Vondrak平滑因子最佳確定方法及在時間比對數(shù)據(jù)中的應(yīng)用

趙書紅，廣偉，袁海波，屈俐俐，尹東山

（1.中國科學(xué)院國家授時中心，西安 710600；2.中國科學(xué)院時間頻率基準(zhǔn)重點(diǎn)實驗室，西安 710600；3.中國科學(xué)院研究生院，北京100049）

Vondrak平滑因子最佳確定方法及在時間比對數(shù)據(jù)中的應(yīng)用

趙書紅1，2，3，廣偉1，2，袁海波1，2，屈俐俐1，2，尹東山1，2，3

（1.中國科學(xué)院國家授時中心，西安 710600；2.中國科學(xué)院時間頻率基準(zhǔn)重點(diǎn)實驗室，西安 710600；3.中國科學(xué)院研究生院，北京100049）

考慮到原子鐘比對數(shù)據(jù)和遠(yuǎn)程時間比對數(shù)據(jù)的噪聲水平具有時變性，因此選用Vondrak平滑方法對這兩種數(shù)據(jù)進(jìn)行平滑，并用交叉證認(rèn)法動態(tài)地選取平滑因子。利用模擬數(shù)據(jù)驗證了交叉證認(rèn)法的有效性，并利用實測的原子鐘比對數(shù)據(jù)及遠(yuǎn)程時間比對數(shù)據(jù)對該方法進(jìn)行分析驗證，結(jié)果表明交叉證認(rèn)法可以針對不同類型的數(shù)據(jù)，計算得到客觀、最佳的平滑因子，有效地濾除原子鐘比對數(shù)據(jù)和遠(yuǎn)程時間比對數(shù)據(jù)中的大部分噪聲，對進(jìn)一步提高時間保持精度有積極的意義。

Vondrak平滑；交叉證認(rèn)法；平滑度；擬合度；時間比對

0 引言

時間比對數(shù)據(jù)主要包括原子鐘比對數(shù)據(jù)和遠(yuǎn)程時間比對數(shù)據(jù)，它們是時間保持過程中重要的數(shù)據(jù)來源。原子鐘的輸出不僅包含有用的信號，也包含不確定的隨機(jī)噪聲；同時遠(yuǎn)程時間比對數(shù)據(jù)會受到觀測噪聲及其他因素的影響。以上這些因素的影響勢必會引入地方原子時的計算中，進(jìn)而降低時間保持的精度。因此對時間比對數(shù)據(jù)進(jìn)行平滑是時間實驗室的一項重要的任務(wù)。

目前常用的平滑方法有很多種，其中Vondrak平滑方法在天文數(shù)據(jù)處理中應(yīng)用最廣，該方法不需要了解觀測資料的變化規(guī)律，就能夠?qū)Φ乳g隔或非等間隔的觀測資料進(jìn)行有效的平滑。這種平滑方法中包含了一個平滑因子ε，只有當(dāng)平滑因子與噪聲水平相符時，才能夠有效地消除隨機(jī)噪聲，因此平滑因子的選取是至關(guān)重要的。

原子鐘比對數(shù)據(jù)和遠(yuǎn)程時間比對數(shù)據(jù)中的噪聲水平具有時變性，會隨著外界環(huán)境、設(shè)備噪聲等因素的影響而改變，因此平滑因子的選取不能僅憑經(jīng)驗決定，需針對不同的數(shù)據(jù)動態(tài)確定。目前常用的平滑因子選取方法，如測量誤差法、平滑誤差法、頻率響應(yīng)法，其評定準(zhǔn)則均人為干預(yù)，不能夠客觀確定平滑因子，一旦在很小的范圍內(nèi)選取平滑因子，這幾種方法都無法分辨出最佳平滑因子。事實上，對時間比對數(shù)據(jù)的平滑中，同一類型的數(shù)據(jù)一般都選擇相同的平滑因子，沒有考慮噪聲水平具有時變性的問題。而交叉證認(rèn)法主要是通過對資料序列中的一些資料樣本的相互交叉證認(rèn)來選取合理的平滑因子，在計算過程中，需要多次隨機(jī)選取測量資料的證認(rèn)樣本，因此這種平滑方法沒有人為干預(yù)，可以比較客觀地確定平滑參數(shù)。針對不同類型的數(shù)據(jù)、或噪聲不同的相同類型數(shù)據(jù)，平滑因子的選取應(yīng)該是不同的，因此交叉證認(rèn)法考慮了噪聲時變性的問題，即實現(xiàn)了Vondrak平滑因子的動態(tài)自適應(yīng)確定。

