高階變系數(shù)函數(shù)方程的非振動(dòng)解

吳英柱，林全文

（廣東石油化工學(xué)院數(shù)學(xué)系，廣東茂名525000）

高階變系數(shù)函數(shù)方程的非振動(dòng)解

吳英柱，林全文

（廣東石油化工學(xué)院數(shù)學(xué)系，廣東茂名525000）

給出一類高階非線性函數(shù)方程的一些新的非振動(dòng)準(zhǔn)則，并且給出了在差分方程中的若干應(yīng)用，結(jié)果改進(jìn)和推廣了近期文獻(xiàn)的某些結(jié)果.

函數(shù)方程；非線性；振動(dòng)；非振動(dòng)解

1　引言

考慮高階非線性變系數(shù)函數(shù)方程：

近年來，差分方程和函數(shù)方程的振動(dòng)性成為數(shù)學(xué)工作者研究的熱門課題［1-13］，得到各類高階函數(shù)方程解的振動(dòng)準(zhǔn)則.但研究非線性函數(shù)方程的文獻(xiàn)比較少，用非迭代方法研究函數(shù)方程的非振動(dòng)性的文獻(xiàn)則更少.最近，文獻(xiàn)［1-2，13］研究了方程：

得到了一系列結(jié)果.

本文受文獻(xiàn)［11］啟發(fā)，進(jìn)一步研究非線性函數(shù)方程（1）解的非振動(dòng)性，沿用文獻(xiàn)［1，13］的方法，得到了一些新的結(jié)果.這些結(jié)果全面推廣了文獻(xiàn)［13］的結(jié)果，部分推廣了文獻(xiàn)［1］的結(jié)果，推廣了文獻(xiàn)［4］的定理和文獻(xiàn)［5］的定理2.2，改進(jìn)了文獻(xiàn)［5］的推論2.

2　主要結(jié)果及證明

定理2.1假設(shè)p（t）＞0，Qi（t）∈R，g（t）＜t，且存在正函數(shù)A（t）和一個(gè)正整數(shù)T，使得

推論2.1如果存在u＞0，使得

推論2.2如果

3　應(yīng)用

由于離散變量的差分方程和具有連續(xù)變量的差分方程作為方程（1）的特殊情形.對(duì)于g（t）=t-τ，τ∈R+，I∈R+的情形，方程（1）可化為具有連續(xù)變量的差分方程：

由定理2.1和定理2.2，易得以下定理：

定理3.1若存在函數(shù)A（t）＞0，p（t）＞0，Qi（t）≥0，使得

則方程（12）存在非振動(dòng)解.

同理，考慮以下無窮時(shí)滯的差分方程我們易得以下結(jié)果：

定理3.2若存在函數(shù)A（t）＞0，p（t）＞0，Qi（t）≥0使得

則方程（13）存在非振動(dòng)解.

［1］周勇，俞元洪.變系數(shù)函數(shù)方程解的振動(dòng)性［J］.系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué)，1999，19（3）：348-352.

［2］周勇，劉正榮，俞元洪.變系數(shù)函數(shù)方程解的振動(dòng)準(zhǔn)則［J］.應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2000，23（3）：414-419.

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［13］伍思敏，戴麗娜，林全文.高階泛函方程解的非振動(dòng)準(zhǔn)則［J］.數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2013，43（20）：280-284.

Nonoscillation criteria of higher order functional equations with variable coefficients

Wu Yingzhu，Lin Quanwen

（Department of Mathematics，Guangdong University of Petrochemical Technology，Maoming 525000，China）

This paper discusses oscillation of solutions to high-order variable coefficient functional differential equations，new results of non-oscillation criteria are obtained.Some applications of differential equations are given.Our results improve some of the known results in the literature.

functional equations，nonlinear，oscillation，solutions of non-oscillation

O175.1

A

1008-5513（2015）06-0575-06

10.3969/j.issn.1008-5513.2015.06.004

2015-06-10.

國家自然科學(xué)基金（10671155；10112021）；廣東茂名市科技計(jì)劃資助項(xiàng)目（2014050），廣東石油化工學(xué)院自然科學(xué)研究基金（513021）.

吳英柱（1978-），碩士，講師，研究方向：微分方程與動(dòng)力系統(tǒng)研究.

2010 MSC：34A34