有待理論驗證。

（2）問題3中“半八卦桌”的參數(shù)設(shè)計，考慮到桌面厚度、加工誤差等因素還有待調(diào)整。

4 結(jié)束語

本文綜合考慮創(chuàng)意平板折疊桌的穩(wěn)固性、用料最少、加工方便等因素，解決了創(chuàng)意平板折疊桌加工參數(shù)的最優(yōu)設(shè)計問題，給出了桌腳邊緣線的動態(tài)變化結(jié)果。模型簡潔可靠。進一步地，以“半八卦桌”為例，構(gòu)建從特殊到一般的桌腳架構(gòu)模型，給出了一般封閉曲線桌形的桌腳架構(gòu)條件，并給出了一些以基本圖形為桌形的折疊桌動態(tài)變化過程的仿真示意圖形。

本文的模型可進一步考慮木條厚度，并給出非對稱的桌面形狀的相應(yīng)設(shè)計加工參數(shù)，使模型更具普遍性。

［1］Caroline Williamson.rising-side-table-by-robert-van-embricqs［EB/OL］. （2012-02-07）［2015-3-10］.http://design-milk.com/rising-side-table-by-robert-van-embricqs/.

［2］2014 年全國大學生數(shù)學建模競賽賽題 B 題［EB/OL］. （2014-09-11）［2015-3-10］.http://www.mcm.edu.cn/html_cn/block/c61dfec317d7a5bd9b2b8efed81c8af3.html.

［3］張智豐.數(shù)學實驗［M］.北京:科學出版社,2008:36.

［4］王正林,劉明.精通MATLAB7［M］.北京:電子工業(yè)出版社,2007:182.

［5］卓金武,魏永生.MATLAB在數(shù)學建模中的應(yīng)用［M］.北京:北京航空航天出版社,2001:93.