本文利用交叉證認(rèn)法選取最佳平滑因子，結(jié)合Vondrak平滑方法對模擬數(shù)據(jù)和實際測量的數(shù)據(jù)進(jìn)行平滑處理，對處理后的結(jié)果進(jìn)行細(xì)致的分析，并給出合理的評價結(jié)果。

1 基本原理

1.1 Vondrak平滑方法

式（1）中

1.2交叉證認(rèn)法

為解決噪聲時變性的影響，可利用交叉證認(rèn)法動態(tài)自適應(yīng)地確定出平滑因子，從而客觀地給出最佳的平滑因子。交叉證認(rèn)法的基本思想是：設(shè)X是一個數(shù)據(jù)序列全部數(shù)據(jù)的集合，在X中隨機(jī)選取少量數(shù)據(jù)構(gòu)成X的一個子集A，用A的余集B的全部數(shù)據(jù)作一平滑曲線，并計算A的數(shù)據(jù)對此曲線的標(biāo)準(zhǔn)偏差。計算出所有子集A的的均值，獲取使該均值最小的那個平滑參數(shù)，該平滑參數(shù)被認(rèn)為是最佳的平滑因子。其實現(xiàn)的主要步驟[2]為：

1.3 最佳平滑因子的評判標(biāo)準(zhǔn)

1）最小失真度D是指平滑后的曲線與信號真值之間的標(biāo)準(zhǔn)差，其計算公式[3]為

2）均方根誤差（RMSE）是指觀測數(shù)據(jù)與最佳平滑曲線之間的標(biāo)準(zhǔn)差，也可稱為噪聲水平估計值。其計算公式[4-5]為

3）原子鐘頻率穩(wěn)定度

原子鐘的頻率穩(wěn)定度通常是指其輸出的頻率信號的隨機(jī)波動大小，也可作為對最終平滑結(jié)果的評定標(biāo)準(zhǔn)之一。原子鐘頻率穩(wěn)定度在時域上常用是阿倫方差（Allan variation，AVAR）或阿倫方差的平方根即阿倫偏差（Allan deviation,，ADEV）來表征，式（9）和（10）分別是重疊阿倫偏差和修正阿倫偏差的計算公式[6]：

式（9）和式（10）中，τ表示采樣時間，m表示平均因子，表示最小采樣間隔，N表示在一個采樣周期內(nèi)以τ為采樣間隔的樣本數(shù)。

2 實例驗證和分析

我們選用一些模擬數(shù)據(jù)和實測數(shù)據(jù)作為實例，利用交叉證認(rèn)法來選取最佳的平滑因子，結(jié)合Vondrak平滑方法對數(shù)據(jù)進(jìn)行平滑，利用合理的評價準(zhǔn)則來檢驗平滑后的實際效果。

2.1 模擬數(shù)據(jù)分析

任何平滑方法都類似于單邊濾波器，最佳平滑度的選擇實質(zhì)上是選擇一個合適的截斷頻率，以保證信號中的有用信號盡可能地保存下來。使用模擬數(shù)據(jù)的目的是用來驗證交叉證認(rèn)法選擇平滑因子的有效性，選用一個單頻周期信號加上正態(tài)隨機(jī)噪聲的簡單模型即可說明問題，模型具體描述為：

式（11）中，（ν）t是模擬信號隨機(jī)噪聲（正態(tài)白噪聲），T為模擬信號的周期。

式（11）中選取多個模擬信號的周期及多個隨機(jī)噪聲的均方差，利用交叉證認(rèn)法確定最佳的平滑因子，結(jié)合Vondrak平滑方法來平滑數(shù)據(jù)，驗證是否能夠獲得最佳的平滑因子。模擬序列的計算結(jié)果示于表1。

表1　模擬序列的計算結(jié)果

從表1可以看出，各模擬序列的噪聲水平估計與已知的輸入噪聲水平符合程度很好，兩者之間的偏差均很小，且當(dāng)信號周期不同或噪聲水平不同時，最佳平滑因子的選取也會有明顯的差異，這也就表明了針對不同的實際應(yīng)用，不能隨意憑經(jīng)驗來判斷平滑因子，否則很可能造成平滑后的數(shù)據(jù)與真實的情況發(fā)生較大的偏差。因此，利用模擬數(shù)據(jù)驗證了交叉證認(rèn)法可以針對不同的數(shù)據(jù)給出客觀、最優(yōu)的平滑因子，結(jié)合Vondrak方法最終給出最佳的平滑曲線，且平滑后的曲線確實符合盡可能保留信號及削弱噪聲的目的。

2.2實例分析

2.2.1 原子鐘比對數(shù)據(jù)

原子鐘自身噪聲水平不僅影響其頻率穩(wěn)定特性，還會影響由原子鐘比對數(shù)據(jù)計算得到的時間尺度的穩(wěn)定度和準(zhǔn)確度，因此在使用原子鐘比對數(shù)據(jù)時，降低原子鐘比對數(shù)據(jù)中的噪聲和其他觀測手段帶來的誤差是很有必要的。為了驗證交叉證認(rèn)法選取最佳平滑因子的有效性，選用時間跨度為2014年7月1日（MJD=56 839）至2014年8月1日（MJD=56 870）期間2臺氫原子鐘的比對數(shù)據(jù)（HM4297-HM4296，并扣除了二次項趨勢）。

利用交叉證認(rèn)法確定最佳平滑因子，結(jié)合Vondrak平滑方法對原子鐘比對數(shù)據(jù)進(jìn)行平滑，圖1為原子鐘數(shù)據(jù)與平滑后結(jié)果的比較。從圖1可以看出，平滑后的曲線比較光滑，且平滑后的數(shù)據(jù)基本在實測數(shù)據(jù)范圍內(nèi)，有一定的保真度。依據(jù)交叉證認(rèn)法的原理可知，選取使得證認(rèn)樣本的平均方差達(dá)到最小的平滑參數(shù)值作為最佳的平滑因子，平滑因子與證認(rèn)樣本的平均方差的關(guān)系見圖2。從圖2可看出，最佳平滑因子為5，采用交叉證認(rèn)法確定了最佳平滑因子后，結(jié)合Vondrak平滑方法對原子鐘比對數(shù)據(jù)進(jìn)行平滑，平滑后的原子鐘比對數(shù)據(jù)的穩(wěn)定度有大幅度的提高，如表2所示。Vondrak平滑方法主要消除的是相位白噪聲，它主要表現(xiàn)在短期項上，而平滑后結(jié)果的穩(wěn)定度對短期和長期而言均有較大的提高，這明顯與相位白噪聲的性質(zhì)不符合。分析其過分平滑產(chǎn)生的原因，發(fā)現(xiàn)異常點(diǎn)的出現(xiàn)會在很大程度上影響對原子鐘比對數(shù)據(jù)的平滑，因此在處理原子鐘比對數(shù)據(jù)時，需先對原子鐘比對數(shù)據(jù)進(jìn)行粗差剔除，選用3σ粗差剔除方法，剔除原子鐘的異常點(diǎn)，然后再利用Vondrak平滑方法結(jié)合交叉證認(rèn)法對原子鐘比對數(shù)據(jù)進(jìn)行平滑，對平滑結(jié)果進(jìn)行評價。圖3為原子鐘比對數(shù)據(jù)與平滑后結(jié)果的比較，圖4為平滑因子與證認(rèn)樣本的平均方差的關(guān)系。

圖1　原子鐘比對數(shù)據(jù)與平滑后結(jié)果的比較（未做粗差剔除）

圖2　平滑因子與證認(rèn)樣本的平均方差的關(guān)系（未做粗差剔除）

表2　原子鐘數(shù)據(jù)平滑前后穩(wěn)定度比較（未做粗差剔除）

圖3　原子鐘比對數(shù)據(jù)與平滑后結(jié)果的比較（粗差剔除后）

圖4　平滑因子與證認(rèn)樣本的平均方差的關(guān)系（粗差剔除后）

利用交叉證認(rèn)法來選取最佳平滑因子，結(jié)合Vondrak平滑方法對粗差剔除后的原子鐘比對數(shù)據(jù)進(jìn)行平滑，從圖3和圖4可以看出，平滑后的曲線能夠反映出原子鐘數(shù)據(jù)的細(xì)節(jié)，且隨著平滑因子的增大，證認(rèn)樣本的平均方差先減小后增大，當(dāng)證認(rèn)樣本的平均方差取最小值時，平滑度與擬合度達(dá)到了最大的融合。

圖5為原始數(shù)據(jù)與平滑結(jié)果之間的殘差，圖6為原始數(shù)據(jù)與平滑結(jié)果之間的殘差分布圖。從圖5和圖6可以看出，實測的原子鐘數(shù)據(jù)相對于平滑曲線值的殘差在零值附近上下波動，且殘差的分布服從高斯分布，符合相位白噪聲的性質(zhì)。圖7為殘差的修正阿倫偏差值與采樣間隔之間的關(guān)系。從圖7可看出，殘差的修正阿倫偏差值的對數(shù)相對于采樣間隔τ的對數(shù)，斜率為-1.55，而相位白噪聲的修正阿倫偏差值的對數(shù)相對于采樣間隔的對數(shù)，斜率為（-3/2）[6]，這兩個斜率比較接近，顯然濾除的噪聲主要是相位白噪聲。采用交叉證認(rèn)法確定了最佳因子，并結(jié)合Vondrak平滑方法對原子鐘比對數(shù)據(jù)進(jìn)行平滑，平滑后的數(shù)據(jù)短期穩(wěn)定度有很明顯的提高，如表3所示。因此交叉證認(rèn)法可以確定出最佳的平滑因子，利用該方法對原子鐘數(shù)據(jù)進(jìn)行平滑，平滑結(jié)果最優(yōu)且具有高保真度。

圖5　原始數(shù)據(jù)與平滑結(jié)果之間的殘差

圖6　原始數(shù)據(jù)與平滑結(jié)果之間的殘差分布圖

圖7　殘差的修正阿倫偏差值與采樣間隔τ之間的關(guān)系

表3　原子鐘數(shù)據(jù)平滑前后穩(wěn)定度比較（粗差剔除后）

2.2.2 精密單點(diǎn)定位時間傳遞

在時間傳遞中，Vondark平滑方法經(jīng)常被用于消除比對鏈路的隨機(jī)噪聲。精密單點(diǎn)定位（precise point positioning，PPP）時間傳遞方法是目前國際時間比對工作中被廣泛采用的方法之一，為了驗證交叉證認(rèn)法選擇最佳平滑因子的有效性，選取BIPM公布的PTB和USNO的PPP時間比對數(shù)據(jù)（UTC（PTB）-UTC（USNO）），時間跨度為2014年1月25日（MJD=56 682）到2014年2月28日（MJD=56 716）[6]。

利用交叉證認(rèn)法確定最佳平滑因子，結(jié)合Vondrak平滑方法對數(shù)據(jù)進(jìn)行平滑，圖8為對上述遠(yuǎn)程時間比對結(jié)果平滑前后的比較。從圖8可看出平滑后的結(jié)果與實測的PTB-USNO鏈路比對結(jié)果很接近（為了便于區(qū)分平滑前后的曲線，將平滑后的曲線下移了2 ns），這說明平滑后的曲線能夠反映出遠(yuǎn)程時間比對數(shù)據(jù)的細(xì)節(jié)，具有高保真度。圖9為原始數(shù)據(jù)與平滑結(jié)果之間的殘差，圖10為原始數(shù)據(jù)與平滑結(jié)果之間的殘差分布圖。從圖9和圖10可知，實測的遠(yuǎn)程時間比對數(shù)據(jù)相對于平滑結(jié)果的殘差在零值附近上下波動，且殘差的分布服從高斯分布，符合相位白噪聲的性質(zhì)。圖11為殘差的修正阿倫偏差值與采樣間隔之間的關(guān)系。從圖11可看出殘差的修正阿倫偏差值的對數(shù)相對于采樣間隔τ的對數(shù)，斜率為-1.5，與相位白噪聲的修正阿倫偏差值的對數(shù)相對于采樣間隔τ的對數(shù)的斜率為（-3/2）的情況相比較，這兩個斜率保持一致，由此可知濾除的噪聲主要是相位白噪聲。利用交叉證認(rèn)法選擇最佳的平滑因子，結(jié)合Vondrak平滑方法可以明顯改善遠(yuǎn)程時間比對數(shù)據(jù)的短期穩(wěn)定度，見表4。因此利用Vondrak平滑方法結(jié)合交叉證認(rèn)法對遠(yuǎn)程時間比對數(shù)據(jù)進(jìn)行平滑，可以得到最優(yōu)的平滑結(jié)果并具有高保真度。

圖8　PTB-USNO鏈路比對結(jié)果平滑前后的比較

圖9　原始數(shù)據(jù)與平滑結(jié)果之間的殘差

圖10　原始數(shù)據(jù)與平滑曲線的殘差分布圖

圖11　殘差的修正阿倫偏差值與采樣間隔τ之間的關(guān)系

表4　PTB-USNO鏈路時間比對數(shù)據(jù)平滑前后穩(wěn)定度比較

3 結(jié)語

交叉證認(rèn)法可以比較客觀、動態(tài)地給出最佳的平滑因子，同時也可使平滑后的曲線具有最小的失真度。利用這種方法對時間比對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，最終結(jié)果表明Vondrak平滑方法結(jié)合交叉證認(rèn)法可以有效地濾除大部分的噪聲，且時間比對數(shù)據(jù)的穩(wěn)定度有明顯的改善，從而有助于進(jìn)一步提高時間保持精度。

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Determination of optimal Vondrak filter factor and application to time comparisons

ZHAO Shu-hong1，2，3，GUANG Wei1，2，YUAN Hai-bo1，2，QU Li-li1，2，YIN Dong-shan1，2，3
（1.National Time Service Center，Chinese Academy of Sciences，Xi′an 710600，China；2.Key Laboratory of Time and Frequency Primary Standards，National Time Service Center，Chinese Academy of Sciences，Xi′an 710600，China；3.University of Chinese Academy of Sciences，Beijing 100049，China）

In view of that the noise level of the data from local atomic clock comparisons and long distance clock comparisons vary with time，the Vondrak filter is adopted to smooth the above-mentioned two kinds of data，in which the filter factors are determined dynamically by using the cross validation method.The feasibility of this method is validated by using the simulation data and this method is applied to the measured data for local atomic clock comparisons and long distance clock comparisons.The results show that the objective and optimal filter factors for different types of data can be obtained with the cross validation method and the most of the noisecan be filtered，being significant for improving the precision of time keeping.

Vondrak filter； cross validation； smoothness； fitness； time comparison

P127.1

A

1674-0637（2015）01-0021-09

10.13875/j.issn.1674-0637.2015-01-0021-09

2014-08-26

國家自然科學(xué)基金資助項目（11303032，11473029）；地理信息工程國家重點(diǎn)實驗室開放基金課題資助項目（SKLGIE2013-M-1-1）

趙書紅，女，博士，助理研究員，主要從事時間頻率應(yīng)用研究。